3.1 이차 계획법

이차 계획법은 여러 제약 조건을 만족시키면서 주어진 목적 함수를 최소화하거나 최대화하는 최적화 기법 중 하나이며, 동적 프로그래밍의 범주에 포함된다. 본 연구에서는 이차 계획법을 활용하여 복합 발전 시스템의 설치 용량을 최적화하고자 하며, 설치 용량은 결정 변수 x로 정의된다. 또한, 목적 함수의 2차 항에 해당하는 헤시안 행렬(Hessian matrix)은 H, 1차 항은 f로 각각 정의된다. 이때 복합 발전 시스템의 설치 용량은 아래와 같이 목적 함수를 최소화하는 형태로 수학적으로 표현할 수 있다^[12]:

변수 x는 여러 제약 조건을 만족해야 하며, 이러한 제약은 일반적으로 부등식 형태의 행렬식 표현으로 나타낼 수 있다.

이때, 행렬 A는 부등식 제약의 계수 행렬로, b는 그에 대응하는 우변 열 벡터로 정의된다. 또한, x는 상한과 하한이 존재한다.

3.2 목적함수

본 연구에서는 복합 발전 및 태양광 시스템의 설치 용량을 변화시키며 목적 함수를 계산한다. 목적 함수는 설치 비용 함수와 전력망 운영 비용 함수로 구성되며, 이들이 1차 또는 2차 함수 형태로 표현 가능한 경우, 이차 계획법(Quadratic Programming)을 통해 최적화가 가능하다. 시스템 기준 또는 피크 용량 대비 일정 비율로 복합 발전이 설치되는 경우, 투자·운영·교체·유지보수에 소요되는 비용은 C_cost 로, 복합 발전이 전혀 설치되지 않았을 때의 기준 비용은 C_cost0 로 정의하며, 단위는 $/kW를 기준으로 한다. 이를 위해 복합 발전 및 태양광 시스템이 포함된 열 및 전기 공급망에 대해 HOMER 소프트웨어를 활용하여 수명 주기 비용(Life Cycle Cost)을 추정한다. 또한, 전압 크기 변화 비용 함수 C_v 는 각 모선의 전압과 정격 전압 간 차이의 평균값으로 정의한다. 예를 들어, 복합 발전과 태양광 발전의 도입으로 전압이 상승할 경우 정격값에서 벗어나게 되어 목적함수가 증가하게 되거나 (전압 안정도 측면에 부정적인 영향) 혹은 저전압의 경우에는 정격값에 가까워지게 되어 목적함수를 감소시키게되어 전압 안정도 측면에 긍정적인 영향을 미치게 된다. 이러한 구성은 다음과 같이 도식화된다. 이러한 구성은 다음과 같이 도식화된다.

여기서, N은 총 모선 수이고, V_i 은 모선 i의 전압 크기(p.u. 기준)이며, V_i0 은 모선 i의 정격 전압(p.u. 기준)이다. 제약 조건으로는 전압 크기의 상한을 1.05 p.u. 이하, 하한을 0.93 p.u. 이상으로 설정하였다. 만약 계통 운영자가 정격 전압 유지율을 더 중요한 지표로 사용하다면, V_i0 은 모선 i의 초기 전압값으로 정의할 수도 있다. 본 연구에서 제안하는 최종 목적 함수는 수명주기 비용과 그리드 전압 크기 변화에 따른 비용 함수에 가중치 W를 적용한 선형 결합으로 정의된다. 본 연구에서 정의한 최종 목적 함수를 최소화하는 방향으로 복합발전과 태양광 발전의 용량을 설계하고자 한다.

가중치W는 수명주기 비용과 그리드 전압 크기 변화 목적함수가 각각 같은 값을 가지도록 설정하였다. 이러한 가중치는 연구의 목적에 따라 변경 가능하다.

3.3 계산 절차

이차 계획법을 적용한 본 연구의 절차는 그림 2에 제시되어 있다. 먼저 사례 연구 지역을 선정한 뒤, 해당 지역의 기상 데이터와 전기·열 수요 데이터를 수집하고, HOMER를 활용하여 마이크로터빈의 출력을 모의한다. 다만, 마이크로터빈 출력 모의의 구체적 결과 및 검증은 후속 연구에서 제시될 예정이다. 본 연구에서는 설치 비용 함수와 전압 크기 변화를 항목 3.2에서 목적함수로 정의하였으며, 이에 따라 분산전원의 용량 변화에 따른 비용 함수를 추정한 후 이를 이차 계획법의 입력으로 사용하였다. 예를 들어, 분산전원의 용량 목표치를 RE100으로 설정하고, 수식 에 따른 헤시안 행렬(H) 과 일차항(f), 수식 에 따른 제약 조건 행렬(A)과 결과 벡터(b)를 산출한다. 이 결과 벡터에는 분산전원의 용량 목표치가 포함된다. 이러한 절차를 따른 이차 계획법은 매트랩에서 구현되었으며, 이후 사례 연구에 적용되었다.

그림 2. 본 연구에서 제시하는 계산 절차 흐름도

Fig. 2. Flow chart of the proposed method

4.1 설치 및 운영 비용 함수 추정

전체 시스템의 기준 용량 대비 복합 발전 시스템의 용량을 0%에서 100%까지 변화시키며, 수명 주기 동안의 발전 비용을 HOMER 프로그램을 활용해 1차 또는 2차 함수로 추정하였다(그림 3). 최적화에 필요한 목적 함수는 수명 주기 발전 비용과 그리드 운영 관련 변수(예: 전압 크기 변화율)를 반영하여 수식 에서 정의하였으며, 이를 기반으로 이차 계획법을 이용해 분산전원의 최적 용량을 산출하는 사례 연구를 수행하였다. 특히 그림 3에서는 복합 발전과 태양광 발전의 비용을 구분해 제시하였으나, 본 연구에서는 두 시스템을 포함한 분산전원의 총 용량을 최적화 대상으로 설정하였다. 이에 따라 설치 및 운영 비용을 분산전원 총 용량의 함수로 표현하였다.

그림 3. 마이크로터빈과 태양광 시스템의 설치 및 운영 비용

Fig. 3. Net present cost for MTs and PV systems

열 및 전기 공급망에 마이크로터빈(복합 발전)과 태양광 시스템(신재생에너지)을 설치할 경우, 그리드 운영 비용의 증감 효과를 추정할 수 있다. 이러한 비용 변화는 연간 시간별 열 및 전기 수요 데이터를 기반으로 하며, 기상 데이터를 활용하여 태양광 발전 용량을 예측하고, 태양광 및 마이크로터빈의 설치·운영 비용과 연료비 등을 고려하여 산정된다. 그림 3는 단위 유닛(p.u.) 기준으로 운영 비용의 변화를 나타낸 것으로, 1 p.u.는 복합 발전 및 태양광 시스템이 설치되지 않은 상태를 의미한다. 분석 결과, 태양광 시스템은 초기 설치 비용이 마이크로터빈보다 높기 때문에, 설치 용량이 증가할수록 비용이 선형적으로 증가하며, 비용 곡선이 마이크로터빈보다 상단에 위치하는 것으로 나타났다. 반면, 마이크로터빈은 열과 전기를 동시에 생산함으로써 열 및 전기 수요를 효과적으로 절감하는 장점이 있다. 이러한 특성을 수치적으로 나타내면 다음과 같다.

그림 3에서 확인할 수 있듯, 분산전원의 용량이 증가함에 따라 수명 주기 발전 비용은 일차 혹은 이차 함수 형태로 증가하며, 이는 이차 계획법의 입력값으로 활용된다. 그림 4은 사례 연구에서 적용된 수명주기 비용 함수를 나타낸다. 분산전원의 유형과 용량 조합에 따라 비용 함수는 비선형적으로 증가하므로, 설치 비용과 계통 운영 비용 함수를 종합적으로 고려한 최적화가 필요하다.

그림 4. 사례연구에서 사용된 수명주기 비용 함수(최소부터 최대까지 정렬)

Fig. 4. Lifecycle capital, replacement, operational, and maintenance costs for a combination of DG systems

4.2 그리드 운영 비용 함수의 추정

(a) 분산 전원의 전압 크기 개선 효과

분산전원의 도입은 중앙집중식 대형 발전기에 대한 출력 의존도를 낮추는 동시에, 전력망 운영 측면에서 인입 변압기로부터 멀리 떨어진 부하에서 발생할 수 있는 전압 강하를 완화하고, 장거리 송배전 선로 말단에서의 전압 상승 문제를 개선하는 데 기여할 수 있다^[17]. 최근 연구에서는 복합 발전 시스템의 용량을 최적화하는 과정에서 비정상 상태에서의 고장 전류를 반영하려는 시도가 이루어졌으며^[18], 전압 및 무효전력 제어 기능을 함께 고려한 사례도 보고되었다^{[19- 22]}. 이러한 경우, 분산전원에 의해 유도되는 전력 조류 변화와 이에 따른 모선 전압 크기의 변화를 정량적으로 추정할 필요가 있다. 이에 따라, 본 연구에서는 역방향·순방향 소거법(Backward and Forward Sweep Method)을 활용하였으며, 이에 대한 상세한 설명은 기존 연구에서 다룬 바 있다^[11]. 아울러, 해당 해석 기법은 다양한 선행 문헌에서도 이미 널리 소개되어 있다^{[17, 21- 24]}.

본 연구에서는 역방향·순방향 조류 해석법을 이용하여 분산전원이 포함된 시스템의 전력 조류를 분석하고, 이에 따른 전압 변화 효과를 비용 함수에 반영하는 방법을 제안한다. 예를 들어, 그림 5과 같이 IEEE 123 모선 부하에 시스템 용량의 43.46%에 해당하는 복합 발전을 균등하게 설치한 경우, 첨두 부하 시 최소 전압 값이 0.9399 p.u.에서 ±5% 범위로 개선되는 결과를 확인하였다. 이는 ANSI C84.1 범위 A의 권장 기준을 만족하며, 복합 발전이 전압 안정화에 기여함을 보여주고, 이에 따라 해당 효과를 비용 함수 추정에 반영하고, 복합 발전 용량 최적화시 고려 해야함을 나타낸다. 또한 본 연구에서는 분산전원의 최대 허용 용량을 5 MVA 대비 1.6 p.u.로 설정하였다. 이는 분산전원이 1.6 p.u.의 용량으로 테스트 그리드에 주입되었을 때에도 조류 계산이 정상적으로 수렴하였음을 의미한다. 또한, 1.6 p.u.를 초과하는 용량에서도 조류 해석이 가능함을 확인하였다. 1.6 p.u.를 넘어서는 용량에 대해서 분석하는 것은 본 연구의 범위를 넘어선다. 해당 조건에서의 전압 프로파일은 Fig. 6에 제시되어 있다. 분석 결과, 분산전원의 최대 허용 용량을 설치하더라도, 전압은 일정 정도 상승하지만, 전압 안정도 측면에서 문제가 발생하지 않음을 확인하였다. 이는 IEEE 123모선 배전계통에 전압 조정기(Voltage Regulator)가 설치되어 있고 분산 전원이 혼재되어 설치되기 때문이다.

그림 5. 복합 발전 설치시 전압크기 개선(복합발전이 없는 경우를 기준으로 크기를 정렬)

Fig. 5. Voltage magnitude changes reduced by DG

그림 6. 최대 용량 (1.6 p.u.) 복합 발전 설치시 전압크기 변화

Fig. 6. Voltage magnitude changes induced by maximum DG HC (1.6 p.u.)

특정 용량의 분산전원이 설치되면, 수식 과 같이 전압 크기의 기준값(예: 1.0 p.u.)으로부터의 변화를 수치화할 수 있다. 이는 모든 모선의 전압 크기에서 기준값을 뺀 후, 그 차이들의 평균을 계산하여 정의한다. 그림 7는 분산전원 설치 용량이 변할 때 모든 모선 전압 크기의 평균을 계산한 뒤, 이를 분산전원이 없을 때의 값과 상대적으로 비교한 결과를 보여준다. 그림 7의 상대변화(C_v )는 모든 모선 전압 크기의 평균값을 분산전원이 설치되지 않은 경우의 평균(C_avg,v0 )과 비교하여 다음과 같이 정의된다.

그림 7에서 이차계획법의 목적함수로 활용하기 위해 비용 함수를 근사화한 결과, 평균 제곱근 오차(Root Mean Square Error, RMSE)는 약 0.00074%로 매우 낮은 값을 나타내어 근사 정확도가 높음을 확인하였다. 그림 7에서 볼 수 있듯이, 분산전원의 용량이 증가할수록 주 변압기로 유입되는 전력이 줄어들어, 전압의 크기의 기준값과의 차이, 즉 전압 강하가 감소한다. 이러한 분산전원의 전압 상승 효과는 분산전원 용량 증가에 따른 모선 전압의 최소값 변화를 축으로 표현하면 더욱 명확하게 확인할 수 있다. 그림 8는 분산전원의 총 설치 용량 증가에 따라 모선 전압 최소값이 기준값 대비 얼마나 변하는지를 백분율로 나타낸 것이다. 예를 들어, 분산전원 설치 용량이 늘어나면 그리드로부터의 전력 수요가 줄어들고 부하 모선에서 직접 전력을 공급하게 되어, 최소 전압값이 상승하는 것을 확인할 수 있다.

그림 7. 분산전원의 설치 용량이 증가될 때, 모선 전압 크기의 평균값의 변화

Fig. 7. Relative variation of the average voltage magnitude when the capacity of DG changes from 0 to 1.6 p.u.

그림 8. 분산전원의 설치 용량에 따른 모선 전압 최소값의 기준값에 대한 상대 변화

Fig. 8. Variation in the minimum bus voltage magnitude relative to the reference case as DG capacity increases.

분산전원의 설치 용량 변화에 따라 비용 함수는 비선형적으로 증감하는 경향을 보인다. 다음 사례 연구에서는 이러한 특성을 바탕으로 해당 비용 함수를 주로 이차 함수 형태로 근사할 수 있음을 제시하고, 이를 활용하여 분산전원 최적화를 위한 목적 함수를 최소화하는 이차 계획법에 적용 가능함을 보여줄 것이다.

(b) 단일 분산 전원 유형만 고려하는 사례 연구

이전 항목에서 제시한 수명주기 설치 및 운영 비용 함수(C_cost , 식 )는 HOMER 소프트웨어를 활용하여 추정하였다. 분산전원이 태양광인 경우, 사례연구 지역의 1년 평균 기상 데이터를 기반으로 태양광 시스템의 정격 대비 용량을 0부터 변화시키며 수명주기 동안의 설치 비용 함수를 산출하였다. 마이크로터빈을 사용하는 경우에는 해당 지역의 전기 및 열 수요를 고려하여, 피크 시간대에 마이크로터빈을 가동하는 최적 운영 전략(결과는 후속 연구에서 제시 예정)을 모의하여 비용 함수를 추정하였다. 특히 마이크로터빈은 대표적인 가스 유형 C65 1대(용량 65 kW) ^[25]를 기준으로 하였으며, 열과 전기 동시 생산을 통해 수요를 절감함으로써 수명주기 설치 비용 함수를 산정하였다.

그림 9은 마이크로터빈과 태양광 시스템의 수명주기 설치·운영 비용 함수(C_cost )와 그리드 운영 비용 함수(C_v )의 상대적 변화를 목적 함수 관점에서 보여준다. 두 함수 모두 이차 함수로 근사할 수 있으며, 이를 통해 복합 발전 시스템 용량 산정에 이차 계획법을 적용할 수 있음을 간접적으로 시사한다. 또한, 이차 계획법 해의 존재 여부는 헤시안 행렬의 고유치가 양의 정부호(H > 0)인지 확인함으로써 검증할 수 있으며, 본 연구와 같이 목적 함수와 비용 함수를 그래프로 시각화하여 확인할 수도 있다. 태양광 시스템의 발전 단가는 설치·교체 비용이 2,400 $/kW, 유지보수 비용이 14 $/year/kW ^[5]로 산정되며, 이는 마이크로터빈의 발전 단가(설치·교체 비용: 2,600 $/kW, 유지보수 비용: 0.009 $/hr/kW, ^[5]에 따라 흡수식 냉동기를 포함하지 않는 것으로 가정)보다 상대적으로 낮은 수준이다. 따라서 그림 9에서 알 수 있듯이, 마이크로터빈은 목적함수를 상대적으로 더 크게 감소시키는 데 기여하며, 이는 마이크로터빈의 경제적·운영적 효과를 간접적으로 보여준다.

그림 9에서 비용 함수를 이차 함수로 근사화한 결과, 복합발전의 경우 (좌측의 첫번째 그림) 평균 제곱근 오차는 약 0.25%로 나타나 근사 정확도가 높음을 확인하였다. 태양광 발전의 경우에도 평균 제곱근 오차가 약 0.0988%로 매우 낮은 값을 보여, 이차 근사가 충분히 타당함을 확인할 수 있다. 따라서 목적 함수가 이차 형태로 효과적으로 표현될 수 있으므로, 본 연구에서 제안한 이차계획법을 적용하는 것이 적절함을 시사한다.

그림 9. 분산전원 용량 변화에 따른 목적함수 값의 변동

Fig. 9. Change in the objective function when the capacity of each DG type changes

그림 10은 단일 형태의 분산전원을 고려했을 때 목적함수의 변화를 나타낸다. 본 사례 연구에서는 동일 용량의 분산전원을 가정하였으며, 그림 10에서 최소값은 마이크로터빈 0.7 p.u.에 해당한다(사례연구 지역의 약 65 kW급 마이크로터빈 30대, 설치 가능성은 참고문헌 ^[26]을 따름). 이를 통해 복합발전에 필요한 분산전원의 적정 용량을 추정할 수 있다. 목적함수의 최소값은 탐색 알고리즘을 통해 손쉽게 구할 수 있다.

(c) 복합적인 분산 전원 유형을 고려하는 경우

두 가지 이상의 분산전원 기술을 동시에 고려할 경우, 설계 용량의 증가에 따라 가능한 조합의 수는 급격히 늘어난다. 예를 들어, 80 kW 규모의 마이크로터빈을 4기 설치할 수 있고, 태양광 발전은 10 kW 간격으로 최대 120 kW까지 확대할 수 있다고 가정하면, 가능한 조합의 총 개수는 5×13 = 65가지가 된다. 이러한 조합을 다시 연간 운전 시간(8760시간)과 결합하여 시뮬레이션할 경우, 고려해야 할 운전 패턴의 수는 65×8760으로 폭발적으로 증가한다. 특히 전력 수요가 시간대별로 변화하기 때문에, 마이크로터빈의 최적 출력 역시 고정되지 않고 부하 조건에 따라 달라진다.이차 계획법은 조합 수를 직접 전부 계산하지 않고도 효율적으로 해를 도출할 수 있기 때문에 분산전원 용량 최적화에 적용하였다.

이차 계획법을 통해 분산전원을 사례 지역의 정격 용량의 1.0 p.u.까지 복합적으로 설치해야 하는 상황에서 마이크로터빈과 태양광 시스템의 최적 설계 비중을 도출할 수 있다. 예시로, 표 1은 분산전원의 전체 용량을 점진적으로 1.0 p.u.까지 확대해 가는 과정에서 산출된 마이크로터빈과 태양광 시스템의 최적 배치 결과를 보여준다. 태양광은 열과 전기를 동시에 공급할 수 있는 복합발전 마이크로터빈의 특성으로 인해 상대적으로 경쟁력이 낮은 것으로 평가된다(그림 3 참고). 따라서 사례 연구 지역에서 정격 대비 소규모 분산전원을 설치할 경우에는 마이크로터빈만 도입하는 것이 더 경제적이다. 한편, 이차 계획법을 적용한 최적화 결과(표 1)에 따르면, 분산전원 기반의 100% 에너지 공급(즉, RE100)을 달성하기 위해서는 마이크로터빈과 태양광을 약 2:1 비율로 조합하는 것이 가장 효율적임을 확인할 수 있다.

그림 10. 단일 분산전원 유형을 고려한 사례연구의 목적함수 값 변화

Fig. 10. Variation of the objective function in a case study considering a single DG type

(d) 연료비 민감도 분석

연료로 사용되는 천연가스는 복합발전 시스템의 경제성과 설치 용량 결정에 큰 영향을 미치므로, 본 연구에서는 천연가스 가격 변화가 복합발전의 에너지 생산량에 미치는 영향을 분석하였다. 기준 천연가스 가격은 0.1155 $/m³로 설정하였으며, 이를 기준으로 40% 감소, 20% 감소, 현 가격 유지, 20% 증가, 40% 증가의 다섯 가지 시나리오를 고려하였다. 이러한 결과는 표 2에서 제시하였다. 태양광 발전은 연료비와 직접적인 관련이 없으므로 본 민감도 분석에서는 제외하였다. 또한 첨두부하 대비 복합발전의 설치 용량은 15%와 30%의 두 가지 경우를 가정하였다.

먼저, 복합발전의 설치 용량을 첨두부하 대비 0.15 p.u.(15%)로 가정한 경우, 기준 연료비 0.116 $/m³ 대비 천연가스 가격이 각각 20% 및 40% 감소하면 복합발전의 에너지 생산량은 각각 6.38%와 158.38% 증가하였다. 반면, 연료비가 기준 대비 20% 및 40% 증가할 경우에는 복합발전의 생산량이 각각 3.16%와 5.26% 감소하는 것으로 나타났다. 두 번째로, 복합발전의 설치 용량을 0.30 p.u.(30%)로 가정한 경우, 기준 연료비 대비 천연가스 가격이 각각 20% 및 40% 감소하면 복합발전의 에너지 생산량은 각각 16.87%와 181.39% 증가하였다. 반대로, 연료비가 기준 대비 20% 및 40% 증가할 경우에는 생산량이 각각 11.30%와 20.54% 감소하는 것으로 분석되었다. 설치 용량이 15%에서 30%로 두 배 증가함에 따라 에너지 생산량이 증가하는 경향은 타당한 결과이지만, 연료비 변화에 대한 생산량의 민감도는 비선형적인 특성을 보였다.

이러한 민감도 특성을 보다 명확히 분석하기 위해, x축을 연료비 변화율(Δx), y축을 에너지 생산량 변화율(Δy)로 설정하여 그림 11과 같은 민감도 그래프를 도출하였다. 예를 들어, 복합발전의 설치 용량이 0.30 p.u.(30%)이고 연료비가 기준 대비 −40%에서 −20%로 20% 상승할 경우, 복합발전의 에너지 생산량은 5,009.63 MWh에서 2,080.71 MWh로 감소하여 가장 큰 변화 폭을 보였다. 그림 11과 표 2의 결과를 통해, 천연가스 가격이 기준값보다 낮은 영역에서 변동할수록 복합발전의 에너지 생산량에 미치는 영향이 더욱 크게 나타남을 확인할 수 있다. 따라서 복합발전 시스템의 설치 용량을 결정할 때에는 천연가스 연료비의 변동성을 반드시 고려할 필요가 있다.

그림 11. CHP에 의한 에너지 편차와 가스 가격 편차의 비율

Fig. 11. The ratio of the energy deviation by CHP to the gas price deviation.