1. 서 론

잘 알려진 바와 같이 시간지연은 시스템 성능 저하뿐만 아니라, 시간지연 시스템이 불안정하게 만들기까지 한다^(13)(14). 따라서 지난 몇 세기 동안 시변 시간지연을 갖는 시간지연 시스템의 안정성에 관한 많은 연구가 활발히 이루어져 왔고^(13)(14), 자세한 것은 최근의 survey 논문을 참고 바란다⁽¹¹⁾.

다음으로 기술되는 시변 시간지연을 갖는 시간지연 선형 시스템을 생각하자.

여기서 $x(t)\in R^{n}$은 시스템의 상태, $A ,\: A_{1}\in R^{n\times n}$은 상수 시스템 행렬들, $\phi(t)$는 상태의 초기 조건, 그리고 시간 지연 $d(t)$는 상수 $h,\:\mu_{1},\:\mu_{2}$에 대하여 다음을 만족한다.

먼저 완벽 Lyapunov 함수 (Complete Lyapunov function) 방법을 이용하면 시간지연이 상수인 시간지연 선형시스템의 안정성에 관한 필요 충분 조건을 얻을 수 있다^(13)(14). 반면에 단순 Lyapunov-Krasovskii 함수(Simple Lyapunov-Krasovskii functional) 방법은 안정성에 관한 충분조건 만을 얻을 수 있지만 시간지연이 시변인 경우에도 적용이 가능하며 또한 쉽게 적용할 수 있다는 장점이 있다. SLKF 방법은 단순한 형태의 LKF후보함수에 기초하여 시간지연 선형시스템의 안정성을 보장하는 시간지연의 최대상한을 구하는 것으로 지금도 활발히 연구가 진행 중이다. LKF를 이용한 안정성 해석은 크게

(ⅰ) 좀 더 나은 LKF의 선택(2차 적분항 추가, 3차 적분항의 추가, 확장 변수 추가)

(ⅱ) 적분부등식의 좀 더 엄밀한 상한 값의 결정(Jensen 적분 부등식, Wirtinger 기반 적분 부등식, Bessel Legendre 적분 부등식, 자유행렬 기반 적분 부등식)

(ⅲ) affine함수가 아닌 2차함수의 상한의 세 단계를 통하여 개선된 결과를 얻는다^(11)(13)(14).

본 논문에서는 기존의 LKF와는 다른 새로운 형태의 LKF를 제안하고, 이를 바탕으로 시변 시간지연을 갖는 시간지연 선형시스템의 안정성을 보장하는 결과를, Bessel- Legendre 적분 부등식과 개선된 reciprocally convex inequality를 이용하여, 선형행렬부등식(LMI) 형태로 제시한다. 그리고 제시된 결과는 잘 알려진 두 개의 예제를 통하여 기존의 결과들보다 우수함을 보인다.

2. 예비 결과

다음의 보조정리 1과 이를 이용하면 쉽게 유도되는 Remark 1은 다음의 주요 결과 유도에 사용될 예비 결과들이다.

보조정리 1⁽⁶⁾ : 대칭 행렬 $M_{1},\: M_{2},\: M_{3}\in R^{n\times n}$에 대하여 스칼라 $\theta$에 대한 1차와 2차의 두 함수 $\Omega_{1},\:\Omega_{2}$를 생각하자.

$$ \left\{\begin{array}{l}{\Omega_{1}(\theta)=\theta M_{2}+M_{1}} \\ {\Omega_{2}(\theta)=\theta^{2} M_{3}+\theta M_{2}+M_{1}}\end{array}\right. $$

그러면 다음이 성립한다.

증명 : $\Omega_{1}$은 스칼라 $\theta$에 관하여 affine 함수이므로 convex 함수 성질에 의하여 (i)이 성립하고, (ii)의 증명은 ⁽⁸⁾에 있으므로 자세한 것은 생략한다. $$

보조정리 2⁽⁵⁾ : 양확정 행렬 $W >0$에 대하여 다음이 항상 성립한다.

$-\int_{a}^{b}\dot x^{T}(s)W\dot x(s)ds\le -\dfrac{1}{b-a}\sum_{m=1}^{3}(2m-1)\chi_{m}^{T}(a,\: b)W\chi_{m}(a,\: b)$

여기서

$$ \left\{\begin{array}{l}{\chi_{1}(a, b)=x(b)-x(a)} \\ {\chi_{2}(a, b)=x(b)+x(a)-2 \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} x(s) d s} \\ {\chi_{3}(a, b)=\chi_{1}+6 \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} x(s) d s-12 \frac{1}{(b-a)^{2}} \int_{a}^{b}(s-a) x(s) d s}\end{array}\right. $$

보조정리 3⁽⁹⁾ : 양확정 행렬 $W_{1}>0 ,\: W_{2}>0$과 실수 $\alpha\in(0,\: 1)$에 대하여 다음이 항상 성립한다.

$$ \begin{array}{c}{-\operatorname{diag}\left\{\frac{1}{\alpha} W_{1}, \frac{1}{1-\alpha} W_{2}\right\} \leq} \\ {-\left[\begin{array}{cc}{(2-\alpha) W_{1}-(1-\alpha) S_{2} W_{2}^{-1} S_{2}^{T}} & {S_{1}+\alpha\left(S_{2}-S_{1}\right)} \\ {\star} & {(1+\alpha) R_{2}-\alpha S_{1}^{T} W_{1}^{-1} S_{1}}\end{array}\right]}\end{array} $$

3. 주요 결과

편의를 위하여, $t_{d}=t-d(t),\: t_{h}=t-h,\:h_{d}(t)=h-d(t)$라하고, 다음과 같이 벡터를 정의하고

앞으로 사용될 벡터 및 행렬들을 다음과 같이 정의하고.

이들의 시간에 대한 미분항이 포함된 행렬들은 다음이 된다.

다음은 시간지연 (2)를 갖는 시간지연 선형 시스템 (1)의 안정성을 보장하는 주요 결과이다.

정리 1 : 위의 수식 (5),(6)에 정의된 많은 벡터, 행렬들과 함께, $7 n\times 7n$ 실수 양확정 행렬 $P_{1}>0$, $5n\times 5n$ 실수 양확정 행렬 $Q_{1},\: Q_{2},\: R =[R_{ij}]_{3\times 3},\:\hat R =[\hat R_{ij}]_{3\times 3}>0$, $n\times n$ 양확정행렬 $Z>0$과 일반 $3n\times 3n$ 실수 행렬 $Y_{1},\: Y_{2}$이 존재하여,$Z+(1-\mu_{2})R_{33}>0$을 만족하면서 다음의 LMI들을 만족하면

시간지연 (2)를 갖는 시간지연 시스템 (1)의 점근적 안정성이 보장 된다. 여기서

$$ \Psi_{1}(0, \dot{d}(t))=\left[\begin{array}{cc}{\Phi_{0}(0, \dot{d}(t))+\Phi_{1}(0, \dot{d}(t))} & {F_{1}^{T} Y_{2}} \\ {\star} & {-h \overline{X}_{2}}\end{array}\right], $$ $$ \Psi_{2}(h, \dot{d}(t))=\left[\begin{array}{cc}{\Phi_{0}(h, \dot{d}(t))+\Phi_{1}(h, \dot{d}(t))} & {F_{2}^{T} Y_{1}^{T}} \\ {\star} & {-h \overline{X}_{1}(\dot{d}(t))}\end{array}\right], $$ $$ \Psi_{3}(0, \dot{d}(t))=\left[\begin{array}{ccc}{\Phi_{0}(0, \dot{d}(t))+\Phi_{1}(0, \dot{d}(t))-h^{2} \Omega(\dot{d}(t))} & {F_{1}^{T}} & {\frac{Y}{\mathcal{X}}_{2}} \\ {\star} & {-h} & {\overline{X}_{2}}\end{array}\right], $$

그리고 $\Phi_{0},\:\Phi_{1,\:}\widetilde X_{2},\:\widetilde X_{1},\:\Omega$는 다음으로 주어진다.

증명 : 다음의 LKF 후보함수를 생각하자.

여기서

$$ v_{1}\left(x_{t}\right)=\eta_{1}^{T}(t) P_{1} \eta_{1}(t), \\ v_{2}\left(x_{t}\right)=\int_{t_{d}}^{t}\left[\begin{array}{c}{\eta_{2 a}(t)} \\ {w(s)}\end{array}\right]^{T} Q_{1}\left[\begin{array}{c}{\eta_{2 a}(t)} \\ {w(s)}\end{array}\right] d s+\int_{t_{h}}^{t_{d}}\left[\begin{array}{c}{\eta_{2 b}(t)} \\ {w(s)}\end{array}\right]^{T} Q_{2}\left[\begin{array}{c}{\eta_{2 b}(t)} \\ {w(s)}\end{array}\right] d s \\ v_{3}\left(x_{t}\right)=\int_{t_{d}}^{t}\left(s-t_{d}\right)\left[\begin{array}{c}{\eta_{3}(t)} \\ {\lambda\left(s, t_{d}, t\right) \eta_{3}(t)} \\ {\dot{x}(s)}\end{array}\right]^{T} R\left[\begin{array}{c}{\eta_{3}(t)} \\ {\lambda\left(s, t_{d}, t\right) \eta_{3}(t)} \\ {\dot{x}(s)}\end{array}\right] d s \\ +\int_{t_{h}}^{t_{d}}\left(s-t_{h}\right)\left[\begin{array}{c}{\eta_{4}(t)} \\ {\lambda\left(s, t_{h}, t_{d}\right) \eta_{4}(t)} \\ {\dot{x}(s)}\end{array}\right]^{T} \hat{R}\left[\begin{array}{c}{\eta_{4}(t)} \\ {\lambda\left(s, t_{h}, t_{d}\right) \eta_{4}(t)} \\ {\dot{x}(s)}\end{array}\right] d s \\ v_{4}\left(x_{t}\right)=\int_{t_{h}}^{t}\left(s-t_{h}\right) \dot{x}^{T}(s) Z \dot{x}(s) d s $$

그리고 $$ \eta_{1}(t)=E_{1}(d(t)) \xi_{t}, \eta_{2 a}(t)=E_{a} \xi_{t}, \eta_{2 b}(t)=E_{b} \xi_{t}, \eta_{3}(t)=E_{2} \xi_{t} \\ \begin{aligned} \eta_{4}(t) &=E_{3} \xi, w(s)=\operatorname{col}\{x(s), \dot{x}(s)\}, \dot{\eta}_{1}(t) \\ &=\widetilde{E}_{1}(\dot{d}(t)) \xi_{t}, \eta_{2 a}(t)=\widetilde{E_{2 a}}(\dot{d}(t)) \end{aligned}\\ \dot{\eta}_{2 b}(t) )=\widetilde{E_{2 b}}(\dot{d}(t)) \xi_{t}, \dot{\eta}_{3}(t)=\frac{1}{d(t)} \widetilde{E}_{2}(\dot{d}(t)) \xi_{t}, \dot{\eta}_{4}(t)=\frac{1}{h_{d}(t)} \widetilde{E}_{3}(\dot{d}(t)) \xi_{t} \\ \lambda(s, a, b)=\frac{3 s-(a+2 b)}{b-a} $$ 이다. 이를 바탕으로 위의 LKF 후보함수 (9)의 시스템 궤적 (1)에 따른 시간 미분을 구하면 각각 다음을 얻는다.

$$\dot v_{1}(x_{t})= 2\eta_{1}^{T}(t)P_{1}\dot\eta_{1}(t),\:$$ $$ \dot{v}_{2}\left(x_{t}\right)=\left[\begin{array}{c}{\eta_{2 a}(t)} \\ {w(t)}\end{array}\right]^{T} Q_{1}\left[\begin{array}{c}{\eta_{2 a}(t)} \\ {w(t)}\end{array}\right]-(1-\dot{d}(t))\left[\begin{array}{c}{\eta_{2 a}(t)} \\ {w\left(t_{d}\right)}\end{array}\right]^{T} Q_{1}\left[\begin{array}{c}{\eta_{2 a}(t)} \\ {w\left(t_{d}\right)}\end{array}\right] \\ +(1-\dot{d}(t))\left[\begin{array}{c}{\eta_{2 b}(t)} \\ {w\left(t_{d}\right)}\end{array}\right]^{T} Q_{2}\left[\begin{array}{c}{\eta_{2 b}(t)} \\ {w\left(t_{d}\right)}\end{array}\right] \\ +2 \int_{t_{d}}^{t}\left[\begin{array}{c}{\eta_{2 a}(t)} \\ {w(s)}\end{array}\right] Q_{1}\left[\begin{array}{c}{\eta_{2 a}^{\prime}(t)} \\ {0}\end{array}\right]-\left[\begin{array}{c}{\eta_{2 b}(t)} \\ {w\left(t_{h}\right)}\end{array}\right]^{T} Q_{2}\left[\begin{array}{c}{\eta_{2 b}(t)} \\ {w\left(t_{h}\right)}\end{array}\right] \\ +2 \int_{t_{h}}^{t_{d}}\left[\begin{array}{l}{\eta_{2}(t)} \\ {w(s)}\end{array}\right] Q_{2}\left[\begin{array}{c}{\dot{\eta}_{2}(t)} \\ {0}\end{array}\right], \\ {\dot{v}_{3}\left(x_{t}\right)=2 d^{2}(t) \eta_{3}^{T}(t)\left[\frac{1}{2} R_{11}+\frac{1}{4} R_{22}\right] \eta_{3}(t)} \\ {+d(t) \dot{d}(t) \eta_{3}^{T}(t)\left[R_{11}+\frac{1}{2} R_{22}\right] \eta_{3}(t)} \\ +2 \eta_{3}^{T}(t) R_{13}\left[d(t) x(t)-\int_{t-d}^{t} x(s) d s\right] \\ {+2 \eta_{3}^{T}(t) R_{13}\left[\dot{d}(t) x(t)+d(t) \dot{x}(t)-x(t)+(1-\dot{d}(t)) x\left(t_{d}\right)\right]} \\ {+2 \eta_{3}^{T}(t) R_{23}\left[d(t) x(t)+2 \int_{t_{d}}^{t} x(s) d s-\frac{6}{d(t)} \int_{t_{d}}^{t}\left(s-t_{d}\right) x(s) d s\right]} \\ {+2 \eta_{3}^{T}(t) R_{23}\left\{\dot{d}(t) x(t)+d(t) \dot{x}(t)+2\left[x(t)-(1-\dot{d}(t)) x\left(t_{d}\right)\right]\right.} \\ {-6\left[x(t)-\frac{(1-\dot{d}(t))}{d(t)} \int_{t_{d}}^{t} x(s) d s-\frac{\dot{d}(t)}{d^{2}(t)} \int_{t_{d}}^{t}\left(s-t_{d}\right) x(s) d s\right] \}} \\ {+d(t) \dot{x}^{T}(t) R_{33} \dot{x}(t)-(1-\dot{d}(t)) \int_{t_{22}}^{t} \dot{x}^{T}(s) R_{33} \dot{x}(s) d s} \\ {+2 h_{d}^{2}(t) \eta_{4}^{T}(t)\left[\frac{1}{2} \widehat{R_{11}}+\frac{1}{4} \widehat{R_{22}}\right] \dot{\eta}_{4}(t)} \\ {\quad-h_{d}(t) \dot{d}(t) \eta_{4}^{T}(t)\left[\widehat{R_{11}}+\frac{1}{2} \widehat{R_{22}}\right] \eta_{4}(t)} \\ {+2 \eta_{4}^{T}(t) \widehat{R_{13}}\left[h_{d}(t) x\left(t_{d}\right)-\int_{t_{h}}^{t_{d}} x(s) d s\right]} \\ {+2 \eta_{4}^{T}(t) \widehat{R_{13}}\left[-\dot{d}(t) x(t)+h_{d}(t)(1-\dot{d}(t)) \dot{x}\left(t_{d}\right)\right.} \\ {\quad-(1-\dot{d}(t)) x\left(t_{d}\right)+x\left(t_{h}\right) ]} \\ {+2 \eta_{4}^{T}(t) \widehat{R_{23}}\left[h_{d}(t) x\left(t_{d}\right)+2 \int_{t_{n}}^{t_{d}} x(s) d s\right.} \\ {-\frac{6}{h_{d}(t)} \int_{t_{b}}^{t_{d}}\left(s-t_{h}\right) x(s) d s ]} \\ {+2 \eta_{4}^{T}(t) \widehat{R_{23}}\left\{(1-\dot{d}(t)) x\left(t_{d}\right)+h_{d}(t)(1-\dot{d}(t)) \dot{x}\left(t_{d}\right)\right.} \\ {+2\left[(1-\dot{d}(t)) x\left(t_{d}\right)-x\left(t_{h}\right)\right]-6\left[(1-\dot{d}(t)) x\left(t_{d}\right)\right.} \\ {\quad-\frac{1}{h_{d}(t)} \int_{t_{h}}^{t_{d}} x(s) d s+\frac{\dot{d}(t)}{h_{d}^{2}(t)} \int_{t_{h}}^{t_{d}}\left(s-t_{h}\right) x(s) d s ] \}} \\ +(1-\dot{d}(t)) h_{d}(t) \dot{x}^{T}\left(t_{d}\right) \widehat{R_{33}} \dot{x}\left(t_{d}\right)-\int_{t_{h}}^{t_{d} . T}(s) \widehat{R_{33}} \dot{x}(s) d s, \\ v_{4}\left(x_{t}\right)=h x^{T}(t) Z x(t)-\int_{t_{h}}^{t} x^{T}(s) Z x(s) d s. $$

결과적으로 이들을 (8)에 정의된 $\Phi_{0}$를 이용하면 다음을 얻는다.

여기서

$$v_{a}(x_{t})=-\int_{t_{d}}^{t}\dot x^{T}(s)X_{1}(\dot d(t))\dot x(s)ds- \int_{t_{h}}^{t_{d}}\dot x^{T}(s)X_{2}\dot x(s)ds . $$

그리고 $X_{1}(\dot d(t)),\: X_{2}$는 (5)에 정의된 행렬이다. 다음으로 (6)에 정의된 $\widetilde X_{1}(\dot d(t)),\:\widetilde X_{2}$와 보조정리 2와 보조정리 3을 연속적으로 적용하면 다음을 얻는다.

여기서 $\Phi_{1}(d(t),\:\dot d(t))$는 (8)에 정의된 값이고, 그리고 $\Phi_{2}$는 다음의 값이고

$\Phi_{2}(d(t))=\dfrac{h_{d}(t)}{h^{2}}E_{8}^{T}Y_{2}\widetilde X_{2}^{-1}Y_{2}^{T}E_{8}+\dfrac{d(t)}{h^{2}}E_{9}^{T}Y_{1}^{T} \widetilde X_{1}(\dot d(t))^{-1}Y_{1}E_{9},\:$

또한 $z_{1},\: z_{2}$는 다음의 값이다.

$$ \left\{\begin{array}{l}{z_{1}=\operatorname{col}\left\{\chi_{1}\left(t_{d}, t\right), \chi_{2}\left(t_{d}, t\right), \chi_{3}\left(t_{d}, t\right)\right\}=E_{8} \xi_{t}} \\ {z_{2}=\operatorname{col}\left\{\chi_{1}\left(t_{h}, t_{d}\right), \chi_{2}\left(t_{h}, t_{d}\right), \chi_{3}\left(t_{h}, t_{d}\right)\right\}=E_{9} \xi_{t}}\end{array}\right. $$

다음으로 (10)과 (11)를 결합하면 다음이 된다.

여기서 함수 $\xi_{t}^{T}\Phi(d(t),\:\dot d(t))\xi_{t}$는 스칼라 $d(t)$에 대하여 quadratic이고 이의 2차항 계수는 $\xi_{t}^{T}\Omega(\dot d(t))\xi_{t}$이다. 따라서 보조정리 1에 의하여, 다음이 성립하고

$\xi_{t}^{T}\Phi(d(t),\:\dot d(t))\xi_{t}$는 스칼라 $\dot d(t)$에 대하여 affine 함수이므로Schur complement에 의하여 다음의 동치가 성립한다.

따라서 (7)의 조건 (i)-(iii)을 만족하면, 수식 (13)와 (14)으로부터 $\Phi(d(t),\:\dot d(t))< 0,\:\forall d(t)\in[0 ,\:h]$을 얻게 되고, 이를 바탕으로 (12)로부터 $\dot V(x_{t})<0 ,\:\forall\xi_{t}neq 0$ 을 얻으므로, 시간지연 조건 (2)하의 시간지연을 갖는 시스템 (1)은 점근적으로 안정하다. 이것으로 증명을 마친다.

4. 수치 예제

다음은 위에서 제시된 결과의 유용성을 잘 알려진 대표적인 2개의 수치예제를 통하여 보이도록 한다.

예제1 : 다음과 같은 행렬을 갖는 시간지연 시스템 (1)을 고려하자.

이 시스템의 경우, 잘 알려진 바와 같이⁽¹²⁾, 시간지연이 상수(constant)인 경우, 시스템의 안정성을 보장하는 최대 시간지연의 크기는 $h^{\text { anlytical }}=6.1721$이다. 아래의 표 1은 여러 값의 $-\mu_{1}=\mu_{2}$에 따른 시스템 행렬 (15)를 갖는 시스템 (1)의 안정도를 보장하는 최대 허용 $h$를 기존의 결과와 비교 정리한 표이다.

위의 표 1에서 보듯이 새로이 제시된 정리1의 결과는 기존의 결과보다 우수함을 알 수 있다.

예제2 : 다음과 같은 행렬을 갖는 시간지연 시스템 (1)과 시간지연 (2)를 갖는 시간지연 시스템을 고려하자.

잘 알려진 바와 같이⁽¹²⁾, 시간지연이 상수(constant)인 경우, 이 시간지연 시스템의 안정성을 보장하는 최대 허용 시간지연의 크기는 $h^{\text { anlytical }}=\pi$이다. 다음에 주어지는 표 1은 여러 값의 $-\mu_{1}=\mu_{2}$에 따른 시스템 행렬 (16)을 갖는 시간지연 시스템 (1)의 안정도를 만족하는 최대 허용 시간지연 $h$를 기존의 결과와 비교 정리한 표이다.

위의 표 2에서 보듯이 새로이 제시된 정리 1의 결과는 기존의 결과보다 우수함을 알 수 있다.

끝으로 위의 표 1과 표 2에서 보듯이 새로이 제시된 결과는 기존의 결과보다 우수함을 보인다.

5. 결 론

본 논문에서는 새로운 형태의 LKF 후보함수를 제란하고 여기에 Bessel-Legendre 부등식과 개선된 reciprocally convex 부등식을 이용하여 시간지연 시스템의 안정성이 보장하는 결과를 LMI 형태의 새로운 결과를 제시하였다. 끝으로 제시된 결과는 두 개의 대표적 예제를 통하여 기존의 결과보다 우수함을 보였다.