3.1 정상상태 동작
필터 내의 공진 동작 특성을 상태방정식을 이용하여 해석하고 $v_{C}-i_{L}$ 상태평면에서의 해석하여 시각적으로 표현하였다. 궤적 제어 방식은
시간 영역에서 공진필터 회로의 에너지 상태를 직접적으로 제어하여 최소한의 스위칭으로 정상상태에 이를 수 있다. 주어진 구조에서는 계통 측 전압이 계통
주파수 120Vrms 동작을 기준하였을 때 약 170V에서 –170V까지의 동작 영역을 가지므로 기존의 소신호 선형근사 모델을 이용할 때 동작점을
특정하기 힘들다. 또한 스위칭 주기 평균을 이용한 해석은 안정적인 설계를 위하여 일정량의 세틀링 타임과 오버 슛을 고려해야 한다. 궤적 제어 방식을
이용한 스위칭에서는 최소한의 스위칭으로 정상상태에 이르며 공진회로의 에너지량을 직접적으로 제한하므로 공진회로 내의 상황에 즉각 응답할 수 있다.
$v_{ac}-i_{ac}$ 전사분면에서 동작하는 스위칭 모드를 결정하기 위하여 여섯 개의 패러미터 $v_{C},\: i_{L}$$v_{dc},\:
i_{dc}$ $v_{ac},\: i_{dc}$가 필요하고 주어진 패러미터의 값으로 공진 상태 평면에서 스위칭 동작을 위한 지령 반지름 $R_{ref}$
를 결정한다.
해석을 단순화하기 위하여 주요 표 1에 따라 패러미터들을 정규화하여 표현한다. 여기서 $Z_{o}=\sqrt{L/C}$은 특성 임피던스이고, $w_{o}=1/\sqrt{LC}$는 공진주파수를
나타낸다.
표 1. 정규화 상수
Table 1. Base parameters
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Base
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impedence $Z_{b}$
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$Z_{o}$=$\sqrt{\dfrac{L}{C}}$
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voltage $V_{b}$
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$V_{dc}$
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current $I_{b}$
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$\dfrac{V_{b}}{Z_{b}}$
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power $P_{b}$
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$V_{b}I_{b}$
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frequency $f_{b}$
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$\dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$
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표 2. 단일스테이지 공진형 계통연계 인버터 스위칭 상태표
Table 2. Switching states of the single-stage resonant grid-tied inverter
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Switching states
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$(k_{dc},\: k_{ac})$
Normalized pivots
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(1, 1)
P1 : $1-\dfrac{m_{ac}}{2N}$
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(-1, 1)
P2 : $-1-\dfrac{m_{ac}}{2N}$
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(-1, -1)
P3 : $-1+\dfrac{m_{ac}}{2N}$
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(1, -1)
P4 : $1+\dfrac{m_{ac}}{2N}$
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그림 6의 등가회로로부터 구한 상태 미분방정식을 다음과 같이 구한다.
식(6),(7)으로부터 다음과 연립미분방정식이 구해진다.
필터 인덕터의 전류 및 필터 커패시터의 전압의 초기 조건을 다음과 같이 정의하였다.
계통 측 브리지는 인덕터 전류가 환류할 때 스위칭하므로 $I_{Lo}$은 무시할 수 있다. 스위칭 주파수는 계통이나 직류 측 전원의 동적 특성에 비해
매우 빠르므로 스위칭 주기 내의 제어 동작 해석에서는 직류 측 전압과 계통 측 전압을 정적 상태로 가정하여 해석하였다. 정의된 초기 조건을 이용하여,
정규화된 필터 인덕터 전류 $j_{L}$와 커패시터 전압 $m_{C}$식을 유도하면
식(10)과 (11) 과 같다.
그림 8에서
식(10)와 (11)을 $m_{C}-j_{L}$ 상태 평면상에 도시하였다. 필터의 전류 및 전압은 스위칭 한 주기 동안 4 회 피봇을 전환하며 피봇을 중심으로 원운동한다.
이 때 상태 평면상에서 회전반경 $R_{d}$은 다음과 같이 유도할 수 있다
(6).
스위칭 상태에 따라 $k_{dc},\: k_{ac}$는 –1 혹은 1로 비선형 전환하며 $m_{C}-j_{L}$ 상태 평면에서 회전 피봇은
표 2와 같이 결정된다.
그림 8에서 $v_{ac}-i_{ac}$의 1, 3사분면 동작과 2, 4사분면 동작시 $m_{C}-j_{L}$ 상태 평면 궤적을 확인할 수 있다. $v_{ac}-i_{ac}$의
1, 3사분면에서는 직류 측에서 계통 측으로 에너지가 전송되며 피봇은 $P_{1}-P_{2}-P_{3}-P_{4}$로 순환한다. $v_{ac}-i_{ac}$의
2, 4사분면에서는 계통 측에서 직류 측으로 에너지가 전송되며 회전피봇은 $P_{4}-P_{3}-$$P_{2}-P_{1}$로 역방향 순환한다.
그림. 8. $m_{C}-j_{L}$ 상태 평면 피봇전환 시퀀스
Fig. 8. $m_{C}-j_{L}$ state plane
그림. 9. $R_{ref}: 4\to 2$ 계단 응답
Fig. 9. Transient response with $R_{ref}: 4\to 2$
$v_{ac}-i_{ac}$의 사분면 상에서 지령전류에 따라 계통주파수로
그림 4와 같이 회전하고 유무효 전력 송신을 구현한다.
$v_{ac}-i_{ac}$ 1사분면 동작시 상태 평면에서 사잇각 $\gamma$는 식(14)이다 .
상태 평면에서 원점에서 좌표까지의 거리는 공진필터 내 에너지량을 나타내며 상태 평면 내에서 좌표를 바탕으로 스위칭하여 필터 내 에너지량 및 계통 측
전류를 제어한다. 계통 측의 전압과 인덕터 전류는 위상이 같고 정상상태 동작 중에 계통 측의 전류 $I_{0}$는 인덕터 필터 전류의 반주기 평균값과
일치한다.
지령 반지름 $R_{ref}$의 크기는 계통 측에 지령하는 전류의 양과 계통 측 전압에 따라
식(14) (15)에 의해 결정된다.
상태 평면에서 상태변수의 좌표가 지령 반지름에 이를 때 직류 측 스위치가 턴 오프되면서 필터 내의 에너지량과 계통전류를 제어한다.
그림 9는 지령 반지름을 계단형 신호 형태로 전환하였을 때 상태 전환하는 예를 보여준다. PLEXIM PLECS를 이용하여 시뮬레이션 수행하였다. 지령된
반지름으로 공진반주기 내에 이르지 못할 경우 필터를 충전 혹은 방전하는 최소한의 스위칭 동작 후 지령 반지름에 이르면 정상상태 궤적에 진입함을 확인할
수 있다.