2.1 Calculation of Eddy Current Loss
테슬라 변압기를 설계할 때는 삽입되는 마그네틱 코어의 재료에 따른 철손, 코어에 적층되는 자성재료의 종류에 따라 히스테리시스손(Hysteresis
loss) 그리고 1, 2차 코일에서 발생하는 B field에 의해 코어 표면에 와전류가 발생한다. 와전류는 그림 1에서와 같이 적층된 형태의 코어의 표면에 B field가 인가될 때 발생하게 되고 이에 따라 와전류 손실이 발생하게 된다.
그림 1 적층된 형태의 코어($l\gg a$)(4)
Fig. 1 Lamination of Core(4)
그림 1에서의 $l$은 길이, $a$는 적층 두께를 의미한다. 와전류 손실을 계산하기 위해서는 먼저 마그네틱 코어에 인가되는 J (Current density)와
B field의 분포를 계산하여야 한다(4,6). Maxwell 방정식에서부터 H field를 식 (1)과 같이 계산할 수 있다.
위 식의 양변에 Curl을 하여 다음 식 (2)를 구할 수 있다.
여기서 $\vec{B}(t)=\mu\vec{H}(t)$를 이용하면 식 (3)으로 정리할 수 있다.
위 식 (3)으로부터 표면에 유도되는 $\vec{J}(t)$ 또한 다음 식 (4)와 같이 구할 수 있다.
여기서 $\vec{J}(t)$가 아래의 식 (5)와 같은 지수함수적 감쇄하는 형태의 함수라고 가정한다면 식 (4)는 식 (6)으로 정리할 수 있다.
경계조건을 이용하여 전류밀도 $J_{z}$를 구하면 다음 식 (7)로 도출할 수 있다.
이렇게 구해진 전류밀도($J$)는 식 (3)에서 구한 B와 아래와 같은 관계를 갖는다. 먼저 Maxwell 방정식으로부터 $\vec{E}(t)=Ee^{j\omega t}$와 $J=\sigma
E$의 관계를 이용하여 식 (8)을 식 (9)로 변형한 후 Curl 계산을 하면 식 (10)의 결과를 얻을 수 있다.
최종적으로 구한 $B_{y}$는 다음 식 (11)과 같고, 와전류는 코어의 y축 방향에 수직한 자기장 값으로 구할 수 있다.
지금까지의 계산 결과로부터 와전류 손실을 계산할 수 있는데 일정 시간($t_{1}$~$t_{2}$) 동안의 손실은 다음 식 (12)로부터 구할 수 있다.
그림 2 부피요소를 보여주는 적층된 형태의 코어(4)
Fig. 2 Lamination of core showing element of volume(4)
그림 2의 코어에서의 와전류 손실은 식 (12)를 활용하여 다음식 (13)과 같이 계산할 수 있다.
2.2 Calculation of Magnetization Inductance
마그네틱 코어가 삽입되는 테슬라 변압기를 구성하는 기본회로는 그림 3, 등가회로는 그림 4로 나타낼 수 있다. 테슬라 변압기의 기본회로를 등가회로로 바꾸면서 가장 중요한 회로정수는 자화 인덕턴스 값이다. 이 자화 인덕턴스 값은 테슬라 변압기의
에너지 효율을 결정하는 중요한 요소가 되는 회로정수이다.
그림 3 고전압 변압기 기본회로
Fig. 3 Electric circuit of high voltage transformer
그림 4 고전압 변압기 등가회로
Fig. 4 Equivalent circuit of high voltage transformer
B field로 인한 에너지는 식 (14)와 같다.
식 (14)로부터 자화 인덕턴스는 식 (15)로 구할 수 있다.
식 (15)를 이용하여 구한 자화 인덕턴스는 테슬라 변압기에서 1, 2차 코일의 구조에 의해 결정되는 H field의 분포도를 고려하여 계산해야 한다.
그림 5 변압기 자기 코어 단면도(H field 분포도)(5)
Fig. 5 Cross section of magnetic cores in the transformer(H field distribution map)(5)
H field 분포도를 고려하여 자화 인덕턴스 값을 유도하면 식 (16)과 같다(9).
코어 단면에서 와전류에 의한 H field의 불완전 분포(non-uniform distribution)효과를 고려하지 않았을 때 Maxwell 방정식($\vec{B}\bullet
d\vec{S}=0$)으로부터 식 (17)과 식 (18)을 구할 수 있다.
내부와 외부 코어에서의 magnetic flux 보존을 생각해보면($\Phi = H_{1}S_{1}=H_{3}S_{2}$) 아래 식 (19)와 같이 각 H field를 유도할 수 있다.
앙페르의 법칙(Ampere’s law) $\oint\vec{H}\bullet d\vec{l}=N_{1}I_{1}$ 을 이용하면 식 (20)을 구할 수 있다.
식 (20)에 식 (19)를 대입하여 정리하면 식 (21)으로 정리할 수 있다.
이렇게 정리된 식 (19)와 식 (21)을 식 (16)에 대입하여 정리하면 자화 인덕턴스 값은 식 (22)로 구할 수 있다.
누설 인덕턴스($L_{s}$)는 1차 권선의 전류 $I_{1}$에 의해 생성되는 H field를 $H_{p}$, 2차 권선의 전류 $I_{2}$에
의해 생성된 역방향의 H field를 $H_{s}$라고 할 때, 식 (23)로 정의할 수 있다.
여기서 $H_{1}^{'}$, $H_{2}^{'}$, $H_{3}^{'}$, $H_{4}^{'}$를 자화 인덕턴스를 구할 때와 같은 방식으로 이번엔
2차 코일에 의한 자계라고 가정한다면 누설 인덕턴스는 식 (24)로 구할 수 있다.
경험식에 의하면, 고전압 변압기의 결합계수는 다음과 같이 정의할 수 있다(6,7).
식 (25)과 (26)에서 $l_{T}$는 마그네틱 코어의 길이, $l_{k}$는 1차와 2차 권선의 세로 길이(longitudinal length), $r_{2}$는
외경, $r_{1}$은 내경이며, 결합계수가 1에 가까울수록 자속의 손실을 최소화하여 에너지 효율을 높일 수 있다.
또한, 식 (27)과 같이 1차 인덕턴스는 자화 인덕턴스와 누설 인덕턴스의 합으로, 2차 인덕턴스는 1차 권선수와 2차 권선수의 비의 제곱에 비례하며, 자화 인덕턴스와
비례관계이다(1).
고전압 변압기 에너지 전달효율($\eta_{_{TT}}$)은 저항에 의한 손실을 고려한 에너지 전달효율($\eta_{Q}$, 식 (28))과 저항에 의한 손실이 없는 에너지 전달 효율($\eta_{\mu\alpha}$, 식 (29))의 곱으로 정의된다(6).
특히, 공진인 경우($\alpha =1$)를 적용하게 되면 $\eta_{\mu\alpha}=\eta_{\mu}$이며, 식 (29)를 활용하여 식 (30)로 간단히 정리할 수 있다(8).
에너지 효율을 높이는 방법은 자화 인덕턴스를 높이거나 누설 인덕턴스를 줄이는 방법이 있다. 식 (25)와 식 (27)에서 알 수 있듯이 자화 인덕턴스 값을 높이려면 1, 2차 코일의 인덕턴스 값을 높이는 방법과 구조적인 결합을 통하여 높이는 것으로 가능하지만, 구조적인
결합에 의한 누설 인덕턴스 값도 같이 높아짐으로 에너지 효율을 극대화하는데 제약이 따른다.
따라서 식 (30)에서 알 수 있듯이 에너지 효율을 높이기 위해 누설 인덕턴스를 줄여 와전류 손실을 줄이는 방법을 선택하였고. 그 방법으로 마그네틱 코어의 자성재료의
적층 모델링을 실시하였다.