• 대한전기학회
Mobile QR Code QR CODE : The Transactions of the Korean Institute of Electrical Engineers
  • COPE
  • kcse
  • 한국과학기술단체총연합회
  • 한국학술지인용색인
  • Scopus
  • crossref
  • orcid

  1. (Dept. of Electrical Engineering, Dong-A University, Korea.)
  2. (Dept. of Electrical Engineering, Gachon University, Korea.)



Neural Network, non-linear magnetic circuit analysis, interior permanent magnet machines, modified nodal analysis

1. 서 론

매입형 영구자석 전동기(Interior Permanent Magnet Synchronous Machines; IPMSM)는 마그네틱 토크와 릴럭턴스 토크를 함께 사용해 높은 출력 밀도가 요구되는 응용에서 주로 사용된다. 따라서 IPMSM의 특성 해석에 있어서는 마그네틱 토크에 영향을 주는 영구자석에 의한 쇄교 자속량과 릴럭턴스 토크에 영향을 주는 인덕턴스를 정확하게 구할 수 있어야 한다. 인덕턴스는 권선에 의한 쇄교 자속을 나타내는 지표로 볼 수 있으므로 IPMSM의 특성 해석을 위해서는 정확한 쇄교 자속을 구하는 것이 매우 중요하며 관련 연구들이 많이 진행된 바 있다(1)-(3).

통상 자속량을 구하기 위해서는 세가지 방법이 주로 사용이 되는데, 첫번째가 맥스웰 방정식을 직접 풀어 해를 도출하는 해석적인 방법, 두번째가 자기등가회로 해석(Magnetic Equivalent Circuit Analysis; MECA)에 의한 방법 세번째가 유한 요소 해석(Finite Element Analysis; FEA)에 의한 방법이다. 이들 중 해석적인 방법은 (4)-(6)과 같이 예전부터 꾸준히 연구되고 있는데 복잡한 형상에서는 해를 구하기 어렵고 또한 재질의 비선형 특징을 고려하기 힘들기 때문에 자속 포화가 크게 발생하는 전동기 특성 해석에 있어서는 적용하기 힘든 한계점이 존재한다. 나머지 자기등가회로 해석 방법이나 유한 요소 해석 방법은 비선형 특징을 고려할 수 있으며 장단점이 존재한다.

자기등가회로에 의한 방법은 많은 문헌에서 소개되었는데 해석 시간이 매우 빠른 반면 회로 구성 방법 등에 따라 오차가 클 수 있는 단점이 있다(7), (8). 반면 유한 요소 해석에 의한 방법은 모델링 및 해석 수행 등에 시간과 노력이 많이 들어가는 반면 결과가 매우 정확하다는 장점이 있다. 이러한 특징으로 자기등가회로는 전동기의 기초 설계 단계에서 주로 적용되며 유한 요소 해석은 상세 설계 시 활용하게 된다. 최근에는 유한 요소 법을 적용한 전자장 해석 상용 툴에서 전동기 해석을 쉽게 하기 위한 여러가지 옵션들을 제공하기도 하여 전동기 설계 시 유한 요소 해석을 많이 적용하고 있다. 하지만 유한 요소 해석을 위한 제반 조건을 마련하기 위해서는 프로그램을 개발하거나 상용 툴을 구입해야 하는데, 프로그램 개발을 위해 너무 많은 시간이 소요되고 상용 툴 구입을 위한 경제적인 부담이 크므로 여전히 자기등가회로 해석을 통한 전동기 특성 해석법이 필요하다.

자기등가회로 해석의 단점인 낮은 해석 정밀도를 높일 수 있다면 자기등가회로 해석법도 전동기의 정밀 특성 해석에 사용될 수 있다. 이를 위해서는 자기등가회로를 더욱 정밀하게 구성해야 하고 특히 자속 포화가 많이 발생하는 출력 밀도가 높은 응용인 IPMSM의 특성 해석을 위해서는 자성체 재질의 비선형 특징도 고려할 수 있어야 한다. 자기등가회로의 비선형을 고려한 해석 기법에 대해서는 (9), (10)에서 자세히 다루고 있다. 위 논문에서는 KCL(Kirchhoff's Current Law)기반 메쉬 해석법(Mesh Analysis Method)과 KVL(Kirchhoff's Voltage Law) 기반 노드 해석법(Nodal Analysis Method)을 적용하는 방법을 소개하고 있는데, 비선형 해석에 있어 메쉬 해석법은 해의 수렴성이 좋으나 노드 해석법은 수렴이 안될 수 있다고 언급하고 있다. 따라서 메쉬 해석법을 기반으로 한 자기등가회로 해석이 더 안정적인 결과를 얻을 수 있을 것으로 생각할 수 있다.

하지만 메쉬 해석법은 회로가 복잡해지면 회로를 정의하기가 힘들며 방정식을 도출하기 위한 자속 루프를 구성하는데 어려움이 발생할 수 있다. 이에 반해 노드 해석법은 회로상의 각 노드를 중심으로 이와 연결된 요소만 정의만 하면 되므로 회로 정의가 간편하고 알고리즘 구현에서도 여려움이 없다. 또한 많은 그래픽 기반 spice 프로그램에서 회로를 노드 기반의 netlist로 저장해주므로 기존의 spice 프로그램을 활용해 노드 해석에서 필요한 회로 정의를 할 수도 있다.

본 논문에서는 비선형 자기등가회로 해석 프로그램의 실제 구현의 용이성을 위해 MNA(Modified Nodal Analysis) 법을 적용하여 자기 회로를 풀었고, 노드 해석법 적용에 의해 발생하는 해의 비수렴성 문제를 해결하기 위한 방법에 대해서 소개하였다. 또한 제안한 방법을 적용해 IPMSM의 쇄교자속 계산하였으며 유한 요소 해석 결과와 비교하여 본 논문에서 제시한 방법의 타당성을 입증하였다.

2. 비선형 자기등가회로 해석을 위한 MNA

2.1 Modified Nodal Analysis

MNA법은 노드 해석법을 기반으로 하되 컴퓨터 알고리즘의 구현이 쉽도록 수정된 방법이다. 자속원, 기자력원, 퍼미언스를 가지는 자기등가회로에 MNA법을 적용하는 방법은 표 1과 같은데, 기존의 노드 해석법과 차이점은 4번 항목과 6번 항목으로 기자력원 처리에 대한 부분이 추가되어 알고리즘 구현이 매우 쉽게 된다.

표 1. EMCA에 있어 MNA 의 적용 순서

Table 1. Procedure of MNA on EMCA

순번

내용

1

Numbering the nodes on the circuit

2

Define one of the numbered nodes as potential zero (ground) point.

3

(Define unknown 1) Defines the potential at each node except for ground such as $v_{n}$

4

(Define unknown 2) Defines flux on MMF sources such as $\phi_{i}$ . A direction of the flux should be in the opposite direction of the MMFs

5

Apply KCL to each node except ground to establish node equations

6

Establish equations with the relation between the MMFs and the potentials

7

Solve the equations to find the potential for each node and the flux passing through the MMFs

그림. 1. 자기등가회로 예

Fig. 1. Example of a magnetic equivalent circuit

../../Resources/kiee/KIEE.2022.71.7.931/fig1.png

그림 1은 그라운드와 분리된 기자력원 $F_{1}$, 자속원 $\phi_{m}$, 퍼미언스 $P_{1}$~$P_{6}$가 존재하는 간단한 자기 회로이다. 이는 추후 살펴볼 IPMSM의 자기 등가회로와 비슷한 구성을 가지는데, 여기서는 그림 1의 자기등가회로에 MNA법을 적용해 방정식을 도출하는 방법에 대해 알아보도록 하겠다.

그림에서와 같이 이미 노드에 넘버링을 하였고, 그 중 하나를 그라운드로 설정하였다. 또한 각 노드에서의 포텐셜은 노드 번호를 이용해 $v_{n}$과 같이 정의할 수 있고, 기자력 소스를 지나는 자속도 정의가 되었다. 이제 MNA의 5번째 스텝을 진행하면 된다. 각 노드에서 KCL을 적용하면,

(1)
$f_{1}=\phi_{1}+ P_{1}\left(v_{1}- v_{2}\right)= 0$

(2)
$f_{2}=P_{1}\left(v_{2}-v_{1}\right)+\phi_{m}=0$

(3)
$f_{3}=-\phi_{m}+P_{2}\left(v_{3}-v_{4}\right)=0$

(4)
$f_{4}=P_{2}\left(v_{4}-v_{2}\right)+P_{3}\left(v_{4}-v_{5}\right)=0$

(5)
$f_{5}=P_{3}\left(v_{5}-v_{4}\right)+P_{6}\left(v_{5}-0\right)=0$

(6)
$f_{6}=-\phi_{1}+P_{4}\left(v_{6}-0\right)=0$

여기서 n=1,2,...,6은 각 노드의 번호이다.

MNA의 6번째 스텝으로 각 기자력원과 노드 포텐셜 간의 관계식을 쓰면,

(7)
$f_{7}=v_{1}-v_{6}-F_{1}=0$

이상의 수식에서 미지수는 각 노드에서의 포텐셜과 기자력원을 지나는 자속으로 총 7개의 미지수가 존재하고, 방정식의 개수 또한 7개이므로 이를 연립하여 문제를 풀 수 있다. 식(1)~(7)을 행렬로 써 보면 다음과 같다.

(8)
$ f(x)= A x- b =0\\ \because A =\begin{bmatrix}P_{1} & -P_{1} & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\-P_{1} & P_{1} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & P_{2} & -P_{2} & 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & -P_{2} & P_{2}+P_{3} & -P_{3} & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -P_{3} & P_{3}+P_{6} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & P_{4} & -1\\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0\end{bmatrix}\\ x =\begin{bmatrix}v_{1} & v_{2} & v_{3} & v_{4} & v_{5} & v_{6} & \phi_{1}\end{bmatrix}^{T}\\ b=\begin{bmatrix}0 & \phi_{m} & -\phi_{m} & 0 & 0 & 0 & -F_{1}\end{bmatrix}^{T}$

식(8)에서 $ A$는 퍼미언스 행렬이며 $ x$는 포텐셜과 기자력원을 지나는 자속, $ b$는 자속원과 기자력을 포함한다.

2.2 Newton-Raphson 법의 적용

MNA법에 의해 도출된 방정식을 풀기 위해서 비선형을 고려해야 하는데 비선형 특징은 퍼미언스에 반영이 될 것이며 결국 행렬 A 가 비선형 특징을 갖게 된다. 통상 비선형 방정식은 반복법에 의해 그 해를 구하게 되는데 Newton-Raphson법이 주로 사용되고 있다. 식(8)에 Newton-Raphson법을 적용하면 다음과 같이 된다.

(9)
\begin{align*} J\left( x_{n}\right)\triangle x_{n+1}=- f\left( x_{n}\right)\\ \because\triangle x_{n+1}= x_{n}- x_{n+1} \end{align*}

여기서 $ J$행렬은 $ f( x)$의 자코비안 $d f / d x$이며, 아래 첨자는 반복 회수이다. 자코비안을 구함에 있어 알고리즘의 구현을 쉽게 하기 위해서는 간결한 미분식이 도출되어야 하는데 퍼미언스를 그림 2와 같이 직육면체로 가정하면 결과식을 쉽게 도출할 수 있다.

예를 들어 1행 1열 원소는 $\partial f_{1}/\partial v_{1}$이므로 다음과 같이 구할 수 있다.

(10)
$J_{11}=P_{1}+\dfrac{\partial P_{1}}{\partial v_{1}}\left(v_{1}-v_{2}\right)\because P_{1}=\mu_{0}\mu_{r}A_{1}/ l_{1}$

식(10)에 체인룰을 적용하면,

(11)
\begin{align*} J_{11}=P_{1}+\dfrac{\partial P_{1}}{\partial v_{1}}\left(v_{1}-v_{2}\right)\\ =P_{1}+\dfrac{\partial P_{1}}{\partial\mu_{r1}}\dfrac{\partial\mu_{r1}}{\partial H_{1}}\dfrac{\partial H_{1}}{\partial v_{1}}\left(v_{1}-v_{2}\right)\\ =P_{1}+\dfrac{P_{1}}{\mu_{r1}}\dfrac{\partial\mu_{r1}}{\partial H_{1}}\dfrac{v_{1}-v_{2}}{l_{1}}\\ =P_{1}+\dfrac{P_{1}}{\mu_{r1}}\dfrac{\partial\mu_{r1}}{\partial H_{1}}H_{1}\\ =\dfrac{\mu_{0}A_{1}}{l_{1}}\left(\mu_{r1}+\dfrac{\partial\mu_{r1}}{\partial H_{1}}H_{1}\right) \end{align*}

여기서 식(11)의 우변의 괄호안의 식은 그림 3에서 보인 것과 같이 상대 투자율로 다음과 같이 계산된다.

(12)
$\mu_{d}=\dfrac{d B}{d H}=\dfrac{d(\mu H)}{d H}=\mu +\dfrac{d\mu}{d H}H$

따라서 식(11)은 다음과 같이 쓸 수 있다.

그림. 2. 퍼미언스의 직육면체 표현

Fig. 2. Permeance in the shape of a cuboid

../../Resources/kiee/KIEE.2022.71.7.931/fig2.png

(13)
$J_{11}=\dfrac{\mu_{0}\mu_{rd1}A_{1}}{l_{1}}=\dfrac{\mu_{d1}A_{1}}{l_{1}}=P_{1}^{'}$

여기서 $\mu_{rd1}$은 그림 3에서 보인 것과 같이 상대 비투자율이다.

식(13)은 퍼미언스의 정의식과 매우 유사한데, 식에서 절대 투자율(apparent permeability) 대신 상대 투자율(relative permeability)을 사용했다는 것만 다르다. 나머지 자코비안의 원소들도 비슷하게 구해볼 수 있다. 자코비안이 미분 행렬임을 생각하면 계수 행렬 내의 퍼미언스 도출 시 미분 개념인 상대 투자율을 이용해 계산하면 자코비안이 된다는 점에서 의미를 갖는다. 즉 식(8)의 계수 행렬 $ A$과 식(9)의 자코비안 $ J$은 매우 유사함이 있다.

2.3 비선형 해석과 해의 수렴성

그림 4은 MNA법에 의해 도출된 비선형 방정식에 Newton-Raphson법을 적용하는 방법을 나타내고 있는데, 본 논문에서는 (10)에서 노드 해석의 문제점으로 지적된 해의 진동 문제를 해결하기 위해 업데이트율 $\gamma$을 도입하였다. 즉, 새로운 $ x$값을 구할 때 $ x_{n+1}= x_{n}+\triangle x$처럼 구하지 않고 $ x_{n+1}= x_{n}+\gamma\triangle x$로 구하는 것이다. 이는 최적화 알고리즘 중 하나인 gradient descent method에서 사용하는 방법과 유사하다. 본 논문에서는 $\gamma =0.02$를 사용할 것이다.

그림. 3. BH 커브상의 절대투자율과 상대투자율의 표현

Fig. 3. Representation of an apparent permeability and a relative permeability on a BH curve

../../Resources/kiee/KIEE.2022.71.7.931/fig3.png

그림. 4. 비선형 MNA에 Newton-Raphson법을 적용하기 위한 플로차트

Fig. 4. Flow chart of Newton-Raphson method for non-linear MNA

../../Resources/kiee/KIEE.2022.71.7.931/fig4.png

3. PMSM의 자기등가회로

영구자석 기기에서는 영구자석에 의한 자속과 코일 전류에 의한 자속이 합쳐져 코일에 쇄교하게 되고 그 중 코일에 의한 자속만이 인덕턴스에 영향을 미치게 된다. 따라서 인덕턴스를 제대로 구하기 위해서는 고정자와 회전자를 동시에 고려한 자기등가회로를 꾸며야 한다. 본 논문에서는 문제를 간소화하여 특정 구조에서만 사용할 수 있는 자기등가회로를 도출해 보도록 하겠다.

3.1 q=1 구조의 IPMSM 자기등가회로

전동기의 권선에서 발생된 자속과 회전자를 연결하기 위해서는 고정자의 치를 고려하는 것이 매우 편리하다. 고정자 권선에 의한 기자력을 고정자 치에 기자력원으로 분산시키면 되기 때문이다. 따라서 치가 많으면 많을 수록 더 정교한 자기등가회로를 꾸밀 수 있게 된다. 하지만 너무 많은 치를 고려하기 위해서는 자기회로가 복잡해지므로 적당한 선에서 치의 개수를 정해야 하는데, 전기적인 관점에서는 자극당 몇 개의 치를 고려할 것인가로 정하면 좋다. 여기서는 극당 상당 슬롯수, q가 1인 구조의 전동기를 대상으로 자기등가회로를 도출해 보도록 한다.

그림 5(a)는 선형 IPMSM 모델에서 주요 소스와 퍼미언스를 함께 표시한 것이며 (b)는 (a)에서 보인 자기등가회로를 각 요소의 이름과 함께 더욱 자세히 보인 것이다. 영구자석 하나를 두개의 자속원으로 모델링하였는데, 이는 인접 극과의 자속 흐름을 표현하기 적합하기 때문이며 동시에 고정자 치와도 연결하기 위함이다. q=1 구조에서 한 극당 치의 개수는 3개인데 이중 1개는 q축 자로 상에 정확히 두고 나머지 2개를 d축 자로 상에 두면 영구자석에서 발생된 자속이 이 2개의 치를 통해 흐른다고 가정할 수 있게 된다. $b_{1}$~$b_{4}$를 통해 흐르는 자속은 대칭성에 의해 $a_{1}$~$a_{4}$로 들어갈 것이며 이는 수치 해석에서 주기 경계 조건에 해당한다.

그림 5(b)에서는 (a)에서는 표시되지 않았던 슬롯 누설 성분을 고려하기 위해 기자력 성분을 두개로 나누고 슬롯 누설 퍼미언스를 추가하였다. 기자력 소스를 구분하기 위해 $F_{xy}$형태로 표현했으며 첨자 $x$는 치 기자력의 세그먼트 개수로 1과 2를 가질 수 있으며 $y$는 치의 개수인 1~6사이 값을 가진다. 이때 $F_{1n}+F_{2n}=F_{n}\because 1\le n\le 6$이다.

3.2 해석모델

표 2그림 6는 본 논문에서 사용한 모델에 대한 정보이다. 그림에서와 같이 권선은 -q축에 정렬된 상태이며 이때의 회전자 위치를 0degE로 설정하였다. 또한 코어 재질은 35PN210을 적용하였다.

그림 5(b)의 퍼미언스들은 다음과 같이 계산하였다.

(14)
\begin{align*} P_{sy}=\dfrac{\mu W_{sy}L_{stk}}{l_{sy}}\\ \because l_{sy}=\left(2\pi R_{so}-W_{sy}\right)/N_{slots} \end{align*}

(15)
$P_{t}=\dfrac{\mu W_{t}L_{stk}}{l_{t}}\because l_{t}=d_{s}/2$

(16)
\begin{align*} P_{sl}=\dfrac{\mu_{0}W_{sl}L_{stk}}{l_{sl}}\\ \because l_{sl}=\left(2\pi R_{si}+d_{s}\right)/N_{slots}\\ W_{sl}=d_{s}/2 \end{align*}

(17)
$P_{g}=\dfrac{\mu_{0}W_{g}L_{stk}}{g}\because W_{g}=W_{t}$

(18)
\begin{align*} P_{br}=\dfrac{\mu T_{br}L_{stk}}{l_{br}}\\ \because l_{br}=\left(\dfrac{1-\alpha_{m}}{2}\right)\left(\dfrac{\pi\left(2R_{ro}-T_{br}\right)}{N_{pole s}}\right)-W_{web} \end{align*}

그림. 5. 극당 상당 슬롯수 q=1인 IPMSM의 자기등가회로

Fig. 5. Magnetic equivalent circuit for a IPMSM which has q=1

../../Resources/kiee/KIEE.2022.71.7.931/fig5.png

표 2. IPMSM의 사양

Table 2. IPMSM specifications for the study

Items

Value

Unit

Descriptions

N$_{poles}$

8

-

Number of Poles

N$_{slots}$

24

-

Number of slots

R$_{so}$

50

mm

Stator outer radius

R$_{si}$

30

mm

Stator inner radius

W$_{t}$

5

mm

Teeth width

d$_{s}$

15

mm

Slot depth

g

0.5

mm

Airgap length

R$_{ro}$

29.5

mm

Rotor outer radius

Pos$_{m}$

27.5

mm

Magnet position

W$_{m}$

15.5

mm

Magnet width

T$_{m}$

3

mm

Magnet thickness

T$_{br}$

1

mm

Bridge thickness

W$_{web}$

4.4

mm

Web width

L$_{stk}$

35

mm

Stacking length

R$_{shaft}$

10

mm

Shaft radius

N$_{ph}$

96

turns

Series number of turns per phase

B$_{r}$

1.2

T

Residual flux density of the permanent magnets

μ$_{rev}$

1.05

-

Relative permeability of the permanent magnets

그림. 6. 2D 모델링을 위한 IPMSM 모델의 형상 변수

Fig. 6. Variables of IPMSM model for 2D modeling

../../Resources/kiee/KIEE.2022.71.7.931/fig6.png

(19)
\begin{align*} P_{pp}=\dfrac{\mu W_{pp}L_{stk}}{l_{pp}}\\ \because l_{pp}=W_{m}/2,\: W_{pp}=\left(R_{ro}- Pos_{m}\right)/ 2 \end{align*}

(20)
\begin{align*} P_{web}=\dfrac{\mu W_{web}L_{stk}}{l_{web}}\\ \because l_{web}=R_{ro}-\sqrt{\left(\dfrac{W_{m}}{2}\right)^{2}+\left(Pos_{m}-T_{m}\right)^{2}} \end{align*}

(21)
$P_{m}=\dfrac{\mu_{0}\mu_{rev}W_{m}L_{stk}}{2T_{m}}$

(22)
\begin{align*} P_{ry}=\dfrac{\mu W_{ry}L_{stk}}{l_{ry}}\\ \because l_{ry}=\pi\left(Pos_{m}-T_{m}+R_{shaft}\right)/4\\ W_{ry}=Pos_{m}-T_{m}-R_{shaft} \end{align*}

여기서 $P_{sy}$는 고정자 백요크의 퍼미언스, $P_{t}$는 치의 퍼미언스, $P_{sl}$은 슬롯 누설 퍼미언스, $P_{g}$는 공극퍼미언스, $P_{br}$은 회전자 브릿지 퍼미언스, $P_{pp}$는 회전자 폴피스 퍼미언스, $P_{web}$는 회전자 웹 퍼미언스, $P_{m}$은 회전자 영구자석 퍼미언스, $P_{ry}$는 회전자 백요크 퍼미언스로 그림 6의 형상치수를 이용해 구해지며 $N_{pole s}$는 극수, $N_{slots}$는 슬롯수이다.

식(17)의 $P_{g}$계산에 있어 공극 단면의 너비를 $W_{t}$로 설정한 것이 특이 사항이며 식(19)의 $P_{pp}$계산에 사용된 $W_{pp}$를 산정하는 방법은 조금 더 자세히 연구되어야 할 수도 있다. 또한 동일한 자기회로를 이용해 회전자 위치별 쇄교자속을 구할 수 있게 하기 위해 무빙 권선법을 적용하였으며, 이로부터 각 치의 기자력은 다음과 같이 계산하였다.

(23)
\begin{align*} F_{n1}=F_{n2}\\ =K_{c}N_{c}I_{m}\times sgn\left(\cos\left(\dfrac{\pi}{3}((n-1)-step)\right)\right) \end{align*}

여기서 n 은 1≤n≤6 의 정수이며, $sgn(\bullet)$은 괄호 안 수식의 부호를 나타낸다. step 는 그림 5의 회로를 그대로 사용하면서 회전자 위치를 고려할 수 있는 상태를 나타내는 것으로 0에서 시작하여 $\pi /3$간격으로 총 6가지 상태를 가질 수 있다. step이 0이면 회전자 위치 0degE이며 1이면 반시계 방향 60degE 회전한 위치로 이해할 수 있다. 또한 $I_{m}$은 전류의 크기이고 $K_{c}$는 카터 계수로 슬롯에 의한 기자력 손실분을 보상하기 위해 도입되었으며 다음과 같이 계산하였다.

(24)
$K_{c}=\dfrac{W_{s}+W_{t}}{W_{t}+\dfrac{4g}{\pi}\ln\left(1+\dfrac{\pi W_{s}}{4g}\right)}$

또한 코일당 턴수인 $N_{c}$는 다음과 같이 구할 수 있다.

(25)
$N_{c}=\dfrac{3N_{ph}}{N_{slots}}$

여기서 $N_{ph}$는 상수이며, 본 논문에서는 3상을 가정하였다.

4. 시뮬레이션 결과 비교

그림 7는 FEA와 MECA 결과를 비교한 것으로, 전류 크기 별, 회전자 위치 별 결과를 표시하였다. 전류가 0A인 무부하 조건에서는 위치 별 쇄교 자속량의 크기는 거의 동일한 결과를 보여주고 있으며 권선 전류가 커짐에 따라 오차가 증가함을 알 수 있다. 특히 회전자 위치 60degE, 120degE에서는 FEA 결과와 MECA 결과가 유사하나, 240degE, 300degE에서 오차가 상대적으로 크게 벌어지고 있음을 알 수 있는데, 240degE, 300degE 구간에서 영구자석의 자속 방향과 코일의 자속 방향이 일치하여 더 큰 자속 포화를 발생시키기 때문으로 분석된다.

그림. 7. 전기자 전류 변화에 따른 쇄교자속 비교

Fig. 7. Comparison of flux linkage according to the winding current

../../Resources/kiee/KIEE.2022.71.7.931/fig7.png

그림. 8. 전기자 전류 Ia가 60A인 경우 자속밀도 분포도

Fig. 8. 2D plot of magnetic flux density when Ia=60A

../../Resources/kiee/KIEE.2022.71.7.931/fig8.png

실제로 예제에서 철심의 포화가 발생하는 전류는 60A 수준으로 이때 유한요소 해석결과 자속분포를 Figure 8에 보였다. 회전자 위치에 따라 포화되는 부분이 다르지만 1.8T 이상의 포화된 부분이 보이고 있다.

그림 7에서 FEA와 MECA의 오차가 가장 크게 발생하는 구간은 회전자 위치 240degE으로 이때 쇄교자속의 오차를 살펴보면 8.4% 수준으로 나타난다. 여기서 오차는 FEA로 계산한 회전자 위치별 쇄교자속의 값 중 가장 큰 값을 기준으로 계산한 것이다. 240degE가 아닌 다른 회전자 위치에서는 오차가 더욱 적은 점을 감안하고 전동기 설계 단계에서는 자속의 기본파만 사용한다는 점을 고려하면 이상의 결과는 충분히 기초 설계 단계에서 활용이 가능할 것으로 사료된다.

마지막으로 그림 9는 부하시 자속에서 무부하시 자속을 빼 권선 전류에 의해 발생하는 자속만 따로 구해 FEA와 MECA를 비교한 결과이다. 그림에서와 같이 위치 60degE에서는 전류가 커지더라도, 즉 자속 포화가 발생하더라도 그 결과는 매우 유사하나 210degE 위치에서는 자속 포화에 따라 그 차이가 계속 커지고 있다. 하지만 자속 포화가 발생하기 전인 약 30A 이내에서는 그 결과가 매우 유사함을 알 수 있다.

그림. 9. 전기자 전류에 따른 쇄교자속

Fig. 9. Flux linkage by winding currents

../../Resources/kiee/KIEE.2022.71.7.931/fig9.png

5. Conclusion

본 논문에서는 비선형 자기등가회로 해석을 통한 IPMSM의 쇄교 자속을 계산하는 방법에 대해 다루었다. MNA 방법을 자기등가회로에 적용함에 있어 발생하는 해의 발산 문제를 업데이트율을 도입함으로써 해결하였고, 고정자 치 구조를 고려한 q=1 의 IPMSM 자기등가회로를 제시하였다. 자기등가회로 해석을 통해 구해진 쇄교 자속량을 FEA 결과와 비교하였으며, 무부하 시에는 거의 일치하는 결과를 보였고, 부하 시에는 치 포화가 발생함에 따라 오차가 커지는 양상을 나타내었다. 보다 정밀한 결과를 얻기 위해서는 자기등가회로를 더욱 세밀하게 구성하면 되겠으나 MECA의 장점이 사라질 수도 있으므로 적당한 선에서 IPMSM의 쇄교자속을 구하기위해 사용하면 유용한 방법이 될 것으로 사료된다.

Acknowledgements

본 연구는 2021학년도 동양미래대학교 학술연구 지원사업에 의하여 지원 받았음

References

1 
Ik-Sang Jang, Hyung-Woo Lee, Won-Ho Kim, Su-Yeon Cho, Mi-Jung Kim, Ki-Doek Lee, Ju Lee, 2011, A Study on the Compensation of the Inductance Parameters of Interior Permanent-Magnet Synchronous Motors Affected by the Magnet Size., Journal of Magnetics, Vol. 16, No. 1, pp. 74-76DOI
2 
Ik-Sang Jang, Hyung-Woo Lee, Won-Ho Kim, Su-Yeon Cho, Mi-Jung Kim, Ki-Doek Lee, Ju Lee, 2011, A Study on the Compensation of the Inductance Parameters of Interior Permanent-Magnet Synchronous Motors Affected by the Magnet Size., Journal of Magnetics, Vol. 16, No. 1, pp. 74-76DOI
3 
I. Jeong, K. Nam, july 2015, Analytic Expressions of Torque and Inductances via Polynomial Approximations of Flux Linkages, in IEEE Transactions on Magnetics, Art no 7209009, Vol. 51, No. 7, pp. 1-9DOI
4 
Z. Q. Zhu, D. Howe, E. Bolte, B. Ackermann, Jan 1993, Instantaneous magnetic field distribution in brushless permanent magnet DC motors. I. Open-circuit field, in IEEE Transactions on Magnetics, Vol. 29, No. 1, pp. 124-135DOI
5 
V. Z. Faradonbeh, A. Rahideh, S. T. Boroujeni, G. A. Markadeh, Dec 2021, 2-D Analytical No-Load Electromagnetic Model for Slotted Interior Permanent Magnet Synchronous Machines, in IEEE Transactions on Energy Conversion, Vol. 36, No. 4, pp. 3118-3126DOI
6 
V. Z. Faradonbeh, A. Rahideh, S. T. Boroujeni, G. A. Markadeh, Dec 2021, 2-D Analytical No-Load Electromagnetic Model for Slotted Interior Permanent Magnet Synchronous Machines, in IEEE Transactions on Energy Conversion, Vol. 36, No. 4, pp. 3118-3126DOI
7 
J. -G. Lee, D. -K. Lim, H. -K. Jung, oct. 2019, Analysis and Design of Interior Permanent Magnet Synchronous Motor Using a Sequential-Stage Magnetic Equivalent Circuit, in IEEE Transactions on Magnetics, Art no 7501004, Vol. 55, No. 10, pp. 1-4DOI
8 
W. Kim, jan. 2014, Inductance Calculation in IPMSM Considering Magnetic Saturation, in IEEE Transactions on Magnetics, Art no 4001304, Vol. 50, No. 1, pp. 1-4DOI
9 
H. W. Derbas, J. M. Williams, A. C. Koenig, S. D. Pekarek, June 2009, A Comparison of Nodal- and Mesh-Based Magnetic Equivalent Circuit Models, in IEEE Transactions on Energy Conversion, Vol. 24, No. 2, pp. 388-396DOI
10 
B. Boomiraja, R. Kanagaraj, 2020, Convergence Behaviour of Newton-Raphson Method in Node- and Loop-Based Non-linear Magnetic Equivalent Circuit Analysis, 2020 IEEE International Conference on Power Electronics, Vol. smart grid and renewable energy (pesgre2020), pp. 1-6DOI

저자소개

배재남(Jaenam Bae)
../../Resources/kiee/KIEE.2022.71.7.931/au1.png

2006년 8월 : 한양대학교 전기공학과(공학석사)

2010년 8월 : 한양대학교 전기공학과(공학박사)

2010년 11월~2013년 3월 : 현대중공업 선임연구원

2013년 5월~2015년 8월 : 한국자동차연구원 선임연구원

2015년 9월~현재 : 동양미래대학교 전기공학과 부교수

이성구(Sunggu Lee)
../../Resources/kiee/KIEE.2022.71.7.931/au2.png

2005년 8월 : 한양대학교 전기공학과(공학석사)

2009년 8월 : 한양대학교 전기공학과(공학박사)

2009년 9월~2016년 1월 : 삼성전자 책임연구원

2016년 2월~2019년 8월 : 부산외국어대학교 전자로봇공학과 조교수

2019년 9월~현재 : 동아대학교 전기공학과 부교수

김원호(Wonho Kim)
../../Resources/kiee/KIEE.2022.71.7.931/au3.png

2007년 8월 : 한양대학교 전기공학과(공학석사)

2011년 8월 : 한양대학교 전기공학과(공학박사)

2011년 9월~2017년 2월 : 삼성전자종합기술원 책임연구원

2017년 3월~현재 : 가천대학교 전기공학과 부교수