2.1 유효 공극자속밀도 계산

공극에서 유도전동기의 유효자속밀도는 유한요소해석(FEA)을 이용하여 계산하였으며, 정성적 해석을 위해 회전자와 고정자의 슬롯 형상 효과는 무시하였다.

유한요소해석에서 전류가 흐르는 도체는 공극에 매우 가깝게 회전영역에 작게 할당하였다. 회전자 주변의 유효 자속 밀도 패턴은 전류 주변에서 매우 크게 나타나며 거리가 멀어질수록 급격히 감소한다. 그림 1은 회전자 봉도체의 단위전류(1A)에 따른 공극 유효자속밀도 분포를 나타낸다.

그림 1 단위전류에 의한 공극 유효자속밀도 분포

Fig. 1 Effective magnetic flux density(Distribution around the rotor by unit current(1A))

2.2 고정자 권선에 의한 자속밀도 분포

유도 전동기의 고정자 권선에 의한 자속밀도 분포는 고정자 슬롯과 고조파의 영향을 무시하여 정현파로 간주하였다. 또한 정현파는 정상파를 생성하고 시간에 따라 해당 위치에서 맥동한다. 그림 2는 시간에 따른 고정자 권선에 의한 공극의 자속밀도 패턴을 보여준다.

삼상 유도전동기의 경우 위의 자속 패턴이 120°, -120° 만큼 이동하게 되는데, 이 결과를 회전자의 회로방정식에 사용한다. 고정자 전원의 한주기를 $T$로 설정하면 시간 관계는 $0=t_{1}< t_{2}< t_{3}< t_{4}< t_{5}< t_{6}< t_{7}= T/2$같이 표현할 수 있다.

그림 2 정현적인 고정자 권선의 자속밀도 분포

Fig. 2 Sinusoidal magnetic flux density(Distribution around the rotor by the stator winding. The magnetic flux pulsates with the change of time during the half period.)

2.3 유기전압에 의한 회전자 회로방정식

그림 3은 단상 및 3상 유도전동기의 회전자 모델링을 보여준다. 그림에서 $i_{j}^{r}$, $i_{j}^{e}$, $\omega_{m}$ 및 $e_{j}$$(j=1,\: 2,\: 3\cdots)$는 봉도체 전류, 단락환 전류, 회전자의 회전속도 및 봉도체와 단락환으로 구성된 각 폐회로에서 유도되는 기전력을 각각 나타낸다^(15,16).

그림 3 봉도체와 단락환으로 간략화된 회전자 회로

Fig. 3 Rotor circuit modeling for the calculation of induced electromotive force in a loop consisting of conductor bars and end ring segments

그림 3에서 임의의 폐회로에서 유도기전력(EMF)은 고정자 쇄교 자속의 변화로 인해 발생하며 EMF는 그 폐회로의 전압 강하와 같다. $j$번째 폐회로의 EMF는 $j$번째, $j+1$번체 및 단락환 세그먼트에서의 전압강화의 합과 같다⁽¹⁷⁾. 식 (1)은 회전자의 임의의 폐루프에서 유도 기전력을 나타내었다.

여기서, $B^{r}(\theta ,\: t)$회전자 표면을 따라 계산된 회전자측 자속밀도이고, $r_{b}$와 $r_{e}$는 회전자 봉도체의 저항 및 봉도체와 봉도체 사이 단락환의 저항을 나타낸다.

회전자측 자속밀도는 고정자 권선과에 의한 $B^{rs}$와 회전자의 여러 봉도체에 의한 $B^{rr}$의 합으로 표시된다. 봉도체의 개수는 $n_{b}$를 의미한다. 봉도체와 단락환이 만나는 지점에서 Kirchhoff의 전류법칙을 적용하면 봉도체와 단락환 전류의 관계는 다음과 같이 행렬식으로 표현할 수 있다.

여기서 $[D]^{T}$는 회전자의 봉도체와 단락환 사이의 관계를 나타내는 행렬식이다. 식 (2)와 식 (3)을 이용하여 회전자와 단락환 회로에 대한 계 방정식을 시간차분법으로 표현하면, 식 (4)와 같은 계행렬식을 얻을 수 있다.

2.4 로렌츠 힘에 의한 토크

유도전동기의 발생 토크를 계산하기 위해 각 회전자 봉도체의 위치에서의 자속밀도와 해당 봉도체의 전류를 곱하여 표현되는 로렌츠 힘을 사용하였다. 식 (5)는 자기력에 반경과 축방향 길이를 곱한 토크를 나타낸다.

여기서, $r$은 봉도체의 반지름이고, $l$은 축방향의 길이다.

3.1 삼상 유도전동기의 경우

제안된 알고리즘을 검증하기 위해 실제 모델에 가까운 사양의 전동기를 제시하였다. 표 1은 단상 및 삼상 유도전동기의 특성 시뮬레이션을 위한 사양을 보여주고 있다. 우선 제안한 알고리즘을 적용하여 삼상 유도전동기를 해석하였다. 먼저 회전자 봉도체 전류와 회전속도, 즉 슬립 1과 0.1에서의 순시 토크를 그림 5에 나타내었다. 회전자 전류는 충분히 안정된 상태에 도달했으며 정상상태에서의 토크도 일정한 값을 보이고 있다. 시간차분 해석에서는 t = 0의 초기 전류값을 0으로 설정해야 하므로 일정 시간의 과도 상태를 갖게 된다.

회전자 전류와 전원의 주파수는 슬립이 1일 때 동일하게 나타났다. 회전자 전류 주파수는 슬립이 0.1일 때 슬립 주파수($f'= sf = 6[Hz]$)와 같고 생성된 토크는 정상 상태에서 일정한 값을 나타내었다. 그림 6는 회전자의 2차 저항 변화($r_{1}< r_{2}< r_{3}< r_{4}$)에 따른 토크-속도 특성을 나타낸다. 봉도체의 저항이 증가함에 따라 최대 토크 값이 더 큰 슬립(저속) 값으로 이동함을 보여준다. 이것은 잘 알려진 삼상 유도전동기의 특징 중 하나이다.

그림 4 간략화된 해석모델의 단면도

Fig. 4 Cross section of simplified analysis model

그림 5 구속 및 정상상태에서의 봉도체 전류 및 순시 토크

Fig. 5 Conductor bar currents and instantaneous torques at slip = 1(locked state) and slip = 0.1(steady state) in the time domain

그림 6 삼상 유도전동기의 2차 저항변화에 따른 토크-속도 특성곡선

Fig. 6 Torque-speed characteristics curve according to the secondary resistance change of the rotor

3.2 단상 유도전동기의 경우

같은 방법을 적용하여 단상 유도전동기에 대하여 슬립 1, 0.1 및 0 일 경우의 회전자 전류, 순시 토크 및 토크-속도 곡선을 해석하였다. 그림 7은 전동기가 구속 상태(slip=1)일 때 봉도체 전류와 토크의 파형을 보이고 있다. 특성해석에서 전동기의 기동 토크는 없으며, 봉도체 전류의 값은 회전자의 각 봉도체의 위치에 따라 다르게 나타난다. 2차 전류의 주파수는 60Hz이며, 이는 고정자 권선의 전원 주파수와 같다. 그림 8은 단상 유도전동기가 정상상태(slip=0.1)로 동작할 때 봉도체 전류와 순시토크를 나타낸다. 2차측 전류의 주파수는 $sf$이므로 전원 주파수에 슬립을 곱하면 6 [Hz]가 된다. 순시 토크도 전원 주파수의 2배로 맥동하는 것을 볼 수 있다. 또한, 그림 9은 전동기가 동기속도(slip=0)로 회전할 때 봉도체 전류와 토크를 나타내며, 두 물리량의 주파수는 전원주파수의 2배이다.

그림 7 구속상태(slip=1)의 봉도체 전류 및 토크

Fig. 7 The conductor bar current and zero torque when the motor is locked (slip = 1)

그림 8 정상상태(slip=0.1)의 봉도체 전류 및 순시토크

Fig. 8 Conductor bar current and instantaneous torque when the motor is operated in a steady state(slip = 0.1)

그림 10은 2차 저항 변화에 따른 단상 유도전동기의 토크-속도 특성곡선을 나타낸다. 토크 값은 동기 속도에서 음(-)이고 구속시에는 0이다. 이는 단상 유도전동기의 해석 이론 중 하나인 이중 회전 계자 이론을 뒷받침하고 있다. 단상 유도전동기의 경우 3상 유도전동기와 달리 2차 저항이 증가할수록 최대토크는 감소함을 볼 수 있다.

그림 9 동기속도(slip=0)의 봉도체 전류 및 순시토크

Fig. 9 Rotor bar current and instantaneous torque when the motor is operated at synchronous speed(slip = 0)

그림 10 단상 유도전동기의 2차 저항변화에 따른 토크-속도 특성곡선($r_{1}< r_{2}< r_{3}< r_{4}$)

Fig. 10 Torque vs. speed characteristics curve according to secondary resistance change($r_{1}< r_{2}< r_{3}< r_{4}$)