1. 서 론

무인비행체는 일반적으로 가속도 제어를 통해 위치를 제어한다. 물리적으로 무인비행체의 조종날개(Fin)를 움직여 비행체의 받음각을 형성하게 되면 양력(Lift Force)에 의해 비행체에 가속도가 생성된다. 최근에는 무인비행체의 기민한 회전을 위해 측추력기(Side-jet), 추력벡터제어(Thrust Vector Control), DACS(Divert Attitude Control System)를 추가로 장착하여 자세 제어를 수행한다^(1,2).

무인비행체의 종말 호밍유도는 표적 근처에서 탐지된 표적의 다양한 센서 정보나 GPS(Global Positioning System)를 사용하여 무인비행체가 표적에 도달하는 단계이다. 이때 가장 중요한 가정은 무인비행체와 표적과의 시선(Line-of-Sight: LOS)이 표적에서 많이 벗어나 있지 않다는 점이다. 이러한 가정하에 가장 널리 사용되는 유도 법칙은 비례항법 유도(Proportional Navigation Guidance: PNG) 법칙이다⁽³⁾. 비례항법 유도 법칙은 항법상수, 접근속도 및 시선각 변화율(LOS rate)을 이용하여 가속도 명령을 생성하여 가속도를 제어한다.

그러나 실질적으로 무인비행체가 초기 및 중기 유도 단계를 거치면서 누적된 경로 오차에 의해 종말 유도 시점의 표적에 대한 시선각이 클 수 있다. 이러한 시선각 오차가 크게 되면 가속도 명령이 쉽게 포화 되어서 무인비행체가 표적에 도달하지 못하거나, 비록 무인비행체가 표적에 도달하여도 큰 위치오차를 가지게 되어 종말 호밍 유도 성능이 급격히 나빠질 수 있다.

종말 호밍 유도 시점의 큰 시선각 오차 문제를 해결하기 위해 다양한 연구들이 진행되었다^(4-6). 슬라이드 모드 기법을 적용한 결과⁽⁴⁾에서는 큰 시선각뿐만 아니라 탄착 시간과 탄착 오차 요구조건을 모두 만족시킨다. 최적 유도 법칙을 적용한 결과⁽⁵⁾에서는 큰 시선각 문제와 시간에 따라 변하는 무인비행체의 속도를 고려하여 표적까지 도달하기 위한 비행 잔여시간(time-to-go)을 반복적으로 업데이트하였다. 비행 단계에 따라 입사각 유도 법칙과 비례항법 유도 법칙을 적용한 결과⁽⁶⁾에서는 탐색기의 지향각(Look Angle) 조건을 고려하여 가속도를 생성하는 방식을 다르게 적용한 알고리듬이다. 제안하는 알고리듬들 모두 큰 시선각 문제를 해결하기 위해 가속도 제어를 수행하는 방식을 사용한다.

본 논문에서는 큰 시선각 오차 문제를 해결하기 위해 이중 모드 유도 법칙을 제안한다. 제안하는 알고리듬은 가속도 제어 방식만을 사용하는 기존 결과들과 달리 자세 제어의 일종인 자세 각속도 제어와 PNG의 가속도 제어로 구성된다. 자세 각속도 제어는 PNG의 가속도 제어보다 빠른 응답을 가지지만 위치 제어 성능이 낮고, 반대로 PNG의 가속도 제어는 자세 각속도 제어보다 응답은 느리지만 위치를 정밀하게 제어하는 장점이 있다. 각 제어 방식의 장점들을 고려하여 큰 시선각 오차가 발생하게 되면 먼저 자세 각속도 제어를 통해 큰 시선각 오차를 빠르게 감소시킨 후 PNG의 가속도 제어를 적용하면 큰 시선각 오차와 탄착 오차 조건을 모두 만족시킬 수 있다.

자세 각속도 제어기는 리아푸노프 안정도를 만족시키는 것과 동시에 최대 기동가속도 조건을 고려하여 제어 이득을 설계한다. 최대 기동가속도 조건을 고려하는 이유는 제한 하중이 초과하게 되면 비행체 파손이 발생될 수 있기 때문이다. 자세 각속도 제어기에서 PNG의 가속도 제어기로 전환하기 위한 조건은 두 제어기의 오차가 최소화가 되도록 해석적인 거리를 구하여 설정한다.

본 논문은 학회 발표 논문⁽⁷⁾을 확장한 결과이다. 학회 논문에서는 제안하는 알고리듬의 개발 가능성에 관해 서술하였다. 본 논문에서는 각속도 제어기 설계 방법과 제어기 전환을 위한 전환 거리를 이론적인 증명을 통해 제시하였다.

논문의 구성은 다음과 같다. 먼저 문제 설정을 위한 유도 기하의 지배 방정식과 가정들에 대해 언급한다. 두 번째 절에서는 이중모드 알고리듬과 흐름도를 설명한다. 세 번째 절에서는 각속도 제어기 설계와 제어기 전환 거리에 이론적인 결과를 제시한다. 마지막 절에서는 모의시험 결과를 언급한다.

2. 문제 설정

본 논문에서 유도 기하는 아래와 같이 2차원 평면을 고려한다.

그림에서 $L$은 무인비행체, $T$는 표적, $\lambda$는 무인비행체와 표적과의 시선각, $\xi$는 표적과의 시선각에 대한 헤딩오차각, $\eta$는 무인비행체의 자세각, $\alpha$는 무인비행체의 받음각, $V$는 무인비행체가 표적에 접근하는 속도를 의미한다. 무인비행체와 표적 사이의 거리를 $r$이라고 하면, $r$과 $\xi$에 관한 관계식은 다음과 같이 유도된다.

여기서, $\dot\gamma$는 비행경로각 변화율이다. PNG의 가속도 제어를 위해 가속도 명령이 주어진다면, 식 (4)로부터 비행경로각 변화율을 산출하여 식 (2)와 연결할 수 있다.

무인비행체의 자세각 $\eta$는 다음과 같은 식이 만족된다.

정상상태에서는 받음각이 일정하므로, 비행경로각 변화율과 자세각 변화율 사이의 관계식은 다음과 같다.

식 (6)에서 자세 각속도를 제어할 수 있으면, 비행경로각도 동일하게 제어할 수 있다. 따라서 $\dot\eta$에 자세 각속도 제어기의 명령을 생성하는 알고리듬을 설계하면 식 (2)와 연결할 수 있다.

본 논문에서는 다음과 같은 가정을 한다.

1. 무인비행체의 속도는 일정하다.

2. 무인비행체의 최대 비행경로각 크기는 180도이다.

3. 무인비행체의 위치나 자세각은 무인비행체에 장착된 센서 정보로부터 안다.

4. 표적은 고정되어 있다.

가정 1은 무인비행체가 추력을 제어하는 시스템에 의해 일정한 속도를 유지할 수 있으므로 타당한 가정이다. 가정 2는 비행경로각이 변할 수 있는 범위가 ±180°이므로 크기는 최대 180도이다. 가정 3에서 무인비행체에 GPS나 관성항법장치(Inertial Navigation System: INS)이 장착되므로 비행체의 자세나 위치를 알 수 있다. 가정 4는 움직이지 않는 표적에 대한 문제 설정을 의미한다.

3. 이중모드 유도 알고리듬

본 논문에서 제안하는 이중 모드 유도 알고리듬의 유사 코드(Pseudo Code)는 다음과 같다.

표 1에서 입력 데이터는 무인비행체와 표적 사이의 거리와 최적 전환거리이고, 출력데이터는 자세 각속도 제어기나 가속도 제어기를 구동하는 플래그이다. 본 논문에서 자세 각속도 제어기는 다음과 같이 설계한다.

식 (7)에서 첫 번째 항은 식 (2)의 사인함수를 포함하는 비선형항을 제거하기 위한 항이고, 두 번째 항은 헤딩오차각을 0으로 수렴하기 위한 항이다. 그리고 PNG의 가속도 제어기는 다음과 같다.

식 (8)에서 $N$은 항법상수이고, $N=3$일 때 에너지를 최소화한다고 알려져 있다. 다음 절에서는 전환 거리의 최적해에 대해 서술한다.

4. 전환 거리의 해석적 최적해

앞 절에서 언급한 각속도 제어기의 파라메터를 다음의 보조정리 1을 이용하여 설정한다.

보조정리 1. 임의의 양의 상수 $K$에 대하여

을 만족한다면, 리아푸노프 안정도를 만족하는 $K$를 찾을수 있다.

(증명) 리아푸노프 함수 후보를 $V(\xi)=\dfrac{1}{2}\xi^{2}$라고 하자. 이를 미분하고, 식 (2)에 $\dot\eta =-\dfrac{V}{r}\sin\xi - K\xi$를 대입하면, $\dot V(\xi)=-K\xi^{2}$이다. $\xi$가 0이 아닐 때, $V(\xi)>0$이고, $\dot V(\xi)<0$이다. $\xi$가 0일 때 $V(\xi)=0$이고, $\dot V(\xi)=0$이다. 따라서 임의의 양의 상수 $K$에 대하여 리아푸노프 안정도를 만족한다.

따름정리 1. 식 (7)을 만족하는 헤딩오차각의 해석적 해는 다음과 같다.

(증명) 식 (2)에 식 (7)을 대입하여, 헤딩오차각의 폐루프 해를 구하면 $\xi =\xi_{0}e^{-Kt}$이다.

따름정리 1로부터 제안하는 자세 각속도 제어기는 헤딩각 오차를 지수함수적으로 감소시키는 것을 알 수 있다.

보조정리 2. 무인비행체의 최대 기동가속도를 $a_{\max}$라고 하자. 이때 보조정리 1에서 정의한 임의의 양의 상수 $K$는 다음과 같이 범위가 제한된다.

(증명) 식 (7)과 식 (4)에 식 (6)을 이용하여 대입하면 다음과 같은 부등식을 만족한다.

따라서, 식 (12)이 만족된다.

보조정리 3. PNG의 가속도 제어 알고리듬은 다음과 같다.

식 (7)의 자세 각속도 제어기에서 식 (8)의 가속도 제어기로 전환하는 오차를 최소화하기 위한 무인비행체와 표적 사이의 거리는 다음과 같다.

(증명) 식 (4)와 (8)을 이용하면 $N\dot\lambda =\dot\gamma$이다. 식 (3)을 이용하여 비행경로각 변화율을 구하면 다음과 같다.

이때 하첨자 $A$는 가속도 제어 명령을 생성하기 위한 비행경로각 변화율을 의미한다. 한편, 식 (6)과 식 (7)에 의해 각속도 제어기의 비행경로각 변화율을 구하면 다음과 같다.

이때 하첨자 $R$는 각속도 제어 명령을 생성하기 위한 비행경로각 변화율을 의미한다. 두 제어 명령의 전환오차 $\epsilon$을 다음과 같이 정의한다.

비용함수 $J=\epsilon^{2}$을 최소화하기 위해 $\dfrac{\partial J}{\partial r}=0$, $\dfrac{\partial J}{\partial\xi}=0$을 만족하는 조건을 찾는다.

식 (17), (18)을 동시에 만족하는 조건은 다음과 같다.

$r_{s}=(N-1)\dfrac{V}{K}$

식 (13)은 두 제어기의 비행 경로각 변화율이 최소화하기 위한 조건을 의미한다. 식 (4)에서 비행 경로각 변화율과 속도의 곱이 가속도이므로 두 제어기의 가속도 변화가 최소인 조건을 의미한다. 식 (13)의 물리적인 의미를 살펴보면, 자세각속도 제어기 파라메터 $K$를 증가시키면, 전환거리가 짧아진다. 다시 말해서 자세 각속도 제어기의 응답 속도를 증가시킬수록 가속도 제어기가 동작하는 시간이 짧아짐을 알 수 있다. 그리고 가속도 제어기의 항법 상수를 증가시킬수록 가속도 제어기의 응답 속도가 빠르게 되어 각속도 제어기의 동작시간이 짧아질 수 있음을 의미한다. 무인비행체의 속도가 증가할수록 각속도 제어기의 동작시간은 짧아지고, 가속도 제어기의 동작시간이 길어짐을 알 수 있다. 이는 속도가 증가하면 무인비행체가 표적까지 도달하는 잔여 시간이 짧아져서 정밀하게 위치 제어를 할 수 있는 시간도 짧아지므로 각속도 제어기보다 가속도 제어기를 더 길게 동작시키는 것이 필요한 관계식으로 이해할 수 있다.

5. 모의시험 결과

제안된 알고리듬을 검증하기 위해 무인비행체와 표적 사이의 초기 거리는 3.056km, 초기 비행경로각은 -180도, 초기 속도는 300m/s로 고려한다. 최대 기동가속도는 20g이다. PNG 가속도 제어기의 항법상수는 3, 자세각속도 제어기의 $K$는 0.2709로 설정하였다. 식 (13)에 의해 전환거리는 2.215km로 계산된다. 무인비행체의 동역학은 무시하여 관련 Lag는 없다고 가정한다. 수행한 모의시험 결과는 다음과 같다.

그림 2는 PNG의 가속도 제어기만을 동작할 때와 이중 모드 유도 알고리듬을 동작할 때 무인비행체의 궤적을 비교한 결과이다. 무인비행체의 초기 위치는 X축 -2km, Y축 3km이고, 표적의 위치는 X축은 0m, Y축은 0m이다. PNG의 가속도 제어기만을 동작시킬 경우 표적에 도달하지 못하지만, 제안하는 알고리듬은 무인비행체가 표적에 도달하였다. 초기 비행경로각이 180도이므로 PNG의 가속도 제어기만을 동작할 때 표적에 도달하기 위한 잔여시간이 부족하여 표적에 미탄착하게 됨을 알 수 있다. 그러나 제안하는 알고리듬은 자세각속도 제어기가 동작하여 충분히 헤딩각 오차를 초기구간에서 많이 감소시킨 후 PNG의 가속도 제어기를 동작시키므로 무인비행체가 표적에 정확하게 도달됨을 알 수 있다.

그림 3은 PNG의 가속도 제어기와 자세 각속도 제어기의 자세 각속도 결과를 비교한 그림이다. PNG는 초기 비행 구간에 가속도 제어기를 사용하므로 각속도 제어기보다 자세각속도 응답 속도가 느리다. 그리고 자세각속도 관점에서 볼 때 PNG의 가속도 제어기는 초반 시선각 오차를 줄이지 못하는 명령을 산출하지만, 자세각속도 제어기는 초반 시선각 오차를 줄이기 위해 큰 자세각속도를 산출하여 신속하게 자세각속도를 줄이는 결과를 보인다. 표적 탄착 직전의 자세각속도는 PNG의 가속도 제어기의 경우 잔여시간이 부족하여 자세각속도가 0으로 수렴되지 않은 상태에서 비행이 종료된 반면, 제안하는 알고리듬은 자세각속도에서 PNG의 가속도 제어기로 전환된 이후에 자세각속도가 0으로 수렴됨을 알 수 있다.

그림 4는 표적을 기준으로 벗어진 시선각을 나타내는 헤딩각 오차를 나타낸 그림이다. PNG의 가속도 제어기는 헤딩각 오차가 감소하기는 하지만, 표적 도달 시점에서 헤딩각 오차가 큰 값으로 남아있다. 자세 각속도 제어기는 따름정리 1로부터 헤딩각 오차가 지수함수적으로 감소되도록 설계되어 그림에서 지수함수적으로 빠른 속도로 헤딩각 오차가 감소됨을 알 수 있다. 이를 통해 제안하는 알고리듬의 이론적 결과를 잘 뒷받침함을 알 수 있다.

그림 5는 표 1의 알고리듬 플래그를 나타낸 그림이다. 표 1에서 플래그가 0일 때는 PNG의 가속도 제어기, 플래그가 1일 때는 자세각속도 제어기가 동작한다. 그림 5로부터 자세각속도 제어기가 먼저 동작하다가 8.132초일 때 PNG의 가속도 제어기가 동작함을 알 수 있다. 이 시간에서 전환거리는 2.215km이고, 이 값은 모의시험에서 미리 산출한 전환거리와 잘 일치함을 알 수 있다.

그림 6은 PNG의 가속도 제어기와 자세 각속도 제어기의 가속도 응답을 비교한 그림으로 두 제어기의 가속도 값이 0초에서 상당히 차이가 남을 알 수 있다. 즉, 자세각속도 제어기는 최대 기동가속도에 해당하는 20g로 기동한 반면, PNG의 가속도 제어기는 6.35g으로 기동한다. 이 부분을 비교하면, PNG의 가속도 제어기는 헤딩각 오차가 크더라도 큰 오차에 둔감하게 반응함을 알 수 있다. 제안하는 자세각속도 제어기는 헤딩각 오차를 최대한 줄이기 위해 최대 기동가속도를 모두 사용함을 알 수 있다. 그림 5의 전환 시간 전후를 그림 6에서 살펴보면, 전환시간 이후 가속도는 PNG의 가속도 명령 프로파일이므로 전환 시간 이전의 가속도 프로파일과 다름을 알 수 있다. 표적에 도달한 시점에서 가속도를 비교하면 제안하는 알고리듬은 표적 도달 시점에 0g로 잘 수렴하였지만, PNG의 가속도 제어기는 표적에 도달하지 못한 채 가속도가 0으로 수렴하지 못하였다.

6. 결 론

본 논문은 큰 시선각 오차가 있을 때 기존 PNG 유도법칙의 한계를 보완하기 위해 개발된 이중모드 유도 알고리듬에 관한 것이다. 기존 PNG 유도법칙은 큰 시선각 오차에 둔감하게 비행체를 기동시켜 표적에 도달하지 못하거나 종말 호밍유도 성능이 낮아지는 단점이 있다. 이러한 단점을 극복하기 위해 본 논문에서는 자세각속도 제어기를 리아푸노프 안정도를 만족할 뿐만 아니라 최대 기동가속도 조건에 부합하는 이득을 설계하였다. 자세각속도 제어기에서 기존 PNG 유도법칙으로 전환하기 위해 두 제어법칙의 비행 경로각 변화율이 최소가 되는 전환거리를 해석적으로 산출하여 비행가속도에 점프가 최소화가 되도록 하였다. 제안하는 알고리듬과 기존 PNG 유도법칙에 대한 모의시험을 통하여 제안하는 알고리듬이 기존 PNG 유도법칙을 보완할 수 있음을 보였다. 추후 연구계획으로는 입사각을 고려한 유도법칙을 제안하는 알고리듬으로 확장할 예정이다.