2.1 레졸버 동작 원리

레졸버는 고정자와 회전자 코어 및 권선을 가지는 점에서 모터와 구조적으로 유사하며, 1차측 여자신호에 의해 나타난 2차측 유기전압의 정보를 사용하는 점에서 변압기와 동작 원리가 유사하다. 그림 1에 나타난 것처럼 레졸버의 1차 권선에 여자전압을 인가하면 회전자가 회전함에 따라 2차 권선에 유기 기전력이 발생한다. 본 논문에서 연구하는 가변 릴럭턴스(Variable Reluctance, VR) 타입 레졸버는 공극길이의 변화로 릴럭턴스의 변화가 발생하여 2차 권선에 유도되는 기전력이 권선 분포 및 회전자 위치에 따라 sine, cosine 형태로 유도된다. 따라서 위치 오차를 최소화하기 위해 릴럭턴스의 변화를 일으키는 고정자 및 회전자 코어 형상과 고정자 권선에 대한 체계적인 분석이 필요하다.

VR 레졸버의 기본 동작 원리를 살펴보면 1차측 여자 권선에 식(1)과 같은 정현파 교류 여자 전압을 인가하면 90도의 상대적인 위상차로 분포된 2차 권선에 식(2), (3) 및 그림 2와 같이 정현파 형태의 유기 전압이 회전자 위치의 함수로 발생하는 것을 알 수 있다.

여기서 A와 E는 교류신호의 진폭, θ는 회전자의 위치, ω는 여자신호의 전기각속도, β는 1차측과 2차측의 권선비에 따른 변환계수를 나타낸다.

2.2 삼각함수를 이용한 위치 오차 추출 방법

레졸버의 회전자 위치는 출력 전압의 복조파형(demodulated waveform)을 기반으로 삼각함수의 관계를 이용하여 계산할 수 있다. 먼저 출력신호 복조를 위해 그림 3과 같이 여자 신호의 피크값에 의해 나타나는 2차측 신호를 포락선의 형태로 추출한다. 회전자의 위치 정보는 2차 권선에 나타난 sine과 cosine 형태의 포락선에 대해 역탄젠트를 계산하여 얻을 수 있으며, 이는 식(4)와 같이 표현할 수 있다^(2,3).

계산 결과값은 0～360˚ 사이의 전기각으로 나타난다. 또한 회전자의 절대 위치와 (4)를 통해 계산한 위치 추정값의 차이를 이용하여 위치 오차(angle error)를 구할 수 있다. 그림 4는 임의의 레졸버 모델에 대한 회전자의 절대 위치와 (4)를 통해 계산한 예측값, 그리고 절대 위치와 예측값 사이의 오차를 시간의 함수로 나타낸 그래프를 보여주고 있다.

3.1 레졸버 권선법에 따른 위치오차 특성

본 절에서는 VR 레졸버의 최적 설계 프로세스를 제안하기에 앞서 레졸버의 고정자 권선법 및 회전자 형상의 영향을 우선 분석하고자 한다. 극/슬롯 조합은 현재 시판되는 전기차에 실제로 적용되고 있는 4X-14슬롯으로 선정하였으며, 기본적인 권선분포는 기존 연구 결과에 나타난 방식을 인용하였다. 기존 연구 결과에 따른 전통적인 권선법은 식(5), (6)과 같이 표현되며, 계산 결과에 따라 각각의 치에 해당되는 권선 턴수가 도출된다^(4,5).

여기서 $N_{s.i}$와 $N_{c.i}$는 sine과 cosine 권선의 i번째 치에 감기는 턴수, $N_{\max}$는 턴수의 최대치, $P_{w}$는 권선 극 쌍수, Z는 슬롯 수를 의미한다.

식(5)와 (6)을 기반으로 sine 권선과 cosine 권선의 턴수를 계산하면 그림 5와 같은 권선 파형으로 표현된다. 하지만 이러한 턴수 계산 방식은 일반적으로 정수가 아닌 소수점을 포함한 실수 형태로 결과가 나타난다. 따라서 실제 권선 작업을 위해서는 정수화 과정이 필요하며, 정수화 과정에서 필연적으로 위치 오차가 발생하게 된다. 그림 6은 실수와 정수 형태의 턴수를 입력으로 했을 때, 위치 오차 결과가 어떻게 변하는지를 FEA 시뮬레이션 결과로 보여준다. 해당 그림에서 위치 오차가 pk-pk 기준으로 실수값 적용 시 0.27˚(전기각)에서 정수값 적용 시 1.64˚로 약 6배 상승한 것을 확인할 수 있다. 최근 선행연구 ⁽⁴⁾에서 식(5)와 식(6)에서 얻은 값을 정수화하는 과정에서 발생한 위치 오차를 phase shift (γ) 개념을 도입하여 보상할 수 있다는 방안이 제시되었으며, 이를 4X-14슬롯 모델에 아래와 같이 적용하였다.

그림 6은 phase shift값 γ의 변화가 위치 오차에 미치는 영향 또한 보여준다. FEA 시뮬레이션 결과 전기각 2～4도 사이의 phase shift값을 턴수 계산에 적용했을 때, 실수값 턴수를 적용한 모델의 오차(0.27˚)에 가장 가까운 결과를 보여주는 것으로 나타났다. 이에 최적 설계에 사용한 레졸버 모델의 phase shift값은 전기각 3도로 지정하였다.

3.2 레졸버 회전자 형상에 따른 위치 오차 특성

VR 레졸버의 회전자 형상은 공극 길이를 결정하며, 공극 퍼미언스 및 자기회로 릴럭턴스 변화에 직접적인 영향을 미친다. 따라서 효과적으로 위치 오차를 최소화하기 위해 공극 길이를 변수화하여 최적 설계에 반영하였다. 논문 ⁽¹⁾에 나타난 공극 길이 계수 K와 3고조파 주입 계수 A를 이용하여, 회전자 형상을 변수화하였으며, 이는 다음과 같은 수식으로 표현할 수 있다.

여기서 $\delta$는 공극길이, $\delta_{\min}$는 최소 공극길이, p는 회전자 극수이다. (K값 범위: 1<K<2)

4.1 유전 알고리즘

본 논문에서는 레졸버 위치 오차 최소화를 위해 유전 알고리즘 기반 최적화 기법을 사용하였다. 유전 알고리즘은 자연 세계의 진화과정에서 기초한 계산 모델이며, 생명의 진화과정에서 핵심 아이디어를 차용한 알고리즘이다. 일반적인 유전 알고리즘은 목적함수 설정 및 초기 샘플 생성 등의 초기화, 뛰어난 성능 특성을 후세대에 전달하기 위한 교배, 탐색 되지 않은 설계공간을 위한 돌연변이 생성, 그리고 성능지표 평가의 과정을 반복한다. 최적 설계 프로세스는 결과값이 최종 목표치에 도달하거나, 정해진 반복 횟수를 초과하게 되면 종료된다.

4.2 레졸버 모델 설계 변수

그림 7은 최적 설계에 고려한 레졸버 설계변수 및 기기 형상을 보여준다.

최적 설계를 진행할 기본 모델의 권선은 앞서 검토한 수식(7)-(9)를 기반으로 생성되었다. 표 1은 최적 설계에 사용한 전체 설계변수의 목록 및 입력값 범위를 보여준다.

4.3 최적설계 조건 설정

레졸버 최적 설계의 목적 함수는 아래의 조건문과 같이 위치 오차(angle error)를 최소화하는 방향으로 설정하였다. 또한 비용적인 측면을 고려하기 위해 코어, 권선 제작에 사용된 활성물질의 가격도 고려하였다. 권선의 최대 턴수는 156, 각 치의 턴수는 수식(7)-(8)을 통해 결정하였다. 목적함수별 가중치는 변수의 중요도를 고려하여, 위치 오차와 가격을 각각 8:2로 선정하였다. 권선변압비는 0.32 이하가 되도록 제약조건으로 설정하였다.

minimize: 1. Angle error [elec. deg]

(weighting factor = 0.8)

2. Cost [$]

(weighting factor = 0.2)

subject to: 1. Transformation ratio ≤ 0.32

4.4 최적 설계 프로세스

그림 8은 본 논문에서 제안하는 VR 레졸버의 위치 오차 최소화를 위한 최적 설계 프로세스의 흐름도를 보여준다. 해당 흐름도는 다음과 같은 순서로 구성되어있다.

1) 표 1의 설계변수에 대한 초기값 설정 및 1세대 FEA 샘플 생성

2) 1차 권선에 5Vrms의 전압을 인가했을 때 2차 권선에 유기되는 역기전력 파형을 FEA 시뮬레이션을 통해 계산

3) 2차측에 나타난 변조전압으로부터 포락선을 추출하고, 위치 오차를 계산하는 과정을 파이썬 스크립트를 통해 자동으로 계산하고 결과값 저장

4) 유전 알고리즘에 의해 다음 세대 설계변수의 값을 판단하고, 위치 오차를 최소화하는 방향으로 최적 설계 진행

5) 진행 중인 세대 수가 기준값(25세대, 세대당 20샘플) 초과 시 프로세스 종료

4.5 최적 설계 결과

그림 9는 최적화된 레졸버 모델의 위치 오차를 기본 모델의 오차와 비교한 결과를 보여준다. 초기 모델의 위치 오차를 전기각 pk-pk 기준으로 계산한 0.24˚와 비교했을 때, 최적화된 모델에서는 전기각 pk-pk 0.05˚ 수준의 값이 도출되었다. 이는 초기 모델 대비 위치 오차의 정도가 약 80% 감소한 결과이다.

그림 10은 기본 모델과 최적 설계 종료 후의 모델의 형상을 비교하여 보여준다. 최적 설계의 결과로 고정자 및 회전자 코어 형상에 상당한 변화가 발생했음을 확인할 수 있다. 표 2는 주요 설계변수의 변화와 레졸버 치수를 정리하여 보여준다. $\delta_{\min}$, K, A 계수 변화를 통해 위치 오차를 최소화하는 방향으로 공극 릴럭턴스의 변화가 발생했음을 확인할 수 있다.