2.1 트램 종방향 동역학

트램 차량의 종방향 동역학은 그림1을 참고하여 식(1)과 같이 간략화할 수 있다.

여기서 $m$은 차량의 정적질량이며 $F_{x}$는 차량의 견인력, $F_{L}$은 주행저항, $\alpha$는 노면의 기울기를 나타낸다. 주행저항은 공력저항, 구름저항, 구배저항, 커브저항으로 구성되며 다음의 식과 같이 기술할 수 있다.

차량 휠의 기어비를 $N$ 으로 가정하면 모터의 회전수($\omega_{m}$)와 휠의 회전수($\omega_{w}$) 사이에는 다음의 관계가 성립한다.

또한 휠의 반경을 $r$이라고 하면 종방향 속도와 휠의 회전수는 다음의 관계를 갖는다.

모터에 가해지는 토크는 로터 및 부하 관성력과 마찰에 의한 감쇠력에 대해 다음의 관계를 갖는다.

여기서 $J_{w}, B_{w}, J_{m}, B_{m}$ 은 각각 휠과 모터측의 관성질량 및 감쇠계수이다. 순수 구름을 고려하면 휠측의 부하 토크는 다음과 같고,

식(5)를 견인력에 대해 정리하면,

식(9)를 식(1)에 대입하고, 토크 상수 $K_{t}$를 가정하면 휠측의 종방향 동역학은 다음과 같이 기술된다.

2.2 시스템 모델링

상기 과정을 통해 유도한 수학적 모델은 힘의 입출력 관계를 명확히 파악할 수 있는 장점이 있으나 실제 적용상의 한계가 있다. 일반적으로 30m 이상의 길이를 갖는 트램 차량의 크기를 고려할 때 이미 완성된 차량에서 개별 구성 요소의 정확한 매개변수를 얻는 것은 쉽지 않을 뿐만 아니라, 구동계 하위 시스템에서 간략화되거나 알려지지 않은 동특성으로 인한 모델 불확실성의 발생이 불가피하다. 따라서 수학적 모델을 기반으로 하되 실험데이터 및 구동계 구조에 근거하여 시뮬레이션을 위한 상세 플랜트 모델을 도출하고 해당 모델을 기반으로 제어기 설계를 위한 간략화 모델을 구성하였다. 트램 차량의 구동계 구조에 대해 살펴보면 인가되는 추진명령은 열차종합제어장치(TCMS, Train Control and Monitoring System)를 거쳐 내부의 모터 드라이버로 전달되고 모터 드라이버의 출력은 동력대차에 부착된 유도전동기를 구동하여 차량의 추진력이 발생된다. 따라서 그림2와 같은 입출력 전달구조를 기초로 추진명령 입력에 대한 트램 차량속도의 응답특성 시험결과에 근거하여 모델을 구성하였다. 모터 드라이버는 1차의 전달함수($G_{i}$)와 PI 제어기($C_{i}$)로 구성하고, 초기 입력 사구간($T_{i}$)과 입력지연($T_{d}$)을 고려하였다.

마찰모델은 다음과 같은 Benson 모델 ⁽²²⁾을 적용하였다.

여기서, $F_{s}$, $F_{d}$는 각각 정지마찰력, 운동마찰력이고, $v$는 속도, $c$는 지수감소 비율이다. 시스템에 인가되는 전체 마찰력은 식(11)을 기반으로 속도에 비례한 점성 마찰을 포함하였으며 해당 결과는 그림 3과 같다. 도출된 시뮬레이션 모델에 대해 파라메터 적합을 통해 얻은 응답은 그림4, 5와 같다. 각각은 최대속도 20km/h, 30km/h까지 추진 후 제동하는 계단입력에 대한 시계열 응답을 나타내며, 실제 차량 응답에 대한 RMS 오차는 속도의 경우 0.25, 0.44, 가속도의 경우 0.12, 0.17이다. 여기서, 속도는 트램 차량의 휠에 부착된 엔코더를 통해 측정된 값이며, 가속도 그래프의 기준입력은 측정된 가속도에 맞도록 스케일 된 값이다. 해당 시뮬레이션 결과는 실험결과와 매우 근접한 거동을 보이므로 제어기 설계의 평가에 사용하기에 적절한 것으로 판단된다. 제동 시 정지점 근방의 차이점은 기계 제동의 개입에 의한 것으로 전체 거동에 있어서 그 영향이 제한적이고, 제동 모드의 전환 이전에 일정한 궤적 추종성을 확보하는 경우 차이를 최소화할 수 있으므로 본 제어기 설계에서는 무시하였다.

제어기 설계를 위한 모델은 해석 및 설계의 편의상 단순질량 모델을 고려하였으며, 점성 마찰은 외부 외란으로 간주하였다. 이 경우 다음과 같은 이산시간 상태공간식으로 표현할 수 있다. 상태공간식의 상태변수 $x_{k}$를 이동거리($p_{k}$) 및 속도($v_{k}$)로 구성하고, 샘플링 주기를 $T_{s}$로 가정하면 종방향 운동방정식 식(10)은 다음과 같은 상태공간식으로 정리할 수 있다.

입력 및 외란은 다음과 같이 정의된다.

여기에 입력 시간지연을 적절히 설정하면 상세모델과 근접한 특성을 얻을 수 있다. 시뮬레이션 결과와 비교 시 단순모델의 시간지연은 약 1.1초의 설정치에서 가장 근접한 결과를 얻을 수 있었다.

2.3 제어기 설계

제어 시스템의 전달지연(transport delay or dead time)은 센서 측정, 컴퓨터 계산, 구동기 동작 등에 의해 발생할 수 있다. 이러한 지연은 시스템 안정도 여유를 감소시키고, 도달가능한 응답속도를 제한한다. 따라서 제어루프에 시간 지연이 존재하는 경우 안정도 유지를 위해 제어기 게인을 낮추는 것이 일반적이다. 시간 지연은 시스템의 게인 응답에는 영향이 없으나 위상여유를 감소시키기 때문에 폐루프 시스템의 성능저하를 회피하기 위해서는 적절한 보상이 필수적이다 ⁽¹⁸⁾. 스미스 예측기(SP, Smith Predictor)는 시간지연 시스템의 안정도 및 성능 향상을 위한 대표적인 알고리즘이다. 하지만 시간 지연을 정확히 알아야 하며, 시간 지연과 함께 외란이 존재하는 경우 성능 보장이 안 되고 ⁽¹³⁾, 기본 제어기와 비교했을 때 프로세스 파라메터 변동에 취약해진다는 단점이 있다 ⁽¹⁷⁾. 따라서 이를 개선하기 위한 여러 가지 변형된 구조들이 제안되었다 ⁽¹²⁾-⁽¹⁹⁾. ⁽¹⁹⁾에서는 시간지연 응답 예측치와 실제 응답과의 오차에 대해 별도의 PI 제어기를 구성하였다. 이 방식은 외란 저감특성이 추가된 제어기에 의해서만 영향받도록 구성되어 강건성은 개선되나 기존의 SP와 비교하여 외란 저감 성능이 저하된다. ⁽¹⁷⁾에서는 이를 개선하기 위해 추가된 PI 루프에 또 하나의 SP를 추가하는 방식을 제안하였으나 설정해야 할 파라메터의 개수가 증가하고 전체 루프의 설계가 복잡해지는 단점을 갖는다. 반면 외란 관측기는 Q 필터에 의한 외란 보상대역의 설정이 상대적으로 직관적이며, SP 구조의 내부 루프에 부가되는 형태로 구성하여 기존 제어기에 추가하기도 용이하다. 따라서 본 논문에서는 외란 관측기에 기반한 변형된 구조의 스미스 예측기(MSP, Modified Smith Predictor)를 도입하였으며 설계된 제어기의 시간지연 불확실성에 대한 안정도 마진을 검토하였다.

1) 스미스 예측기

그림 7의 블록선도에서 파라메터 오차가 없는 이상적인 경우에 대해 SP를 적용한 폐루프 응답은 식(15)와 같이 해석할 수 있다.

여기서, $P_{r}(z)$는 시간 지연이 포함된 시스템 응답함수, $P_{n}(z)$은 시간 지연이 제외한 시스템 응답함수이다. $n$은 샘플링 주기로 변환한 시간지연의 크기, $C(z)$는 시스템 출력이 기준입력을 추종하도록 설계된 제어기, $S(z)$는 다음과 같이 정의되는 전달함수이다.

시간 지연($t_{d}$)대비 샘플링 간격이 충분히 작아서 시간 지연을 샘플링 간격으로 나눈 나머지($f$)를 무시할 수 있다고 가정하면 $P_{r}(z)$는 다음과 같이 쓸 수 있다.

여기서,

이 경우 기준입력에서 출력까지의 전달함수는 다음과 같이 계산된다.

즉 SP가 적용된 폐루프 시스템의 응답은 시간지연이 없는 시스템의 응답과 동일하고 출력지연만 추가된 형태가 되는 것을 알 수 있다. 기준 궤적이 미리 정해져 있는 경우 이러한 시간지연은 해당 지연량만큼의 궤적 선행참조를 통해 다음과 같이 보상이 가능하다.

하지만, 외란에 대한 응답특성은 시간 지연이 없는 시스템의 응답과 비교할 때 전체 주파수 영역에서 제어기 및 플랜트의 주파수 응답특성에 의해 왜곡되므로 안정도 마진 및 외란 억압 성능의 변동을 고려하여 적절히 설계할 필요가 있다.

기본 제어기 $C(z)$는 다음과 같은 동시 추정기(current estimator) 구조의 이산시간 상태 궤환 제어기를 사용한다.

(23)

여기서, $K$, $L$ 은 각각 상태 궤환 이득과 추정기 이득으로 극배치를 통해 결정한다 ⁽²³⁾.

2) 외란 관측기

외란 관측기를 포함한 변형된 구조의 SP는 그림 8과 같다. 여기서 $P_{n}(z)$은 대상 시스템 $P_{r}(z)$의 시간지연을 제외한 공칭모델이고, $R(z)$은 시간지연 모델이다. 해당 구조는 공칭 시간지연을 입력측에 반영함으로써 Q 필터 설계시 갖게 되는 차수의 제약이 감소되고, 공칭모델 $P_{n}(z)$의 상대차수에 대한 보상만 고려하면 되므로 구현이 용이해지는 장점이 있다. 외란의 추정치는 다음과 같이 구할 수 있다.

Q필터는 최소차수의 저역통과 필터로 설계하며, 시간지연 모델은 다음과 같은 Pade 1차 근사식으로 설정하고 z 변환하여 적용한다.

3) 시간지연 변동

시간 변동에 의한 안정도 강인성을 고려하기 위하여 공칭 시간지연($n$)을 기준으로 일정비율($0<\alpha <1$)의 범위를 설정하고 다음과 같이 입력단의 곱셈형 불확실성(multiplicative uncertainty)으로 반영하였다.

이 때 $\widetilde v$ 에서 $v$까지의 전달함수 $T(z)$를 구하고 small gain theorem을 적용하면 다음과 같이 시간지연 변동에 대한 안정도를 평가할 수 있다.

4) 제어기 설계

제어기 설계는 상태 궤환 제어기(SF)만 사용한 경우, 스미스 예측기(SP)를 추가한 경우, 그리고 DOB를 추가한 경우(MSP)의 세가지 경우에 대해 순차적으로 설계하였다. 설계의 주요 고려사항은 다음과 같다.

- 안정도 : 제어기의 주파수 영역 설계에서 일반적으로 게인 혹은 위상 여유와 같은 보조지표가 활용되나, 감도 전달함수의 최대값($S_{\max}$)이 더 정확한 안정도 여유를 나타내는 경우가 많다 ⁽²³⁾. 따라서 본 논문에서는 $S_{\max}$를 안정도 설계지표로 하고 10dB를 기준으로 설계하였다.

- 성능 : 궤적 추종성능을 위한 기준 설정을 위해 최대 가속도 및 최대 속도의 제한조건을 기준으로 최대 속도가 발생하는 거리 이상의 궤적에 대해 가/감속 프로파일의 발생 구간을 목표 주파수로 선정하고, 해당 주파수에서 외란 억압 특성이 -10dB 이하가 되도록 설계 기준을 정하였다. 2.4절의 모의시험 조건을 기준으로 궤적 생성시 설계 목표 주파수는 0.02Hz이다.

- 안정도 강인성 : 시간지연 변동에 대해 평가하였고, 최대 변동한계를 50%로 가정하여 평가하였다.

각각의 제어기 설계에 따른 감도 전달함수의 주파수 응답은 그림 11과 같다. 여기서 (a)는 대상 시스템의 입력지연이 없는 상태를 가정한 경우에 대해 SF를 적용한 것이고, (b)는 시스템의 입력지연을 포함한 경우에 대해 SF를 적용한 것이다. (c)는 (b)의 조건에 SP를 추가한 것이고, (d)는 (c)의 조건에 DOB를 추가한 것이다. 설계 파라메터는 표1과 같다. 여기서 설계의 기준이 되는 기본 파라메터는 (b)의 조건을 기준으로 하였으며, 상태궤환 제어기의 극배치 파라메터($\omega_{c}, \zeta_{c}$)와 상태추정기의 극배치 파라메터 중 감쇠비($\zeta_{e}$)는 설계변수로 하고, 주파수($\omega_{e}$)는 경험적 설계규칙에 따라 제어기 주파수의 4배가 되도록 고정한 조건에서 상술한 감도 전달함수의 안정도 및 성능 요구조건을 만족하도록 선정하였다. (a)는 (b)의 설계 결과를 기준으로 플랜트의 시간지연에 의한 제어루프 영향을 비교하기 위해 시간지연이 없는 이상적인 경우를 살펴본 것이다. SP가 추가된 (c)의 조건에서는 (b)의 설계결과를 기준으로 하였으며, 상태궤환 제어기의 극배치 주파수($\omega_{c}$)를 설계변수로 하여 감도 전달함수 설계 기준을 만족하도록 파라메터를 선정하였다. DOB가 추가된 (d)에서는 (c)의 설계결과를 기준으로 하였으며, DOB의 1차 저역 통과필터 주파수($\omega_{q}$)를 설계변수로 하여 감도 전달함수 설계기준을 만족하는 파라메터를 선정하였다. DOB의 Q 필터는 공칭모델의 상대차수를 보상하기 위해 다음과 같은 1차의 저역 통과필터를 적용하였다.

먼저 동일한 극배치로 설계된 (a), (b) 응답을 비교하면 (b)의 경우 입력지연에 의한 위상 감소로 안정도 여유가 저하되고 루프 응답이 나이퀴스트 선도의 임계점(-1, 0)에 근접함에 따라 감도 전달함수의 최대치가 설계한계에 근접한 것을 볼 수 있다. 결국 입력지연은 시스템의 추가적인 대역폭 증가의 한계로 작용한다. (c)에서는 SP를 도입하여 시간지연을 보상함으로써 추가적인 대역폭 증가를 얻을 수 있었으나 동일한 극배치 설계와 비교시 저주파 대역의 외란 저감성능이 전반적으로 악화되는 특성을 발견할 수 있다. (d)에서는 이를 보상하기 위하여 DOB를 추가하여 저주파 외란 저감 특성을 개선하였다. 이 때 안정도 여유는 (c)에 비해 다소 감소하였으나 의도한 설계 기준을 만족하는 수준이다.

그림 12는 시간지연 모델의 변동한계(50%)에 대해 안정도 강인성을 확인한 결과이다. MSP와 SP를 비교하면 감도 전달함수의 최대구간에서 MSP가 개선된 안정도 여유를 확보하고 있으며, 모든 주파수 영역에서 안정도 경계 이내의 응답 크기를 보이므로 안정도 강인성을 유지함을 알 수 있다.

2.4 모의실험 및 결과고찰

모의실험에서 대상으로 한 트램은 196kWh 용량의 리튬폴리머 배터리를 전원으로 사용하며, 길이는 약 32m, 폭은 2.4m, 높이는 3.4m의 크기를 갖는 차량이다. 공차중량은 약 49톤, 휠 반경은 600mm, 기어비는 6.29이다. 설계 최고속도는 70km/h이고, 전체 추진모터의 추진력은 400kW이다. 모의실험에서는 500m의 이동거리에 대해 30km/h의 속도 및 0.5m/s2의 가속도 제한을 조건으로 사다리꼴 기준 궤적을 추종하는 것을 평가하였다. 해당 조건은 트램의 일반적인 평균 정거장 거리를 반영한 것으로 목표 주행시간은 80초로 설정하였다.

차량의 위치, 속도는 휠에 부착된 엔코더를 통해 측정되며, 급격한 기동에 의한 미끄러짐은 없는 것으로 가정하였다. 제어기는 표1과 같이 설계하였으며 목표 궤적 추종성능은 다음의 세가지 경우에 대해 비교하였다. 첫 번째는 시간지연 보상이 고려되지 않은 상태피드백 제어기이고, 두 번째는 스미스 예측기와 외란관측기 구조를 이용하여 시간지연 보상이 고려된 MSP이며, 세 번째는 MSP에 궤적 선행참조가 추가된 것(MSP2)으로 해당 결과는 그림13-16과 같다. 그림13, 14는 위치 및 속도의 기준궤적과 각 제어기를 적용했을 때의 추종궤적을 나타낸 것이고, 그림15, 16은 각각 위치 및 속도의 추종오차를 나타낸다.

2.3절의 감도전달함수 설계 결과에서 언급한 바와 같이 MSP는 시간지연의 보상을 통해 시스템 대역폭 및 DC 외란 억압특성을 효과적으로 개선하였으며, 이러한 결과는 모의실험에서도 SF와 비교시 속도 기울기의 변동지점에서 발견되는 오버슛 및 전반적인 오실레이션 특성의 개선으로 확인된다. 하지만, 그림 15의 위치 추종오차에서 볼 수 있는 바와 같이 오차의 절대크기를 비교했을 때 SF 대비 악화되는 특성을 보이는데 이는 식(19)에서 지적된 바와 같이 MSP의 출력 측에 발생하는 시간지연 때문이다. 이러한 오차는 궤적 선행참조를 적용한 MSP2에서 효과적으로 개선됨을 확인할 수 있다. 단, 시간 지연특성이 일정하지 않고 변동되는 경우는 궤적 선행참조 시 시간지연 보상량의 설정에 주의를 기울여야 할 것이다.