2.1 Fast Fourier Transform

전력계통의 시계열 데이터와 같이 이산 시간·유한 길이 신호의 주파수 성분을 분석하기 위해, 이산 푸리에 변환(DFT, Discrete Fourier Transform)이 사용되며, 수식 (1)과 같이 정의 된다. 실무적으로는 연산 복잡도를 기존 DFT의 $O(N^2)$에서 $O(NlogN)$으로 줄인 FFT 알고리즘이 널리 활용된다. FFT는 본 연구에서 스펙트럼 기반 지표들을 계산하는 핵심적인 전처리 도구로 사용된다 ^[12].

$x[n]$ : 시간 영역 샘플(입력)

$X[k]$ : 주파수 영역 스펙트럼(출력)

$N$ : 변환 길이

$e^{-j2\pi kn/N}$ : 회전 인자(Twiddle factor)

2.2 Cross Spectral Density

Cross-Spectral Density(CSD)는 두 신호 $x(t)$와 $y(t)$의 시간 영역 상호 상관함수를 푸리에변환 한 것으로, 주파수별로 두 신호의 공분산이 어떻게 분포하는지 나타내는 복소 스펙트럼이다. CSD는 각 신호의 FFT 결과인 $X(f)$와 $Y(f)$를 통해 수식 (2)와 같이 정의된다 ^[13]. 즉, CSD는 주파수 성분에서 두 신호가 얼마나 강하게, 어떤 위상 관계로 함께 변동하는지를 정량화하며, Normalized Co-Spectrum과 같은 주파수 영역 상관관계 지표의 기초가 된다.

실수부 $Re\{S_{xy}(f)\}$ : co-spectrum, 두 신호의 동상(in-phase) 성분

허수부 $Im\{S_{xy}(f)\}$ : quadrature spectrum, 두 신호의 직교(out-of-phase) 성분

2.3 Normalized Co-Spectrum

Co-Spectrum은 신호의 절대적인 크기에 비례하므로, 신호의 진폭이 크면 상관성이 낮아도 Co-Spectrum 값 자체가 매우 커질 수도 있어, 상관성의 강도를 비교하기는 어렵다. 따라서 Co-Spectrum을 각 신호의 스펙트럼 밀도 곱의 제곱근으로 나누어 정규화한 Normalized Co-Spectrum을 사용하고 수식 (3)과 같이 나타낸다. Normalized Co-Spectrum은 –1과 1 사이의 값을 가지며, -1에 가까울수록 강한 상호 보완성을 의미하므로 이 지표를 통해 어떤 주기 대역에서 BESS의 변동성 완화 효과가 클지 평균적인 관점에서 평가할 수 있다.

3.1 STFT(Short-Time Fourier Transform)

재생에너지의 상관관계는 기상 조건에 따라 시시각각 변하므로, 2장에서의 정적 분석만으로는 특정 시간대의 보완성을 포착하기 어렵다. 이러한 동적 특성을 분석하기 위해 신호를 짧은 시간으로 나누어 FFT를 반복 수행하는 STFT를 적용하고 수식 (4)와 같이 정의할 수 있다 ^[14]. STFT의 주요 특성은 창 길이가 길면 주파수 해상도는 높아지지만 시간 해상도는 낮아지고, 창 길이가 짧으면 시간 해상도는 높아지지만, 주파수 해상도는 낮아진다. 인접한 창 간에 중첩을 두어(일반적으로 50~75%) 시간 정보 손실을 최소화할 수 있다.

$x(t)$ : 입력 신호

$w(t)$ : 창 함수(Hann 창)

$f$ : 주파수 [Hz]

$\tau$ : 시간 중심

3.2 순부하 및 잔차

BESS 최적 용량 산정에 앞서, 완화 대상인 순부하와 최적화의 목표가 되는 잔차(Residual)를 수식적으로 정의한다. 먼저, 시간 $t$에서의 태양광 출력과 풍력 출력을 각각 $P_{PV}(t)$, $P_{Wind}(t)$라 두고, 합성 재생에너지 출력을 수식 (5)로 정의하였다.

이때, 순부하는 부하와 재생에너지 출력의 차이므로, 수식 (6)과 같이 표현할 수 있다.

수식 (7)은 순부하에서 24시간 이동평균을 제거하여 단기 변동성 신호로 $z_t$로 표현하였다.

그림 1. 사례연구 알고리즘 구성 개략도

Fig. 1. Flowchart of Case Study Algorithm Configuration

$\overline{P_{n}}(t)$ : 순부하의 24시간 이동평균

BESS 충·방전을 통해 순부하 변동성에 대응할 때, 완벽하게 상쇄하지 못하고 남는 순부하 변동분을 잔차로 정의하며, 수식 (8)과 같이 표현된다. 여기서, 잔차를 최소화하는 것이 BESS 운영의 목표가 되고, 본 논문에서는 단순 최소화가 아닌 상관관계 가중치를 적용한 최소화를 수행한다.

3.3 시간-주파수 상관관계 지표

STFT를 통해 모든 스펙트럼 지표들을 시간의 함수로 얻을 수 있다. 상관관계 가중치 설계를 위해 다음 두 가지 핵심 지표를 정의한다. 각 시간-주파수 점 $(t, f)$에서 수식 (8)-(10)과 같이 스펙트럼을 계산할 수 있다 ^[12].

3.4 상관관계 가중치 설정

본 절에서는 3.3에서 정의한 시간-주파수 지표들을 종합하여, BESS 최적화 모델의 목적함수에 사용될 시간별 상관관계 가중치를 설계한다. 가중치 설계의 핵심 목표는 BESS가 개입했을 때 순부하 변동성 완화 효과가 가장 클 것으로 기대되는 시간대에 높은 가중치를 부여하는 것이다. 먼저, 시간 $t$에서의 재생에너지 합성 출력을 전체 기간 동안의 최대 합성 출력값으로 나눈 정규화 출력을 수식 (12)와 같이 정의하여 BESS를 통해 조정할 수 있는 재생에너지 출력량이 클수록 가중치를 높게 설정하였다. 따라서, 상관관계의 신뢰도가 높을 때(높은 Coherence), 반 상관관계를 가질 때, 재생에너지 출력의 크기가 클 때, 시간 지연이 짧을 때의 조건을 만족하는 시간-주파수 구간에서 정의하고, 수식 (13)과 같이 설계한다 ^[12]-[13]. 또한, 본 연구는 단주기(0.8~30h) 변동 완화에 유효한 시간대를 식별하고 이를 시간 영역 가중치 변환하여 최적화 모델에 적용하는 것을 목표로 한다. 따라서 관심 주기 대역을 균일한 해상도로 추적하고, 주파수 방향 합산을 통해 시간별 가중치로 변환할 수 있는 방법이 필요하여 STFT 기반 접근을 채택하였다. Wavelet Transform은 다중 해상도 분석에 강점이 있으나 모함수 및 스케일 선택 등 추가적인 설계 요소가 요구되며, Copula 함수는 비선형 의존성 모델링에는 유용하나 주기 대역별 위상 및 시간 지연 정보를 직접 제공하지 않으므로 본 연구의 가중치 설계 목적에는 STFT가 보다 적합하다고 판단하였다 ^[14]-[15].

$\gamma^2(t, f)$ : 신뢰도 계수

$g_{\phi}(t, f)$ : 위상 코사인의 부호에 따라 동상·반상 구분 위상 계수

$e^{-\frac{|\tau(t, f)|}{\tau_0}}$ : 시간 지연 감쇠항

최종적으로 시간-주파수 영역에서 계산된 $w(t, f)$중에서 BESS가 실질적으로 대응 가능한 주파수 대역 $F$에 속하는 성분만을 선택한 뒤, 주파수 방향으로 합산하여 수식 (14)와 같이 순수 시간 영역 가중치 $w_t$로 변환한다. 이렇게 얻어진 $w_t$는 시간 $t$에서의 순부하 변동을 줄이는 것이 BESS 용량 설계 관점에서 얼마나 중요한지를 나타내는 상관관계 가중치로 해석되며 목적함수에 직접 사용된다 ^[16]-[17].

$\Delta f$ : 주파수 해상도

3.5 최적화

본 절에서는 앞서 도출한 순부하 변동성과 상관관계 가중치를 바탕으로 BESS의 최적 용량을 결정하는 선형 계획법 모델을 정식화한다.

4.1 시뮬레이션 및 알고리즘 구성

사례 연구는 한국전력거래소의 2019~2023년 5개년 지역별 시간대별 전력거래량 자료와 태양광·풍력 발전량 자료를 활용하였다. 분석 대상 지역은 재생에너지 발전 비중이 높은 강원도, 경상북도, 전라남도, 제주도 네 지역으로 선정하였다. 각 지역에 대해 시간대별 태양광·풍력 발전량을 구축한 뒤, 전력거래량에서 해당 시점의 태양광·풍력 발전량을 차감하여 1시간 단위 순부하 시계열을 산정하였다. 재생에너지는 계절에 따라 출력 패턴이 달라지므로 계절별로 구분하여 3~5월을 봄, 6~8월을 여름, 9~11월을 가을, 12~2월을 겨울로 두고 계절당 약 10,800시간의 데이터가 포함되어 Python 3.10 환경에서 Gurobi Solver를 활용하여 구현되었다.

STFT 파라미터는 창 길이 72시간, 중첩 50%, Hann 창 함수, Coherence 임계값 0.5, 관심 주기 대역은 0.8~30시간으로 설정하였다. 30시간보다 긴 주기는 단주기 변동 완화 목적의 BESS와 직접적인 연계가 약하여 제외하였다. 그리고 BESS가 현실적으로 대응 가능한 단주기 에너지 이동을 반영하기 위해 허용 최대 지연 3시간으로 설정하였다 ^[22]-[23].

목적함수의 용량 패널티는 순부하 변동의 백분위 95 값을 이용해 $\alpha_P = 0.05/z_{95}$, $\alpha_E = 0.1/z_{95}$로 정의함으로써 해당 계절 순부하 변동의 대표 크기에 대해 정규화된 패널티가 되도록 하였다. 또한, BESS 투자비 보고서에 따르면 에너지 용량이 전력 용량에 비해 더 큰 비용을 차지하는 점과 본 연구의 목표가 순부하 단기 변동 완화에 적합한 BESS 용량 조합을 유도하기 위해 $\alpha_E > \alpha_P$ 로 설정하였다 ^[24].

BESS 파라미터는 PCS 효율을 포함한 충·방전 효율 각 95%, SoC 범위 10%~90%, 설계 수명 10년, 초기 투자비 559,000천원/MWh, 그리고 BESS의 에너지 저장 시간은 0.5~6시간으로 설정하였다 ^[25]. 또한, 초기 SoC는 충·방전 양방향 운용 여력을 동일하게 확보하고 초기 조건에 따른 편향을 최소화하기 위해 50%로 설정하였다. BESS 용량 산정을 위해 두 가지 시나리오를 구성하여 비교 분석했다. 시나리오 1은 상관관계를 미반영한 시나리오로, 목적함수의 식에서 상관관계 가중치 값을 1로 두어 계산하였다. 시나리오 2는 상관관계 가중치를 적용한 시나리오로 구성하였다. 두 시나리오 모두 충·방전 효율, SoC 상·하한, BESS의 운전 지속시간 등은 동일하게 적용하였다. 따라서 두 시나리오 간 비교로 재생에너지 자원 간의 상관관계 고려 여부가 BESS 용량 산정에 미치는 영향을 정량적으로 비교할 수 있다. 표 1은 시뮬레이션에 사용된 BESS 입력자료이다.

4.2 주파수 분석을 이용한 태양광과 풍력 간 상관관계 분석

5개년 시계열 데이터에 대하여 태양광 출력 $P_{PV}(t)$와 풍력 출력 $P_{Wind}(t)$의 FFT를 수행하고, Normalized Co-Spectrum을 계산하였다. Normalized Co-Spectrum은 태양광과 풍력 출력의 상호 보완성이 두드러지는 주파수 대역을 식별하기 위한 지표이다. 본 연구에서는 이 결과를 바탕으로 S2에서 시간별 가중치를 구성하여, 상관관계 구조가 유리한 시간대의 순부하 변동 저감을 우선하도록 최적화 문제를 정식화하였다.

4.2.1 지역별 Normalized Co-Spectrum 결과

그림 2~5는 강원도, 경상북도, 전라남도, 제주도에 대해 2019~2023년 태양광-풍력 출력의 Normalized Co-Spectrum을 나타낸 것이다. 주파수 축은 일별(cycles/day) 로그 스케일로 표시하였고, Long-term(20일), Mid-term(5~20일), Synoptic(2~5일), Diurnal(24시간) 대역을 구분하였다. Normalized Co-Spectrum 값이 양(+)이면 두 자원이 동상으로 변동하여 합성 변동성이 증폭되는 구간, 음(-)이면 역상으로 변동하여 상호 보완성이 나타나는 구간을 의미한다.

그림 2. 강원도 주파수 기반 상관분석 결과

Fig. 2. Frequency-domain correlation analysis result for Province of Gangwon-do

강원도는 Mid·Long term에서는 Normalized Co-Spectrum 크기가 전반적으로 작아 장주기 상관성이 뚜렷하지 않다. 반면, Synoptic 대역에서는 약한 반 상관관계를 보이다가 Diurnal 대역에서 약 -0.9 수준까지 떨어지는 음의 피크가 나타나, 태양광과 풍력이 강한 상호 보완 관계를 갖는 것이 특징이다. 즉, 낮 동안 태양광 출력이 증가할 때 풍력 출력이 상대적으로 감소하고, 야간에는 그 반대 패턴이 반복되는 구조가 지배적이다. 이는 강원도의 BESS 용량 산정 시 일주기 부근의 단기 변동을 집중적으로 고려해야 함을 시사한다 ^[26].

그림 3. 경상북도 주파수 기반 상관분석 결과

Fig. 3. Frequency-domain correlation analysis result for Province of Gyeongsangbuk-do

경상북도는 Long-term 패턴은 강원도와 비슷하게 상관성이 뚜렷하지 않다. Diurnal에서는 -0.75 수준까지 하락하는 음의 피크가 나타나 강원도와 유사하게 하루 주기 보완성이 존재하지만, 고주파 영역에서는 0을 중심으로 불규칙하게 진동한다. 따라서 경상북도는 일주기 부근 단기 보완은 존재하되, 중·장기 주기 보완성과 초고주파 대역의 구조성은 상대적으로 약한 지역으로 해석할 수 있다.

그림 4. 전라남도 주파수 기반 상관분석 결과

Fig. 4. Frequency-domain correlation analysis result for Province of Jeollanam-do

전라남도는 서해안·남해안 풍력과 내륙 태양광이 함께 분포한 지역으로, 장주기~중기에서는 약 -0.6~-0.1 수준의 음의 값을 유지하여 강원도와 경상북도에 비해 장주기 보완성이 존재한다. 그러나 2~5일 주기로 넘어가면 0에 가까워지거나 일부 양의 구간이 나타나, 상호 보완이 강하게 유지되지는 않는다. 일주기 대역에서는 약 -0.25 수준의 완만한 음의 값을 보이면서도, 고주파 영역으로 갈수록 0을 중심으로 양·음이 번갈아 나타난다. 이는 전라남도가 장주기와 일주기 보완성이 모두 어느 정도 존재하지만, 해풍으로 인해 일주기에서 재생에너지 자원이 동상으로 움직이는 경우도 많고 변동도 함께 섞여 있는 복합적 구조를 가진다는 것을 의미한다.

그림 5. 전라남도 주파수 기반 상관분석 결과

Fig. 5. Frequency-domain correlation analysis result for Province of Jeollanam-do

제주도는 네 지역 중에서 Long-term에서 -0.5~-0.3 정도로 상호 보완성이 가장 뚜렷하다. Mid-term 대역에서도 대부분의 주파수에서 0 이하의 값이 지속된다. 반면 Diurnal 대역에서는 강원도와 경상북도에서와 같은 뚜렷한 음의 피크가 나타나지 않고, 일부 구간에서 양·음이 혼재하는 형태를 보인다. 따라서 제주의 상호 보완성은 수일~수개월 장주기 조합에 더 크게 의존하며, BESS만으로 단기 변동을 모두 흡수하기보다는 장기 ESS 수단과의 조합이 중요함을 보여준다.

4.3 계절·지역별 BESS 용량 산정 결과

본 절에서는 상관관계를 고려하지 않은 시나리오 1(S1)과 상관관계 가중치를 적용한 시나리오 2(S2)에 대해 계절·지역별 BESS 용량 산정 결과를 비교한다. S1은 전 시간대를 동일 가중으로 평탄화하는 반면, S2는 태양광과 풍력의 상호 보완성이 유리한 시간대의 잔차 저감을 우선하도록 가중치를 부여한다. 먼저 각 지역·계절별로 산정된 BESS 전력 용량과 에너지 용량의 절댓값을 비교하였다. 그림 (6)-(7)은 대표 지역으로 전라남도와 강원도를 선정해 S1과 S2의 계절별 용량을 제시한 것으로, 전라남도는 재생에너지 규모가 큰 지역, 강원도는 일주기 대역에서 태양광과 풍력 반 상관이 뚜렷한 지역이라는 대비를 통해 제안 방법의 적용 효과를 설명하기 위함이다. 전라남도는 네 지역 중 BESS 절대 용량이 가장 크게 산정되며, S1에서 전력 용량은 1.1~1.3GW, 에너지 용량은 4.9~6.0GWh 수준이다. S2에서는 전력 용량은 유지 또는 소폭으로 감소하는 반면, 에너지 용량은 1.0~2.0GWh로 크게 감소한다. 이는 S2가 순부하 변동 저감 효과가 큰 시간대에 운용을 집중되도록 설계되어, 하루 전반을 장시간 커버하기 위한 운전 지속시간을 줄이는 방향으로 최적해가 형성되기 때문이다. 이를 통해 반 상관이 뚜렷하지 않은 전라남도에서도 에너지 용량 감소폭이 크게 나타난다. 강원도는 S1에서 전력 용량은 0.9~1.1GW, 에너지 용량은 4.5~4.8GWh 수준이며, S2에서는 전력 용량은 대부분 계절에서 거의 유지되지만 에너지 용량은 1.5~2.2GWh로 감소한다. 이는 강원도가 일주기 대역의 반상관 구조로 인해 순부하 변동의 상쇄 구간이 비교적 명확하여, S2에서 전력은 유지하면서도 에너지 용량은 줄이는 형태로 효율적인 용량 산정이 가능함을 의미한다. 종합하면 상관관계의 도입 효과는 주로 전력 용량의 변화보다 에너지 용량의 감소로 나타나며, 전라남도는 상관관계 가중치가 큰 시간대의 잔차 저감에 우선순위를 두고 에너지 용량 패널티에 의해 불필요한 BESS 장시간 대응을 절감하는 효과가 작용하고 강원도는 반상관 구조 자체가 운전 지속시간을 줄이는 효과가 작용한다.

그림 6. 전라남도 계절별 최적 BESS 용량 산정 결과

Fig. 6. Seasonal Optimal BESS Capacity Sizing result for Jeollanam-do

그림 7. 강원도 계절별 최적 BESS 용량 산정 결과

Fig. 7. Seasonal Optimal BESS Capacity Sizing result for Gangwon-do

표 2는 계절·지역별로 산정된 최적 BESS 용량을 S1과 S2로 비교한 결과이다. S2에서는 다수 지역에서 전력 용량이 S1과 유사하거나 소폭 감소하는 반면, 에너지 용량은 뚜렷하게 감소하였다. 이는 $\alpha_E > \alpha_P$ 로 설정하여 순부하 변동을 따라가기 위한 순간 출력 능력인 전력 용량은 크게 변하지 않되, 에너지 용량 요구가 감소하는 것으로 해석된다.

표 3에서는 S2 적용에 따른 감소율을 정리한 결과로, 상관관계 구조가 BESS 용량 산정 결과에 어떻게 반영되는지를 정량적으로 보여준다. 다만 감소 폭의 크기는 반 상관 강도뿐만 아니라 지역별 순부하 변동 크기와 용량 패널티 구조의 영향을 함께 받으므로 본 연구에서는 감소 폭과 더불어 에너지 용량 및 운전 지속시간이 주로 조정되는 양상에 주목하여 상관관계 기반 산정 효과를 해석하였다. $\Delta (E/P)(\%)$는 S1 대비 S2의 BESS 운전 지속시간의 상대적 감소율로, 상관관계 가중치 적용에 따른 BESS 지속시간 특성 변화를 나타낸다. 강원도와 경상북도처럼 일주기 반 상관관계가 큰 지역에서는 S2 적용 시 전력 용량 변화는 크지 않으나, 에너지 용량의 감소가 크게 나타나 운전 지속시간 축소 중심의 용량 조정이 관찰된다. 반면 전라남도는 일주기 반 상관관계 상대적으로 약하고 상관관계 구조가 혼재함에도, S1에서 장시간 대응을 위해 크게 산정되었던 에너지 용량이 S2에서 효과가 큰 시간대 중심으로 운용이 재배치되며 크게 절감될 수 있다. 또한, $\alpha_E > \alpha_P$ 로 설정된 패널티 구조는 장시간 지속을 위한 에너지 용량을 상대적으로 더 줄이도록 작용하여 이러한 에너지 용량 감소 경향을 강화한다.

그림 8. 봄철 지역별 재생에너지 규모 대비 BESS 전력·에너지 용량 비율

Fig. 8. Regional BESS Power and Energy Capacity Relative to Renewable Energy Scale in Spring

그림 9. 가을철 지역별 재생에너지 규모 대비 BESS 전력·에너지 용량 비율

Fig. 9. Regional BESS Power and Energy Capacity Relative to Renewable Energy Scale in Fall

지역별로 재생에너지 설비 규모 차이를 보정 하기 위해 산정된 BESS 정격 전력 및 에너지 용량을 계절별 재생에너지 피크 출력과 총발전량으로 각각 정규화하여 수식 (22)-(23)으로 정의하고, Duck Curve 현상이 가장 두드러지는 봄과 가을을 선정하여 그림 (7)-(8)을 통해 지역 간 재생에너지 대비 BESS 용량 비율을 분석하였다.

봄과 가을 모두 강원도가 재생에너지 피크 출력 대비 가장 큰 BESS 전력·에너지 용량 비율을 보이며, 제주도는 가장 낮은 비율을 보이는 등 지역별 자원 구성과 순부하 특성에 따라 요구 용량이 크게 달라짐을 확인할 수 있다. 또한 대부분 지역에서 S2의 비율이 S1보다 뚜렷하게 낮아지는데, 이는 태양광과 풍력의 상호 보완성을 고려할 경우, Duck Curve가 가장 심한 봄·가을에서도 순부하 변동 완화를 보다 작은 BESS 용량으로 달성할 수 있음을 의미한다.

표 4는 S2 결과를 기준으로 연중 BESS 운용을 만족하기 위한 최종 설계 용량을 정리한 것으로, 계절·지역별 $P_{max}$, $E_{max}$값을 선택하였다. 그 결과 강원도와 전라남도는 $P_{max}$가 겨울, $E_{max}$가 봄에서 결정된다. 경상북도는 $P_{max}$가 가을, $E_{max}$가 봄에서 결정된다. 제주도는 봄철이 전력·에너지 용량을 동시에 지배한다. 이는 지역별로 기상, 재생에너지 설비 차이가 다르기에 용량을 지배하는 계절이 다를 수 있음을 보여주며, 제안한 상관관계 기반 목적함수가 순부하 변동 완화에 필요한 전력 수준은 유지하면서도 불필요한 에너지 용량을 줄여 최종 용량을 결정하도록 작동함을 확인해준다.