4.1 Primitive Admittance Matrix

Primitive Admittance Matrix는 변압기의 임피던스와 자화 어드미턴스를 통해 나타낼 수 있다. 2권선 변압기 기준으로 대부분의 변압기는 Nodal Analysis측면에서 그림 5와 같이 coupling-free 등가회로로 나타낼 수 있다.

그림. 5. Wye-Delta 변압기 coupling-free 등가회로

Fig. 5. Wye-Delta transformer equivalent coupling-free circuit

그림 5는 3상 변압기의 1차측 권선의 어드미턴스(=$Y_{p}$), 2차측 권선의 어드미턴스(=$Y_{s}$), 그리고 자화 어드미턴스(=$Y_{m}$)가 $V_{789}$의 노드에 연결되어있는 형태를 보이며 이를 식(5)의 형태로 나타내면 다음과 같다.

식(24)는 3상의 행렬을 수식적 표현을 위해 편의상 단상으로 표현한 식이다. 식(24)에서 $Y_{pr}$의 (1,2)와 (2,1) 요소는 $V_{123}$의 노드와 $V_{456}$의 노드가 전기적으로 직접 연결되어있지 않으므로 0임을 알 수 있다. $Y_{pr}$의 (3,3) 요소 즉, $V_{789}$의 노드는 $Y_{p}$, $Y_{s}$, 그리고 $Y_{m}$와 전기적으로 직접 연결되어 있으므로 $Y_{p}$+$Y_{s}$+$Y_{m}$임을 알 수 있다. $V_{789}$의 노드는 변압기의 1차측 및 2차측 권선을 coupling-free circuit으로 표현하기 위해 생성한 가상의 노드이므로 Kron Reduction을 통해 소거하면 아래와 같다.

식(25)에서 $Y_{pp}$와 $Y_{ss}$는 각 측에 대한 자기 어드미턴스(self-admittance)이고, $Y_{ps}$와 $Y_{sp}$는 한 쌍의 측 사이에 대한 상호 어드미턴스(mutual-admittance)이다. 식(25)를 3상 변압기에 대해 확장하여 표현하면 다음과 같다.

식(26)은 일반적인 3상 변압기에 대한 Primitive Admittance Matrix이다. 일반적인 3상 변압기는 통상적으로 3대의 단상 변압기 뱅크로 구성이 되어있다. 따라서 3대의 단상 변압기를 가진 변압기는 Primitive Admittance Matrix는 6 by 6인 행렬의 크기를 가진다. 이를 스코트 변압기에 대해 적용해보면 다음과 같다.

스코트 결선은 그림 2와 같이 2대의 단상 변압기 뱅크로 구성되어있으므로 식(27)과 같이 표현될 수 있다. 제안하는 스코트 변압기의 Primitive Admittance Matrix는 3상 포맷의 조류해석에 의해 6 by 6인 행렬의 크기를 유지한다.

4.2 Connection Matrix

Connection Matrix는 노드 전압을 권선 전압으로 표현하기 위한 행렬식이다. Mesh Analysis측면에서 변압기의 각 상은 자기적 결합이 되므로 Connection Matrix는 변압기의 결선 형태에 따라 다양하다. 본 논문에서 제안하는 Connection Matrix는 권선 전압의 크기를 단위법 기준 1p.u.로 가정한다. Connection Matrix에서 권선 전압을 1p.u.로 고려하여 모델링 했을 경우, 다양한 결선 형태의 조합에도 변압기의 결선 간 자기적 결합이 용이하다. 권선 전압을 1p.u.로 가정하지 않을 경우, 상전압과 선간전압 사이의 자기적 결합은 단위법 기준 전압의 크기 차이로 인해 정확한 모델링이 불가능하다. 이를 실증하며 스코트 변압기와 유사한 결선형태가 존재하는 기본적인 변압기는 Ungrounded wye-Delta 변압기이다.

그림. 6. Ungrounded wye-Delta 변압기 결선

Fig. 6. Ungrounded wye-Delta Transformer connection diagram

그림 6은 3상 Ungrounded wye-Delta 변압기의 결선도이다. 앞서 말했듯, Connection Matrix를 구성하는 방법은 결선도를 기반으로 노드 전압과 권선 전압 사이의 관계식에서 시작된다.

식(28)에서 $V_{1-6}$은 변압기 권선에 유기되는 권선 전압을, $V_{a,\:b,\:c}^{p,\:s}$는 노드 전압을, $V_{n}$은 중성점의 전압을 의미한다. $V_{n}$이 중성점의 전압이라고는 하나 Ungrounded wye이므로 접지된 중성점은 아님을 유의해야 한다.

권선 전압 중 $V_{1}$, $V_{2}$ 및 $V_{3}$은 Ungrounded wye 결선에 유기된 상전압이다. Ungrounded wye 결선의 노드 전압과 권선 전압 사이의 관계식을 행렬화하면 다음과 같다.

식(29)를 보면 행렬의 크기가 4 by 4인 행렬임을 알 수 있다. 그 이유는 $V_{n}$의 중성점이 접지 되지 않았으므로 전압을 가지기 때문이다. 따라서 $V_{n}$의 노드를 Kron Reduction을 통해 소거한 Ungrounded wye의 Connection Matrix는 다음과 같다.

권선 전압 중 $V_{4}$, $V_{5}$ 및 $V_{6}$은 Delta 결선에 유기된 선간전압이다. $V_{1}$과 $V_{4}$는 자기적 결합이 되어 있으므로 동일한 1p.u.의 전압이 유기된다. 식(16)을 통해 선간전압은 상전압보다 동일한 조건에서 전압의 크기가 $\sqrt{3}$배 높기 때문에 식(28)의 선간전압은 $\sqrt{3}$으로 나누어진다. 이를 행렬식으로 표현하면 다음과 같다.

식(30)과 식(31)을 통해 Ungrounded wye-Delta 변압기의 Connection Matrix는 다음과 같다.

식(32)와 같이 노드 전압을 권선 전압으로 표현하기 위한 관계식 행렬이 Connection Matrix이다. 본 논문에서 제안하는 Connection Matrix를 스코트 결선에 적용하기 위해서 그림 2를 기반으로 노드 전압과 권선 전압 사이의 관계식이 필요하다. 스코트 결선의 전압 관계식은 다음과 같다.

식(33)에서 T좌의 1차측 권선 전압은 Ungrounded wye 결선과 동일하며, M좌의 1차측 권선 전압은 Delta 결선과 동일하다. 2차측 권선 전압은 접지된 상전압으로 Grounded wye 결선과 같다. 식(33)을 행렬식으로 표현하면 다음과 같다.

식(34)와 같이 스코트 결선은 3상을 2상으로 변성하는 결선이지만, 스코트 결선의 Connection Matrix는 3상 포맷의 조류해석에 의해 6 by 6인 행렬의 크기를 유지한다.

5.1 IEEE test계통을 통한 3상 변압기 검증

일반적인 3상 변압기 검증을 위해 사용된 테스트 계통은 IEEE 4 Node Test Feeder이다. IEEE 4 Node Test Feeder는 간단한 계통으로 변압기에 대한 테스트를 시행하기에 적합한 계통이다. MATLAB을 통해 구현된 조류해석의 결과값과 IEEE Test Feeder의 솔루션의 비교를 통해서 검증된다. 검증에 사용된 테스트 계통의 변압기들은 다음과 같다.

1) Grounded wye-Grounded wye connection transformer

2) Ungrounded wye-Delta connection transformer

해당 계통은 그림 7과 같이 4개의 모선, 2개의 선로, 1개의 변압기, 그리고 1개의 부하로 구성되어있다.

그림. 7. IEEE 4 모선 테스트 계통

Fig. 7. IEEE 4 Node Test Feeder

1번 모선은 slack모선이며, 나머지 모선들은 P-Q모선이다. 1번과 2번, 3번과 4번은 그림 8과 같이 극 구성이 대칭적이지 않은 선로로 연결된다. 통상적으로 선로의 연가를 통해 대칭적인 선로의 임피던스를 유도한다. 그러나 극 구성 및 간격의 비대칭으로 인해 선로의 임피던스는 불평형이 된다. 이에 의해 각 상의 선로에 유도된 서로 다른 전압강하로 인해 불평형 전압이 발생한다. 그러나 계통은 정적인 특성을 가질 수 없기 때문에 이러한 사항도 고려되어야 한다. IEEE 4 Node Test Feeder의 1번과 2번 모선을 연결하는 선로는 2,000ft, 3번과 4번 모선을 연결하는 선로는 2,500ft이다.

그림. 8. IEEE 4 모선 테스트 계통의 선로

Fig. 8. IEEE 4 Node Test Feeder Line

2번과 3번 모선에는 각각 다른 결선의 변압기가 구성된다. 본 계통에서 사용되는 결선은 Ungrounded wye, Grounded Wye 및 Delta 결선이다. 결선 형태는 강압과 승압에 따라 다르며 본 사례 연구에서 검증될 계통의 변압기는 12.47kV에서 4.16kV로의 강압 변압기이다. 세부 데이터는 다음과 같다.

IEEE 4 Node Test Feeder에서 사용되는 변압기는 6MVA의 용량을 가진다. 3상 변압기는 3대의 단상 변압기 뱅크로 구성되므로 단상 변압기는 각 2MVA의 용량을 가진다. 또한 표 1의 퍼센트 임피던스는 각 단상 변압기의 임피던스이다.

부하는 4번 모선에 설비되며 3상 불평형 부하이다. 세부 데이터는 다음과 같다.

이와 같은 조건의 IEEE 4 Node Test Feeder를 검증함으로써 제안하는 Nodal Admittance Matrix의 변압기 모델링의 신뢰성을 입증하고자 한다. 표 3과 표 4는 MATLAB으로 구현된 Newton-Raphson method의 결과값과 IEEE에서 제공하는 해당 계통의 Solution을 비교한다. MATLAB의 결과값을 측정값, IEEE Solution을 참값으로 지정하여 백분율 오차를 통해 구현된 Newton-Raphson method의 신뢰성을 수치로 나타냈다.

MATLAB의 결과값과 Solution의 값의 백분율 오차가 0~ 0.0328%로 MATLAB의 결과값과 Solution의 값이 완벽히 일치하지는 않지만 이는 사용되는 해석방법의 차이와 입력 데이터의 유효숫자 차이임을 고려하여 해결될 수 있다.

5.2 스코트 변압기 모델링 검증

스코트 변압기 모델링에 대한 검증을 위해 사용된 테스트 계통은 발전원, 부하 및 스코트 변압기로 구성된 계통이다. 본 절의 사례 연구는 MATLAB을 통해 구현된 조류해석 결과값과 OpenDSS를 통해 해석된 계통의 결과값에 대해 비교를 통해서 검증된다.

그림. 9. 스코트 변압기 테스트 계통

Fig. 9. Scott or T Transformer Test Feeder

해당 계통은 그림 9와 같이 2개의 모선, 1개의 변압기, 그리고 1개의 부하로 구성되어있다. 1번 모선은 Slack모선이며, 2번 모선은 P-Q모선이다. 변압기의 용량, 1차와 2차측 정격전압, 그리고 임피던스 등의 세부 데이터는 다음과 같다.

부하는 2번 모선에 설비되며 평형 P부하이다. 세부 데이터는 다음과 같다.

이와 같은 조건의 스코트 변압기 테스트 계통을 검증함으로서 스코트 변압기 모델링을 검증하고자 한다. 표 7은 해당계통을 구현된 Newton-Raphson method 조류해석한 결과값과 OpenDSS로 조류해석한 결과값을 비교한다. MATLAB의 결과값을 측정값, OpenDSS를 참값으로 지정하여 백분율 오차를 통해 스코트 변압기 모델링의 신뢰성을 수치로 나타냈다.

OpenDSS의 결과값을 분석해보면 2번 모선 전압의 크기에서 오차가 발생했다. 오차율은 0.0335%로 큰 오차는 아니다. 스코트 변압기의 특징상 평형 전력 계통이었을 경우 변압기의 2차측에는 동일한 전압이 발생해야한다. MATLAB은 동일함을 보이지만 OpenDSS는 그렇지 않다. 따라서 MATLAB의 결과값이 직관적인 측면에서 옳은 값이다. OpenDSS에서 M좌와 T좌의 전압의 크기가 다른 이유는 OpenDSS 변압기 모델링 환경에서 스코트 변압기를 구현할 때 점퍼라는 요소를 사용했기 때문이다. OpenDSS에서 점퍼의 정의는 작은 값의 임피던스를 가진 리액터 또는 선로이다. 작은 값의 임피던스라 하더라도 전압강하가 일어날 수 있다. 따라서 점퍼에 의한 전압강하에 따라 발생한 오차이다.