2.1 제어 대상 시스템과 문제 정의

본 논문에서는 아래와 같이 표현된 플랜트에 대한 RBF (Radial Basis Function) 신경망 제어기 설계 문제를 다룬다.

위 식에서 상태 $x =[x_{1}x_{2}]^{T}\in{R}^{2}$, 입력 $u \in{R}$, 출력 $y \in{R}$이고, 외란 $d \in{R}$와 동특성을 좌우하는 $f(x)$ 및 $g(x)$는 미지의 함수이다.

제어 목표는 두 번 이상 미분 가능한 기준 신호 $y_{d}$를 시스템 출력이 추종하는 것이다. 만약 외란이 없고 $f(x)$와 $g(x)$를 정확하게 안다면 아래와 같은 이상적인 제어 입력을 통해 제어 목표를 달성할 수 있다.

위 식에서 $K =[k_{p} k_{d}]$, $E =[e\dot e]^{T}$이고 $e = y_{d}- y$ 이다.

식 (1)에 식 (2)를 인가하면 아래와 같은 오차에 관한 미분 방정식을 얻을 수 있으므로 두 양수 $k_{p}$ 및 $k_{d}$에 의해 결정되는 특성방정식의 근에 따라 오차는 0으로 수렴하게 된다.

그러나, 현실적으로 존재하는 모델의 불확실성과 외란 하에서도 제어 목표를 달성하기 위한 방법으로 다음 절에서는 그림 1의 RBF NN (Radial Basis Function Neural Network) 기반 관리 제어 (Supervisory Control) 시스템을 소개한다 ⁽¹⁰⁾.

2.2 RBF 신경망 제어기

모델 불확실성과 외란에 강인한 제어 방법으로 우선 그림 1의 RBF 신경망 기반 제어 시스템을 소개한다. 제어기 출력 $u_{p}$와 RBF NN에 의한 $u_{n}$을 결합함으로써 오차 $e$를 0으로 만들기 위한 제어 입력 $u$를 생성한다. 이때 RBF NN으로 근사하고자 하는 대상은 시변 $y_{d}$ 혹은 외란과 같은 불확실성으로 인해 입력 $u_{p}$가 발생시킬 수 있는 제어 오차를 없애기 위한 전향보상 함수이다.

그림 1의 관리 제어기 입력 $u$와 RBF NN 블록의 출력인 $u_{n}$은 아래 식으로 표현된다.

위 식에서 $h_{j}(·)$는 아래 식 (6)과 같이 표현되는 가우스 함수이고 $w_{j}$는 각 $h_{j}$에 대한 가중치 (weight)이다. RBF NN으로 근사하고자 하는 이상적인 함수와의 오차는 가우스 함수의 개수 $m$이 증가할수록 임의로 줄일 수 있음이 알려져 있다 ⁽¹⁰⁾.

위 식에서 $c_{j}$는 가우스 함수의 중심 (center)이라 불리고, $b_{j}$는 함수의 폭 (width)을 결정한다. 임의의 벡터 $v$에 대해 $\Vert v\Vert^{2}= v^{T}v$를 뜻한다.

이때 RBF 관리 제어 방식은 $u = u_{n}$이 되도록 RBF 파라미터들을 학습시킨다. 즉, 학습에 필요한 비용함수를 아래와 같이 정의하고 경사 하강법 (Gradient Descent Method)을 적용한다.

위 함수에 의해 $w_{j}$, $b_{j}$와 $c_{j}$를 최신화 (업데이트)하는 식은 다음과 같다 ⁽¹⁰⁾. 여기서 학습률 (learning rate) $\eta$는 0과 1 사이의 값을 갖는다.

한편 학습이 잘 진행되어 식 (7)의 값이 궁극적으로 0 (즉, $u_{p}= 0$)으로 수렴한다는 것이 제어 목표가 달성됨을 확정하기 위해서는 $u_{p}= 0$일 때 $e = 0$이 되도록 $u_{p}$를 설계해야 한다. 따라서 제어 목표 달성을 위한 정상상태 입력 $u = u_{ss}ne 0$인 경우에 필요한 정상상태 입력은 RBF NN의 $u_{n}$이 제공해야 함을 뜻한다.

또한, 상대적으로 $u_{p}$가 큰 값을 갖는 초기 (과도) 단계에서 $u_{n}$ 역시 큰 입력을 제공하도록 신경망 파라미터들이 업데이트되면 플랜트 입출력의 요동 또는 오버슛이 빈번하게 발생할 수 있어 이에 대한 대책이 필요하다.

다음 절에서는 제어 시스템의 성능을 향상시키는 방법으로서 RBF 신경망 학습에 슬라이딩 모드 제어기법을 결합하기 위해 기본적인 슬라이딩 모드 제어기를 간략히 소개한다.

2.3 슬라이딩 모드 제어기법

제어 대상 플랜트 모델의 불확실성에 대처하기 위한 제어 방법으로 슬라이딩 모드 제어기 (SMC, Sliding Mode Controller)가 많이 활용되고 있다. 슬라이딩 모드 제어기 설계를 위해 식 (1)을 아래와 같이 다시 표현한다.

식 (11)에 아래 제어 식 (13)을 인가하면 식 (14)를 얻는다. 입력식에 포함된 $u_{1}$은 $\delta$의 영향을 보상하기 위해 다음 단계에서 부호 함수를 사용해서 결정한다.

슬라이딩 함수 $s = KE = k_{d}(\dot e +\lambda e)$로 정하면 슬라이딩 평면 $s = 0$에서 $\dot e = -\lambda e$이므로 $e\to 0$임을 알 수 있다. 단, 앞 절에서 $k_{p}$와 $k_{d}$는 양수이고, $\lambda := k_{p}/ k_{d}> 0$이다.

슬라이딩 평면에 도달하기 위한 추가 입력 $u_{1}$를 얻기 위해 Lyapunov 함수 $V =\dfrac{1}{2k_{d}}s^{2}$을 시간에 대해 미분하면 다음과 같다.

위 식에서 $s ne0$일 때 $\dot V < 0$이 되도록 추가 입력 $u_{1}$을 아래와 같이 결정한다.

이때 스위칭 이득 $M$은 미지의 등가 외란의 크기 $vert\delta vert$보다 크게 설계해야 하므로 시행착오를 통한 튜닝 과정이 필요하다 (즉, $M - vert\delta vert >\gamma > 0$). 추가 식 (16)에 의해 식 (15)로 부터 아래 식을 얻을 수 있다.

위 식에 의해 유한 시간 내에 $s = 0$에 수렴함으로써 $e\to 0$임을 알 수 있다. 결국 본 절에서 설계한 슬라이딩 모드 제어기는 아래 식과 같이 주어진다.

다음 절에서는 앞 절의 두 제어기의 장점을 결합하여 새로운 RBF 신경망 기반 관리 제어시스템을 제안한다.

2.4 제안하는 RBF NN 제어기

앞 절에서 소개한 RBF 제어기 (4)와 슬라이딩 모드 제어기 (18)을 비교하면 $u_{p}$는 공통이며 제어 목표가 달성된 상태에서 $u_{p}= 0$이므로 정상상태 입력 $u_{ss}$는 아래와 같은 성질을 만족함을 알 수 있다.

따라서 RBF 신경망 관리제어기 설계시 초기 파라미터 업데이트가 과도하게 요동하는 것을 막는 방편으로 $u_{n}$에 슬라이딩 모드 제어기의 정상상태 성분 일부를 활용하는 방법을 생각할 수 있다. 같은 아이디어를 슬라이딩 모드 제어기 쪽에 적용하면 제어식 (18)에서 스위칭 이득 $M$이 지나치게 커서 제어기 샘플링 주기에 따라 채터링이 심해지는 문제를 막는 방법으로 RBF 신경망을 활용할 수 있다. 즉 미지의 등가 외란 $\delta$의 일부를 $w^{T}h$가 근사함으로써 슬라이딩 모드 제어기가 요구하는 $M$의 크기를 줄일 수 있다. 여기에 착안하여 본 논문에서 제안하는 RBF 신경망 기반 제어기는 다음과 같다.

위 식에서 $u_{p}= KE$ 이고, $\mu$는 스위칭 이득을 줄이기 위해 사용하는 $0 <\mu < M$인 임의의 양수이며 함수 $\tanh(\sigma u_{p})$는 불연속 함수인 ${sgn}(u_{p})$의 사용을 피하기 위해 사용된다. 양수 $\sigma$가 클수록 $\tanh(\sigma u_{p})$가 ${sgn}(u_{p})$에 더욱 근접하겠지만 실제 제어기 구현시 채터링을 유발하기 쉬우므로 주의가 필요하다.

제안하는 제어기의 파라미터 업데이트는 식 (8)~(10)에서 $u_{n}$ 대신 위의 $u_{ns}$을 사용하며 이는 비용함수로서 아래 식을 사용한 결과이다.

$J =\dfrac{1}{2}\left(u_{ns}- u\right)^{2}$.

다음 장에서는 두 가지 시스템에 대한 모의실험을 통해 제안하는 제어기의 성능을 확인한다.

3.1 인덱스 기구의 속도 제어

간헐 회전 운동이 요구되는 공장 자동화 조립 라인에 그림 2와 같이 웜기어 형태의 롤러 기어 인덱스나 Geneva 휠⁽¹⁵⁾과 디스크 캠의 중간 형태인 평행 인덱스 기구⁽¹⁶⁾가 자주 사용되고 있다. 인덱스 기구는 모터에 의하여 등속 회전하는 드라이브와 이와 연동하여 간헐 회전하는 분할판 (turret)으로 구성되어 있으며 분할판에 턴 테이블 등의 부하가 실리게 된다 (그림 3참조).

대부분의 응용에서는 개루프 제어 방식에 의하여 드라이브를 구동함에 따라 부하 변동시 분할판의 속도가 변화하는 단점이 있다. 이에 따르는 여러 가지 비효율성을 개선하기 위하여 인덱스 드라이브가 부하에 관계없이 일정한 속도로 회전하도록 강인한 속도 제어기를 설계한다.

본 절에서 고려하는 시스템은 그림 3에서와 같이 정지 대 회전의 시간 비가 2:1로서 소위 할부각이 120°이며, 90°씩 네번 간헐 회전함으로서 등분수가 4인 평행 인덱스이다. 본 인덱스는 상/하 드라이브 판에 존재하는 이중 캠과 분할판 상의 캠종동절 (cam follower)이 차례로 맞물리며 회전함으로써 분할판의 간헐운동을 구현한다. 인덱스 기구의 구동에는 일반적으로 전기 모터가 사용되고 있으며 여기서는 표 1과 같은 제원의 11 kW급 직류 모터를 고려한다.

증폭기의 전압 이득을 $k_{A}$, 점성마찰 계수를 $b_{m}$, 모터의 전기자 저항, 토크 상수, 관성 부하, 역기전력 상수를 각각 $R_{a}$, $k_{m}$, $J$, $k_{b}$라고 할 때 전기적인 동특성을 무시한 모터 입력 전압과 출력 속도간의 전달함수는 아래와 같다 ^(18,19).

한편 외란은 모터의 실제 회전각($\theta_{a}$), 각속도($\omega_{a}$), 각가속도($\alpha_{a}$) 등의 함수이다. 즉, 한 주기당 인덱스 기구의 변위 선도인 modified sine 곡선 ⁽²⁰⁾ 식 (2a)를 기준으로 연산하면 식 (22c)와 같이 외란 신호 $T_{d}$를 구할 수 있다.

위 식에서 $\theta_{c}$, $\alpha_{c}$, $J_{c}$는 각각 분할판의 회전각, 각가속도 및 관성부하를, $\theta_{0}$와 $\mu_{s}(·)$는 각각 초기각과 단위 계단함수를 나타낸다. 모의실험에서 사용된 $J_{c}= 0.15$[${kg m}^{2}$]이다.

그림 4는 기준 속도 $y_{d}$가 400rpm 혹은 $40\pi$/3rad/s일 때의 속도 제어 모의 결과이다. 제안하는 제어기 (Proposed)와 PI-제어기 (PIC) 및 슬라이딩 모드 제어기 (SMC)를 함께 비교하였다.

모터의 속도 제어 시스템이므로 제안하는 제어기 그림 1에서 $u_{p}= k_{p}e$를 사용하고 샘플링 주기 0.1ms일 때 폐루프 시정수가 3ms가 되도록 $k_{p}$를 정하였다. 간단한 구현을 위해 가우스 함수의 개수 $m$ = 6으로 하고, 파라미터 $b$ = 10*[1, 1, 1, 1, 1, 1] 및 $c$ = 10*[-5, -3, -1, 1, 3, 5]는 기준 입력 크기를 고려하여 업데이트 없이 상수로 결정하였다. 가중치 $w$의 초기치는 매틀랩 함수로 임의로 정하였고 학습률 $\eta$ = 0.3을 사용하였으며, 함께 사용한 슬라이딩 모드 제어기 파라미터 $\mu$ = 10, $\sigma = 5$이다. PI-제어기 설계는 전달함수 정보를 사용하였으며 이득은 제어기의 분자가 시스템 전달함수의 분모를 소거하면서 폐루프 전달함수의 시정수가 3ms가 되도록 정하였다.

그림 5는 제어 오차를 확대해서 나타내었고, 그림 6은 제어 입력을 비교하고 있다. 그림 7은 제안하는 제어기로 정속 운전시 입력되는 부하 토크 외란을 보여준다. 외란 및 불확실성에도 불구하고 제안하는 제어기를 통해 제어 목표가 달성되고 있음을 확인할 수 있다 (그림 5). 그림 8은 제안하는 제어기의 가중치 최신화 과정을 나타낸다.

그림 9는 슬라이딩 모드 제어기 (18)의 이득 변화에 따른 성능 개선 효과를 확인하기 위해 $\mu = 10$ 인 경우 (SMC)와 $\mu$ = 50인 경우 (SMC2)를 제안하는 제어기와 함께 비교하였다. 스위칭 이득을 증가시키면 오차가 감소하지만 오차가 잔류하고 출력값에 진동을 유발시킴을 관찰할 수 있다.

3.2 역진자 시스템 각도 제어

두 번째 예제는 대표적인 비선형 시스템으로 자주 고려되는 역진자 시스템에 대한 각도 제어 문제이다. 제어 대상 시스템은 그림 10과 같고 모의실험에 사용된 식 (1)의 $f(x)$와 $g(x)$는 아래와 같다 ⁽¹⁰⁾. 여기서 상태변수 $x_{1},\: x_{2}$는 각각 각도 $\theta$와 각속도를 뜻한다.

위 식에서 중력가속도 $g = 9.8{m}/{s}^{2}$, 카트 질량 $m_{c}= 1{kg}$, 막대 무게 $m = 0.1{kg}$, 막대 길이 $l = 0.5{m}$이다.

기준 각도 $y_{d}= 0.1\sin t$를 추종하는 각위치 제어 성능을 시험한다. 이때 외란 토크 $d = 2 + 2\sin t$가 3초 순간에 인가된다. 비교하는 제어기 파라미터는 표 2에서 정리하였다. 모든 제어기는 현실적인 구현이 용이하도록 샘플링 주기 1ms인 디지털 제어기를 사용하였다.

그림 11~13은 제안하는 제어기 (Proposed)와 2.2절의 전형적 RBF NN 관리 제어기 (PDSC1, PDSC2)를 함께 비교하였다. 두 가지 관리 제어기는 PD-제어 이득 $K$만 달리 하였다. 간단한 구현을 위해 가우스 함수 개수 $m$ = 4로 하고, 파라미터 $b$ = 0.1*[1, 1, 1, 1] 및 $c$ = 0.05*[-2, -1, 1, 2]는 상수를 사용하였으며 가중치 $w$의 업데이트에는 $\eta$ = 0.1을 사용하였다.

실험 결과 초기 수렴 속도 개선을 위해 PD-제어 이득을 키운 PDSC2에 나타나는 진동 현상을 제안하는 제어기가 개선할 수 있음을 확인할 수 있다. 함께 사용한 슬라이딩 모드 제어기 파라미터 $\mu$ = 5, $\sigma$ = 2이다 (표 2).

그림 14는 슬라이딩 모드 제어기 (18)의 이득 변화에 따른 성능 개선 효과를 확인하기 위해 $\mu$ = 5인 경우 (SMC)와 $\mu$ = 50인 경우 (SMC2)를 제안하는 제어기와 함께 비교하였다. 스위칭 이득을 증가시키면 오차가 감소하지만 추가적인 $\mu$나 $\sigma$의 증가는 출력값에 진동을 유발한다. 제안하는 제어기가 낮은 스위칭 이득($\mu$ = 5)을 사용하고도 가장 우수한 성능을 보여주고 있다.