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The Transactions of the Korean Institute of Electrical Engineers

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The Transactions of the Korean Institute of Electrical Engineers

KIEE Vol. 74, No. 03, p.377-384

ISSN (print) :

1975-8359

ISSN (online) :

2287-4364

Received : 22 Oct. 2024Revised : 08 Jan. 2025Accepted : 31 Jan. 2025

DOI :

https://doi.org/10.5370/KIEE.2025.74.3.377

전력계통 진동 감지기술: Prony 분석과 그 응용에 관한 연구

Oscillation Theories in Various Systems and Detection in Power Systems Using Prony Analysis

최윤성 (Yoon-Seong Choi) ¹iD 이동호 (Dongho Lee) ^†iD

(Dept. of Electrical Engineering, Mokpo National University, Republic of Korea.)

^†Corresponding Author : Dept. of Electrical and Control Engineering, Mokpo National University, Republic of Korea. E-mail : dongho.lee864@gmail.com

License :

This is an Open Access article distributed under the terms of the Creative Commons Attribution Non-Commercial License (http://creativecommons.org/licenses/by-nc/3.0)which permits unrestricted non-commercial use, distribution, and reproduction in any medium, provided the original work is properly cited.

Translated Abstract

The integration of inverter-based renewable energy sources in power systems affects frequency stability and oscillation characteristics, posing challenges to system reliability. Complex interactions between generators' dynamic behaviors and transient electrical flows complicate oscillation detection. This study reviews oscillation theories, such as the spring-mass system and radio frequency oscillation, which help explain oscillation mechanisms but are limited in detecting power system oscillations. To address this, the study applies Prony analysis, which models time-series data as a sum of exponential functions, and compares it with RMS Energy Filtering. The proposed algorithm, combining these methods, is tested on real power system data from the U.S., successfully detecting primary oscillation modes and damping characteristics. The results highlight the method’s accuracy in identifying critical oscillation frequencies and the importance of selecting an appropriate order in Prony analysis to prevent overfitting or underfitting.

Key words

Power System Oscillation, Prony Analysis, RMS Energy Filter, Spring-Mass System, Barkhausen criteria, Eigenvalue

1. 서 론

전력시스템 내 지속적인 인버터형 재생에너지원의 추가는 주파수 안정성 및 진동 특성에 영향을 미치며, 전력시스템의 안정성과 신뢰성 유지에 중요한 변수가 된다^[1]. 재생에너지원의 출력 변동성과 계통 관성 감소로 인해 전력계통에서 저주파 진동 모드가 추가적으로 관측될 수 있어 이를 억제하기 위한 제어 방법들이 연구되고 있다^[2]. 발전기의 동적인 동작과 계통 내 과도적인 전기적 흐름의 결합은 전력시스템의 복잡성을 증가시키며, 이는 시스템 내의 진동 주파수 감지 및 진동 원인 파악에 있어 어려움을 키운다. 전력시스템에서 발전기는 일정한 시스템 주파수에 동기화되어 작동하는데, 발전기의 속도가 정상범위를 벗어나 이를 제어하기 위한 여자기 또는 터빈의 제어 컨트롤러 상태가 부적절하다면 2.0Hz 이하의 저주파 진동이 발생할 수 있다^[3]. 저주파 진동이 지속되면 베어링이나 회전축의 마모, 발전기의 탈조 등 기계 부품의 고장이나 파손을 일으킬 수 있으며 발전기의 전압과 주파수 변동을 유발하여 전력 품질을 저하시킨다^[4]. 전력시스템에서 발생하는 다양한 교란과 불확실성에 대응하기 위한 주파수 감쇠 관련 연구가 활발히 진행되고 있다[5-7]. 감쇠는 내부적인 영향이나 시스템에 가해진 외란에 의해 발생하는 진동을 감소시키는 것을 의미하며 전력시스템에서 발생하는 진동 주파수를 감쇠시키는 것은 시스템의 안정성에 긍정적인 영향을 미친다. 전력시스템은 키르히호프 법칙과 에너지 보존법칙을 만족하는 전기적·기계적 시스템의 결합으로 이루어지며, 전력시스템에서 진동은 비선형 2차 미분방정식인 Spring-Mass 방정식과 Barkhausen 기준으로 이해할 수 있다[8, 9].

진동을 감지하는 방법으로 많이 사용되고 있는 Prony 분석은 입력 시계열 Data를 적절한 차수를 활용한 지수 함수의 합으로 모델링하는 방법이다. 차수를 너무 크게 설정하면 신호의 노이즈까지 포함하여 신호를 왜곡하는 과적합이 발생할 수 있고, 너무 작게 설정하면 실제 신호의 중요한 주파수 성분이 누락되어 중요 특성을 포착하지 못할 수 있어 적절한 차수를 선택하는 것이 중요하다^[3]. RMS Energy Filtering은 특정 진동 주파수를 검출하는 방법으로 사용되고 있으나 특정 주파수의 크기만을 나타내며 Prony 분석처럼 감쇠계수, Damping과 같은 정보를 나타내지 않는다.

본 연구에서는 전력시스템에서의 진동을 이해하기 위해 타분야에서 정립된 진동이론을 공부하였고 이를 활용하여 전력시스템에서의 진동을 감지하기에 적합한 방법을 선정하였다. 발전기 한 대에 적용될 수 있는 Spring-Mass System은 다수의 발전기가 연결된 전력시스템에서의 진동해석에 어려움이 있다. 마찬가지로 RF 회로에서의 Barkhausen 기준은 전기시스템의 진동유지조건을 명확히 이해할 수는 있지만, 동적시스템에서의 감쇠정도를 반영하기 어려워 전력시스템의 전압 Data를 사용한 Prony 분석을 통해 진동을 판단한다. 실제 미국에서 진동이 발생한 전압 실효치 Data를 활용하여 RMS Energy Filtering을 Prony 분석과 연계하여 적절한 차수를 선택하고 eigenvalue와 Damping ratio를 통해 진동을 판단한다.

2. 시스템 별 진동이론 및 Prony 분석

2.1 Spring-Mass System

Spring-Mass System은 기계시스템에서 물리적인 질량과 스프링 상수, 감쇠에 의한 에너지 손실을 고려하여 2차 미분방정식 형태로 진동을 분석하는 모델이다. 전력시스템은 단순히 기계적인 요소만이 아닌 전기적·역학적·제어적 상호작용이 동시에 발생하는 대규모 비선형 동적 시스템이다. 전력계통에서는 발전기, 변압기, 송전선로, 부하 등의 다양한 설비들이 연결되어 있으며 발전기의 여자제어, 터빈조속기 제어 등 각 설비의 제어시스템에 의해서도 진동 특성이 크게 달라진다. 기계시스템에서 감쇠(damping)는 물리적 마찰, 재료 특성 등으로 결정되지만 전력시스템에서는 발전기의 전압·주파수 변동, 부하 특성, 전자기적인 복잡한 상호작용 등에 의해 감쇠 특성이 달라진다. 발전기 내부의 감속 토크, 여자기의 제어기, 계통운영 시나리오별 전원과 부하의 변동 등이 진동 모드에 영향을 미치는 예에 해당한다.

감쇠비 $\zeta_{m}$ 는 시스템이 외란을 받은 후 진동이 얼마나 빨리 감쇠하는지의 측정치로 2차 미분방정식의 주파수 응답을 나타낸다. $c$ 는 실제 감쇠(Actual Damping), $c_{c}$ 는 임계감쇠(Critical Damping)이다.

(1)

$\zeta_{m}=\dfrac{c}{c_{c}}$

시스템의 특성방정식은 식 (2)와 같다. $m$ 은 질량, $k$ 는 스프링 상수이다.

(2)

$m\dfrac{d^{2}x}{dt^{2}}+c\dfrac{dx}{dt}+kx =0$

임계감쇠 $c_{c}$ 는 식 (3)과 같이 표현될 수 있으며 $w_{n}$ 은 시스템의 고유 주파수이다.

(3)

$c_{c}=2\sqrt{mk}= 2mw_{n},\: w_{n}=\sqrt{\dfrac{k}{m}}$

감쇠비

$\zeta_{m}$ 는 식 (4)와 같이 정리된다.

(4)

$\zeta_{m}=\dfrac{c}{2\sqrt{mk}}$

감쇠비 $\zeta_{m}$ 와 고유주파수 $w_{n}$ 를 사용하여 식 (2)를 치환하여 식 (5)와 같이 표현한다.

(5)

$\dfrac{d^{2}x}{dt^{2}}+ 2\zeta_{m}w_{n}\dfrac{dx}{dt}+w_{n}^{2}x=0$

식 (2)의 미분방정식 해는 다음 식 (6)과 같이 표현되며, $C_{s}$ 는 초기 조건에 따라 결정되는 상수, $s_{s}$ 는 시스템의 eigenvalue이다. $s_{s}$ 는 식 (7)과 같이 주어진다.

(6)

$X(t)=C_{s}e^{s_{s}t}$

(7)

$s^{s}=-w_{n}(\zeta_{m}\pm \sqrt{1-\zeta_{m}^{2}})$

감쇠비 $\zeta_{m}$ 의 범위에 따른 진동 상태는 표 1과 같다. 과감쇠 상태는 시간이 지남에 따라 진동이 감쇠하며 0에 근접하고 부족감쇠 상태에는 진동하며 감쇠한다. 임계감쇠 상태에는 과감쇠와 부족감쇠 사이의 경계로 가장 짧은 과도응답 특성을 지닌다.

표 1 감쇠비에 따른 진동 상태

Table 1 Oscillation States According to Damping ratio

Damping Ratio( $\zeta_{m}$ )	State
0 < $\zeta_{m}$ > 1	부족감쇠(Underdamped)
$\zeta_{m}$ = 1	임계감쇠(Critical Damped)
$\zeta_{m}$ > 1	과감쇠(Overdamped)
$\zeta_{m}$ = 0	비감쇠(Undamped)

Spring-Mass System은 질량, 스프링, 감쇠 요소 간 상호작용을 식 (5)와 같이 모델링하여 고유진동수 $w_{n}$ 와 감쇠비 $\zeta_{m}$ 를 통해 진동 특성을 분석한다. 전력시스템에서도 기계적인 감쇠 요인은 존재하지만 다수의 발전기·부하 등의 복합적인 상호작용하는 복잡한 구조이므로 $\zeta_{m}$ 을 계산할 수 없어 진동감지에 활용하는데 어려움이 있다. Spring-Mass System은 기초 진동의 메커니즘을 파악하고 감쇠 특성의 중요성을 설명할 수는 있으나 전력 시스템의 진동을 감지하는 목적에 있어 적용하기 어렵다.

2.2 Radio Frequency Oscillation

RF Oscillator는 신호 생성 및 주파수 변환을 위한 비선형 회로로 전압이득 $A$ 를 가진 증폭기와 주파수 영향을 받는 전달 함수 $H(w)$ 를 가진 피드백 네트워크의 결합으로 이루어진다. 출력 전압 $V_{o}(w)$ 는 다음 식 (8)과 같이 표현된다.

(8)

$V_{o}(w)=AV_{i}(w)+H(w)AV_{o}(w)$

식 (9)는 출력 전압 $V_{o}(w)$ 를 입력 전압 $V_{i}(w)$ 함수로 표현할 수 있다.

(9)

$V_{o}(w)=(\dfrac{A}{1-AH(w)})V_{i}(w)$

식 (9)에서 $1-AH(w)$ 가 0이 되면, 회로는 외부에서의 입력 전압 $V_{i}(w)$ 이 0에 근접하더라도 회로 내부에서 신호가 지속적으로 순환하며 증폭된다. 이를 통해 Oscillator는 지속적인 출력 전압 $V_{o}(w)$ 을 생성한다. 그림 1은 정현파 Oscillator의 피드백 회로 블록 다이어그램이다.

그림 1. 정현파 Oscillator 피드백 회로 블록 다이어그램

Fig. 1. Block diagram of a sinusoidal oscillator feedback circuit

Barkhausen 기준은 진동 생성에 대한 위상조건과 이득조건을 통해 전기회로에서 특정 주파수가 증폭하고 유지되는 메커니즘을 설명한다. Oscillator 회로 내에서 반복적으로 순환되어 생성된 진동 신호는 처음 신호의 위상과 동일해야 하며, 위상이 일치하지 않으면, 신호가 불규칙적으로 변하거나 소멸할 수 있다. 실질적으로는 큰 $A$ 를 가지면서 $H(w)$ 의 위상이 주파수에 따라 급격히 바뀌는 Resonance 현상이 있을 때 진동이 발생한다. 충분히 큰 $A$ 값은 시스템에서의 손실을 극복할 수 있으며, Resonance는 주파수가 일치할 확률을 높인다. 이러한 Barkhausen 기준은 진동을 회피하는 아이디어를 제공할 수 있지만 다수의 비선형 요소 및 복잡한 상호작용을 포함하는 대규모 동적 시스템인 전력시스템에서의 진동 감지에 적용하기는 어렵다. 따라서 실제 대규모 전력시스템의 발전기 간 상호작용, 부하 특성 등을 반영하기 위해서 는 Prony 분석과 같은 실측 기반 분석방법을 사용하였다.

2.3 Prony Analysis Algorithm

Prony 분석은 신호 처리 및 시스템 식별에 자주 사용되는 수학적 기법으로, 입력되는 시간 도메인의 Data를 차수 $M$ 을 사용한 행렬로 구성하여 여러 복소 모드의 감쇠 혹은 발산하는 지수 함수의 합으로 분해한다. 다수의 주파수 성분이 혼재된 신호에서 각 모드를 구분하여 진동모드의 감쇠와 비감쇠 모드를 분리하고 각각의 모드에 대한 진폭, 주파수, 감쇠비를 추정한다. 기존의 FFT(Fast Fourier Transform)에 비해 세밀한 주파수 분해능을 수행하여 작은 신호의 변화를 감지할 수 있지만 입력 Data에 포함된 노이즈 신호에 민감하다. Prony 분석에 있어 차수 $M$ 의 설정에 따라 결과값이 달라지기 때문에 적절한 차수를 설정하는 것이 매우 중요하며 RMS Energy Filtering을 통해 차수를 선택한다. 본 논문에서 제안하는 접근 방법은 Prony 분석 이전에 RMS Energy Filtering으로 주요 진동 주파수대역을 선별하고, Prony분석과 연계하여 감쇠계수 및 고유주파수를 산출함으로써 과적합 문제를 완화할 수 있다. 제안하는 알고리즘은 특정 주파수대역에 대한 RMS Energy Filtering을 우선적으로 적용하여 Prony 분석의 차수 설정 시 발생할 수 있는 과도·과소 문제 보정을 목적으로 한다. 또한 시계열 데이터의 자기상관 함수를 행렬로 구성함으로써 노이즈를 줄이고 주요 진동모드를 정확하게 식별할 수 있음을 실제 계통 사례로 검증하였다. 그림 2는 제안하는 RMS Energy Filter와 Prony 분석을 결합한 알고리즘이다^[10].

그림 2. Prony 분석 알고리즘

Fig. 2. Prony Analysis Algorithms

2.3.1 RMS Energy Filtering

DFT(Discrete Fourier Transform)은 입력 신호를 주파수 도메인으로 변환하며 다음과 같이 정의된다.

(10)

$X(k)=\sum_{n=0}^{N-1}x(n)e^{-\dfrac{2\pi i}{N}kn}(k=0,\: ...,\: N-1)$

RMS Energy Filtering를 적용하여 신호의 레벨을 측정하여 진동 주파수를 특정한다. BPF(Band Pass Filter)의 주파수 대역별 사용 목적은 표 2와 같다^[11].

표 2 BPF 주파수 대역별 사용목적

Table 2 BPF Frequency Range and Usage Purposes

주파수 대역	사용목적
0.01-0.15	조속기 제어
0.15-1	전기기기 결합으로 인한 지역적인 진동 파악
1.0-2.0	발전기의 여자 제어
2.0-15	동기기 회전축 Torsional 모드 분석

2.3.2 Prony Analysis

전력시스템에서 부하, 전압 측정값 등의 Data는 시간에 따라 연속적으로 수집되며 Prony의 회귀모델에서 데이터 상관성을 분석하여 이상상태를 감지한다^[12]. 기존 Prony 분석방법은 시계열 데이터를 직접 입력으로 사용하기 때문에 선택된 차수에 따라 일부 구간의 데이터가 버려질 수 있다. 본 논문에서는 전체 신호에 대한 자기상관 함수를 활용함으로써 시계열 데이터의 누락없이 전 구간의 상관관계를 고르게 반영하여 안정적으로 분석하고 노이즈를 줄인다.

자기상관 함수 $r(m)$ 은 신호의 시간 지연에 따른 상관성을 측정하는 함수로, 신호의 현재 값 $x(n)$ 과 $m$ 만큼의 시간 지연 값 $x(n+m)$ 사이의 관계를 나타낸다. 신호 $x(n)$ 의 자기상관함수 $r(m)$ 은 식 (11)으로 정의된다.

(11)

$r(m)=\sum_{n=0}^{N-m-1}x(n)x(n+m)$

신호 $x(n)$ 에 대한 복소 지수 함수 모델링은 식 (12)로 표현되며 eigenvalue $z_{k}$ ( $\lambda_{k}$ )구성요소인 감쇠계수 $a_{k}$ 와 각주파수 $b_{k}$ 를 사용하여 진동 특성을 분석한다. 여기서 $\triangle t$ 는 샘플링 타임을 의미하며 각 모드의 주파수는 감쇠( $a_{k}$ <0) 혹은 발산( $a_{k}$ >0)한다.

(12)

$x[n]=\sum_{k=1}^{M}A_{k}e^{z_{k}n\triangle t},\: z_{k}=a_{k}+jb_{k}$

Prony에서 사용되는 Hankel 행렬 $H$ 는 반대각선과 평행한 대각선을 따라 값이 일정한 정사각행렬이며 식 (13)과 같다. 식 (14)은 Hankel 행렬을 기반으로 신호의 선형 예측을 수행하기 위한 선형 방정식이다.

(13)

$H=\begin{pmatrix}r(0)&r(1)&r(2)&\cdots &r(M-1)\\r(1)&r(2)&r(3)&\cdots &r(M)\\\vdots &\vdots &\vdots &\cdots &\vdots \\r(M-1)&r(M)&r(M+1)&\cdots &r(2M-2)\end{pmatrix}$

(14)

$Hc=-d$

$c$ 는 선형예측 계수벡터이고 $d$ 는 자기상관 함수벡터로 식 (15)과 같다.

(15)

$c=\begin{pmatrix}c_{1}\\c_{2}\\\vdots \\c_{M}\end{pmatrix}$ ,

$d=\begin{pmatrix}r(M)\\r(M+1)\\\vdots \\r(2M-1)\end{pmatrix}$

$H^{T}$ 는 행렬 $H$ 의 전치행렬이며 최소자승법을 사용하여 잔차 제곱합을 최소화하는 $c$ 를 추정한다.

(16)

$c=(H^{T}H)^{-1}H^{T}d$

선형예측 계수 $c_{k}$ 를 사용한 특성방정식 식 (17)를 구성하고 $z_{k}$ 를 도출한다.

(17)

$P(z)=1-c_{1}z^{-1}-c_{2}z^{-2}-\cdots -c_{M}z^{-M}$

$z_{k}$ 을 이용해 각 모드의 주파수와 감쇠비를 식 (18), 식 (19)와 같이 계산할 수 있다. $\zeta_{p}$ 를 통해 해당 모드가 주파수 진동에 미치는 영향을 판단한다.

(18)

$f_{k}=\dfrac{b_{k}}{2\pi\triangle t}$

(19)

$\zeta_{p}=\dfrac{\ln | z |}{\triangle t}$

Hankel 행렬 $H$ 는 식 (20)과 같은 방식으로 인수분해 될 수 있다. 행렬 $D$ 는 $A_{1,\: \ldots ,\: }A_{k}$ 값으로 이루어진 대각행렬이며, $V^{T}$ 는 $V$ 의 전치행렬이다.

(20)

$H =(r(l+m))_{l,\: m=0}^{M-1}=(\sum_{k=1}^{M}A_{k}e^{z_{k}(l+m)})_{l,\: m=0}^{M-1}$

$=(\sum_{k=1}^{M}A_{k}e^{z_{k}l}e^{z_{k}m})_{l,\: m=0}^{M-1}=(A_{k}e^{z_{k}l})_{l=0,\: k=1}^{M-1,\: M}\times(e^{z_{k}m})_{m=0,\: k=1}^{M-1,\: M}$

$=(e^{z_{k}l})_{l=0,\: k=1}^{M-1,\: M}\times(e^{z_{k}m})_{m=0,\: k=1}^{M,\: M-1}\times D$

$=V(e^{z_{1}},\: e^{z_{2}},\: \ldots ,\: e^{z_{M}})\times V^{T}(z_{1},\: e^{z_{2}},\: \ldots ,\: e^{z_{M}})\times D$

$A_{k}$ 는 입력신호가 $x(0),\: x(1),\: \cdots ,\: x(M-1)$ 일 때, 식 (21)과 같다. 식 (22)은 초기 신호 벡터 $X$ , Vandermonde 행렬 $V$ 이다.

(21)

$A_{k}=V^{-1}X$

(22)

$X=\begin{pmatrix}x(0)\\x(1)\\x(2)\\\vdots \\x(M-1)\end{pmatrix}$ ,

$V=\begin{bmatrix}1&1&1&\cdots &1\\z_{1}&z_{2}&z_{3}&\cdots &z_{M}\\z_{1}^{2}&z_{2}^{2}&z_{3}^{2}&\cdots &z_{M}^{2}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddot{}&\vdots \\z_{1}^{M-1}&z_{2}^{M-1}&z_{3}^{M-1}&\cdots &z_{M}^{M-1}\end{bmatrix}$

해당 분석방법은 데이터의 상관성을 고려하여 Prony 분석 방법을 활용한 신호의 선형 예측을 통해 전력 시스템에서 발생하는 복합적인 진동 모드를 분석한다. 해당 분석 방법은 복잡한 전력시스템에서 각 모드의 감쇠계수 $a_{k}$ 와 감쇠비 $\zeta_{p}$ 를 통해 발산하는 불안정 모드와 안정적인 감쇠 모드를 명확하게 구분할 수 있다.

3. 실제 진동 사례 Prony 분석

앞서 정리된 진동이론 중 전력시스템에서의 진동분석을 신호시스템에서 자주 사용되는 Prony 분석방법으로 두 가지 Case의 사례 분석을 진행하였다^[13]. 권장 PMU(Phasor Measurement Unit)샘플링 속도 $\triangle t$ 는 ‘IEEE 전력시스템을 위한 Synchrophasor Data 전송 표준’에 의해 10-60fps이며 본 연구에서 활용된 Data의 샘플링 속도는 30fps이다^[14].

3.1 Case Analysis 1 : 0.08Hz, 0.31Hz

사례 1은 2017년 8월 3일, ISO New England 전력 시스템에서 발생한 진동으로 발전기의 조속기에 문제가 발생하면서 진동이 시작되었다. 발전 출력을 조절하는 과정에서 약 130MW 규모의 진동이 여러 주파수 대역에서 관찰되었으며 특히 0.08Hz와 0.31Hz의 주요 모드가 식별된 것으로 보고되고 있다^[13]. 그림 3은 사례 1의 각 segment가 적용된 전압 Data 그래프이다. 그림 4는 저주파 대역 0.01-0.15Hz, 0.15-1.0Hz 범위의 입력 Data 주파수 도메인이며 0.08, 0.31Hz 크기의 주파수가 특정되었다.

그림 3. Case 1: Segment 간격을 설정한 입력 Data

Fig. 3. Case 1: Input Data with Segment Intervals

그림 4. Case 1: RMS 에너지 필터를 사용한 전압 데이터 DFT; (a) 0.01-0.15Hz 대역, (b) 0.15-1.0Hz 대역

Fig. 4. Case 1: DFT of Voltage Data with RMS Energy Filter; (a) 0.01-0.15Hz Bands, (b) 0.15-1.0Hz Bands

특정된 주파수를 바탕으로 Prony 분석에 있어 차수를 233으로 설정하였다. 그림 5는 사례 1의 복소모드 Z-plane 이며 특정 주파수를 가진다. Data를 각 segment로 시작지점을 나누어 Prony 분석하였으며 표 3은 사례 1의 Prony 분석 주요 주파수 진동 모드의 추정결과를 정리한 표이다. 기존 보고된 주파수와 유사한 주파수인 0.32Hz, 0.08Hz에서 (-) damping의 진동이 확인되었다.

그림 5. Case 1: Segment 구간별 Prony Analysis Z-plane; (a) 첫 번째 구간, (b) 두 번째 구간, (c) 세 번째 구간

Fig. 5. Case 1: Prony Analysis Z-plane by Segment; (a) First Segment, (b) Second Segment, (c) Third Segment

표 3 Case 1: Prony 주요 주파수 진동 모드

Table 3 Case 1: Prony Analysis Main Frequency Oscillation Modes

Segment	real	imag	frequency	damping ratio( $\zeta_{p}$ )
2	0.9978	0.0659j	0.3180	-0.9978
2	0.9999	0.0151j	0.0731	-0.9998
3	1.0000	0.0159j	0.0767	-0.9998

3.2 Case Analysis 2 : 1.57Hz

사례 2는 2018년 1월 29일, ISO New England 전력 시스템의 대형 발전기에 의해 발생한 지역적인 강제진동으로 1.57Hz의 주요 모드가 식별된 것으로 보고되고 있다^[14]. 그림 6은 사례 2의 각 segment가 적용된 전압 Data 그래프이다. 그림 7은 저주파 대역 1.0-2.0Hz 범위의 입력 Data 주파수 도메인이다.

그림 6. Segment 간격을 설정한 입력 Data

Fig. 6. Input Data with Segment Intervals

그림 7. Case 2: RMS 에너지 필터를 사용한 전압 데이터 DFT

Fig. 7. Case 2: DFT of Voltage Data with RMS Energy Filter

그림 8은 사례 2의 복소모드 Z-plane 이며 특정 주파수를 가진다. 표 4는 사례 2의 Prony 분석 주요 주파수 진동 모드의 추정결과를 정리한 표이다. 기존 보고된 주파수와 유사한 주파수인 1.57Hz에서 (-) damping의 진동이 확인되었다.

그림 8. Case 2: Segment 구간별 Prony Analysis Z-plane; 첫 번째 구간 (a), 두 번째 구간 (b), 세 번째 구간 (c)

Fig. 8. Case 2: Prony Analysis Z-plane by Segment; First Segment (a), Second Segment (b), Third Segment (c)

표 4 Case 2: Prony 주요 주파수 진동 모드

Table 4 Case 2: Prony Analysis Main Frequency Oscillation Modes

Segment

real

imag

frequency

damping

ratio( $\zeta_{p}$ )

0.9456

0.3257j

1.5710

-0.9454

0.9455

0.3258j

1.5715

-0.9454

4. 결 론

Spring-Mass System 및 Barkhausen 기준만으로는 다수의 발전기와 부하가 상호 작용하는 복합 전력망에서 발생하는 다양한 진동 모드를 정확히 분석하기 어렵다. 전력시스템의 해석을 위해 Yule-Walker, Wavelet, Prony 등의 다양한 회귀모델 기반 접근법이 연구되어 왔으며 본 연구는 그 중 Prony 분석을 통해 계통 전압 데이터를 활용한 진동 모드 식별 가능성을 검증하였다.

본 논문에서는 실제 전력시스템의 전압 측정 데이터를 활용하여 RMS 에너지 필터로 주요 진동 주파수 대역을 우선 선별한 뒤, Prony 분석하는 방법을 제시함으로써 노이즈 민감도와 과적합(overfitting) 위험을 동시에 줄이도록 하였다. 제안 기법은 Prony 분석에 앞서 특정 주파수 대역을 미리 결정함으로써 차수를 과도하게 설정하여 노이즈가 포함되거나, 반대로 차수를 너무 낮게 잡아 중요한 모드를 놓치는 문제를 완화시킨다. 또한 여러 진동모드가 혼재하는 계통에서 선형 예측 계수 기반의 자기상관 함수를 활용하여 시계열 데이터 분석에서도 수치적 안정성을 확보할 수 있다는 장점을 갖는다. 실제 미국 ISO New England에서 관측된 전압 데이터를 분석한 결과 기존에 보고된 0.08Hz, 0.31Hz, 1.57Hz 규모의 진동 모드와 일치하는 주파수를 추정하였으며, 발산이 우려되는 모드를 정확하게 검출하였다.

본 연구에서는 여러 시스템에서의 정립된 진동이론을 정의하고 이를 전력시스템의 진동 해석 관점에서 검토하였다. 대규모 전력망에서는 단순 기계 해석이나 RF 회로 이론만으로 설명하기 어려운 복합적인 진동 모드가 존재하며, 이를 식별하기 위해서는 실제 계통 측정 데이터를 직접 분석하는 Prony 기법이 효과적임을 확인하였다. 제안하는 알고리즘은 복잡한 진동 모드를 정확하게 식별함으로써 향후 전력망 전역의 안정도 평가와 제어 전략 수립에 기여할 수 있다.

Acknowledgements

본 논문은 2023학년도 국립목포대학교 교내연구비 지원에 의하여 연구되었음

This Research was supported by Research Funds of Mokpo National University in 2023

References

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저자소개

최윤성(Yoon-Seong Choi)

He received the B.S. degree in electrical engineering from Mokpo National University, Muan, Korea, in 2023 and working toward the M.S. degree. He is studying the oscillation detection method and simulation technique in the power system.

이동호 (Dongho Lee)

He received B.S. and Ph.D. degrees in electrical engineering from Korea University, Korea. He is currently an Associate professor at the Department of electrical and control engineering, Mokpo National University, Muan, Korea. His current research interests include power system, smart energy system, and wireless power transfer.

KIEEThe Transactions ofthe Korean Institute of Electrical Engineers

The Transactions of the Korean Institute of Electrical Engineers

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Oscillation Theories in Various Systems and Detection in Power Systems Using Prony Analysis

Translated Abstract

Key words

1. 서 론

2. 시스템 별 진동이론 및 Prony 분석

2.1 Spring-Mass System

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

2.2 Radio Frequency Oscillation

(8)

(9)

2.3 Prony Analysis Algorithm

2.3.1 RMS Energy Filtering

(10)

2.3.2 Prony Analysis

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

3. 실제 진동 사례 Prony 분석

3.1 Case Analysis 1 : 0.08Hz, 0.31Hz

3.2 Case Analysis 2 : 1.57Hz

4. 결 론

Acknowledgements

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저자소개

최윤성(Yoon-Seong Choi)

이동호 (Dongho Lee)

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Key words

KIEEThe Transactions of
the Korean Institute of Electrical Engineers