2.1 LSTM-Based Temporal Feature Extraction

LSTM 네트워크는 이후에 논의될 PPINN의 물리적 제약 적용을 보완하는 시간적 SOC 추정 역량을 제공한다. PPINN은 시스템의 지배 방정식을 모델에 통합하는데 탁월하지만, 물리 기반 관계를 효과적으로 활용하기 위해서는 신뢰할 수 있는 초기 추정치가 요구된다. LSTM은 이러한 필요를 충족시키기 위해 도입되었다. LSTM은 forget, input, output 게이트로 구성된 정교한 메커니즘을 통해 정보의 흐름을 능동적으로 조절하며, 확장된 시퀀스에 걸쳐 선택적인 메모리를 유지할 수 있다. 이러한 아키텍처는 배터리 SOC 추정에 특히 유용하다. 배터리 상태의 진화는 다중 시간 스케일에 걸쳐 복잡한 시간적 종속성을 나타내기 때문이다. 여기에는 즉각적인 전기화학적 반응뿐만 아니라, 용량 감소, 노화 효과 등이 모두 포함된다. LSTM의 선택적 메모리 기능은 이러한 즉각적인 배터리 반응과 점진적인 변화를 모두 포착할 수 있게 하며, 현재의 SOC가 과거의 충전/방전 패턴 및 온도 변동과 같은 데이터에 어떻게 의존하는지 학습할 수 있도록 돕는다 ^[11].

그림 1. 시간적 SOC 추정을 위한 LSTM 유닛의 구조

Fig. 1. Structure of LSTM unit for temporal SOC estimation

LSTM 네트워크는 배치 크기 $B$와 시퀀스 길이 $T$를 갖는 시계열 입력 데이터 $X \in \mathbb{R}^{B \times T \times d}$를 배치(batch) 단위로 처리하여 예비 SOC 추정치를 생성한다. 여기서 $b$번째 배치의 $t$ 시점에 해당하는 $d$ 차원의 특징 벡터 $x_b^t = [V_b^t, I_b^t, T_b^t, P_b^t, CC_b^t] \in \mathbb{R}^d$는 각 시점의 전압, 전류, 온도, 전력 및 누적 용량으로 구성된다 ^[9]. LSTM 유닛의 구조는 그림 1에 나타나 있고, 식 (1)은 다음과 같다.

식 (1)에서 $f_b^t, i_b^t, o_b^t$는 각각 $b$번째 배치의 시점 $t$에서의 망각, 입력, 출력 게이트 벡터를 나타내며, $\tilde{C}_b^t$는 셀 상태 후보 벡터를 의미한다. $C_b^t$와 $h_b^t$는 각각 해당 배치와 시점에서의 셀 상태와 은닉 상태를 나타낸다. 여기서 $\sigma$와 $\tanh$는 비선형 활성화 함수를 나타내며, $\odot$은 요소별 곱을 의미한다. 또한, 각 게이트 연산을 위해 학습되어야 할 가중치 행렬은 $W_f, W_i, W_c, W_o$로 정의되며, 이에 대응하는 편향 벡터는 $b_f, b_i, b_c, b_o$이다. 특히 $b_o$는 출력 게이트의 활성화를 조절하는 편향 파라미터이다. 최종 SOC 추정은 다음과 같이 완전 연결 계층인 식 (2)를 통해 계산된다. 식 (2)에서 $\widehat{SOC}_b^t$는 모델이 최종적으로 출력한 $b$번째 배치의 시점 $t$에서의 SOC 추정값이다. 이때 $W_{out}$과 $b_{out}$은 각각 출력층의 가중치 행렬과 편향 벡터이다.

2.2 Integration of LSTM Predictions with the PPINN

LSTM과 PPINN의 통합은 데이터 기반 접근 방식이나 모델 기반 접근 방식이 개별적으로 갖는 고유의 한계를 상호 보완하여 극복하는 시너지 프레임워크를 생성한다. 이러한 시너지는 특히 부정확한 물리적 파라미터와 같은 모델 불확실성 하에서 강인하고 정확한 SOC 추정을 달성하는 데 필수적이다. LSTM의 주된 역할은 PPINN을 위한 신뢰할 수 있는 가이드 역할을 수행하는 시간적 SOC 궤적($\widehat{SOC}_t$)을 제공하는 것이다. 이 궤적은 PPINN의 매니폴드 네트워크(manifold network)에 정보 기반의 초기 조건이자 실시간으로 진화하는 특징 입력으로 작용한다. 이러한 신호를 통합함으로써, 프레임워크는 그림 2에 제시된 등가 회로 모델의 사전에 추정된 파라미터($R_0, R_1, C_1$)가 부정확하더라도 이를 효과적으로 보상할 수 있다. 즉, PPINN의 물리 정보 구성 요소가 전기화학적 법칙을 강제하는 동안, LSTM은 솔루션이 실제 데이터의 동향에 벗어나지 않도록 보장하여 파라미터 의존성에 대한 강건성을 향상시킨다.

반대로, PPINN 프레임워크는 손실 함수를 통해 물리적 일관성을 강제함으로써 LSTM의 예측을 제한하는 역할을 수행한다. 물리 기반 손실은 일종의 정규화 기법으로 작용하여, 최종 SOC 추정이 배터리 동역학의 지배 방정식을 반드시 준수하도록 보장한다. 이는 LSTM 구성 요소가 학습 데이터에 존재하는 노이즈나 우발적인 상관관계에 과적합되는 것을 방지하며, 모델의 전반적인 일반화 성능을 크게 향상시킨다. 결과적으로, LSTM의 시간적 예측이 PPINN의 핵심 입력으로 기능하여, 더 정확하고 물리적으로 일관된 SOC 추정 결과를 달성하게 된다.

그림 2. 배터리 동특성을 나타내기 위한 등가 회로

Fig. 2. Equivalent circuit to represent battery dynamics

3.1 Overall Architecture for Physics-Informed Model

PPINN은 자동 미분을 통해 편미분 방정식(PDE)으로 기술되는 물리 법칙을 신경망 학습 과정에 직접 통합한다. 일반적인 PINN 접근 방식은 공간 도메인 $\Omega$와 시간 구간 $[0, T]$로 구성된 시공간 영역 $(t,x)$에서 정의된 편미분 방정식의 해 $u(t,x)$를 근사하기 위해 고안되었다. 이때 물리적 법칙을 따르는 잔차 함수 $f$는 식 (3)과 같이 정의되며, 네트워크는 이를 최소화하는 방향으로 학습된다.

여기서 $\mathcal{N}[\cdot]$은 물리 시스템을 지배하는 미분 연산자를 나타내며, $x$와 $t$는 각각 정의된 영역 내의 공간 및 시간 좌표를 의미한다. 식 (3)의 잔차를 최소화함으로써 신경망은 데이터 없이도 물리 법칙을 준수하게 된다. 파라미터화된 시스템의 경우, PINN 접근 방식은 파라미터를 단지 추가적인 지표로 취급하기 때문에, 다양한 파라미터 조건에 대한 효과적인 학습에 한계가 있다.

PPINN 프레임워크는 파라미터 종속성을 잠재적 표현으로 명시적으로 인코딩하여 이러한 한계를 해결하며, 여러 배터리 작동 조건에 걸쳐 효율적인 학습을 가능하게 한다. PPINN 접근 방식은 잠재적 매니폴드(latent manifold)라고 알려진 배터리 파라미터와 그 동적 거동 사이의 일반화된 관계를 나타내는 연속적인 기저구조를 학습한다. 여기서 하이퍼네트워크가 파라미터 인코더 역할을 수행하여, 초기 $SOC_0$와 같은 간단한 입력을 이 매니폴드 상의 고유한 좌표로 변환한다. 이 좌표는 물리적으로 일관된 근사치, 즉 $\widehat{V}_1(t; SOC_0)$를 생성하도록 메인 솔루션 네트워크를 동적으로 구성한다. 이 근사치는 파라미터화된 미분 연산자가 최소화되도록, $\mathcal{N}[t, \widehat{V}_1(t; SOC_0)] \approx 0$를 만족하도록 설계된다. 본질적으로, $SOC_0$는 매니폴드 상의 물리적 맥락을 식별하는 역할을 하며, LSTM을 통해 예측된 궤적은 진화하는 데이터 동향을 제공한다. 이를 통해 프레임워크는 일반화된 물리 법칙과 특정 시간적 패턴을 반영할 수 있다.

본 연구에서는 배터리 동특성을 그림 2와 같은 1차 RC 등가 회로 모델로 정의하였다. 통상적으로 1차 RC 모델은 구조적 단순함으로 인해 저온이나 노화 조건 등에서 발생하는 복잡한 비선형 분극 현상을 정밀하게 모사하는데 한계가 존재한다 ^[19]. 그러나 제안된 PPINN 프레임워크는 하이퍼네트워크를 통해 현재의 작동 조건에 맞춰 파라미터 가중치를 동적으로 조정함으로써, 이러한 저차 모델의 구조적 한계를 극복할 수 있다. 여기서 개방 회로 전압 $U_{OCV}(SOC)$, 옴 저항 $R_0(SOC)$, 분극 저항 $R_1(SOC)$, 그리고 분극 커패시턴스 $C_1(SOC)$를 포함하는 배터리 파라미터들은 그림 3과 같은 HPPC(hybrid pulse power characterization) 테스트를 통해 얻어진다 ^[20].

그림 3. 배터리 파라미터 추정을 위한 HPPC 테스트

Fig. 3. HPPC test for battery parameter estimation

그림 3의 HPPC 테스트 결과에서, 방전 초기 점 A-B의 급격한 전압 강하와 회복 초기 점 C-D의 전압 상승은 옴 저항 ($R_0$)에 기인한다. 이에 따라 식 (4)는 해당 구간의 전압 변화량과 인가 전류를 이용하여 $R_0$를 산출한다.

식 (4)에서 $V_A, V_B$ 및 $V_E, V_F$는 각각 방전과 충전 시 전압 변화가 발생하는 지점의 전압이며, $I_d$와 $I_c$는 인가된 방전 및 충전 전류를 의미한다. 이를 통해 도출된 방전 옴 저항 $R_0^d$와 충전 옴 저항 $R_0^c$의 산술 평균을 통해 최종 옴 저항 $R_0$를 결정한다.

분극 파라미터($R_1, C_1$)는 전류 차단 후 전압이 평형 상태로 서서히 회복되는 구간 D-E-F의 데이터를 통해 추출된다. 식 (5)와 (6)은 이 구간의 측정 전압 $V_t(t)$를 지수 함수로 피팅하는 과정을 나타낸다. 여기서 $U_{ocv}$는 배터리의 개방 회로 전압을, $V_1(0)$은 전류 차단 직후의 초기 분극 전압 강하량을 의미하며, 이는 인가 전류 $I$와 분극 저항 $R_1$, 그리고 시정수 $\tau$의 관계를 통해 기술된다. 이 과정에서 전압 회복 속도를 결정하는 시정수 $\tau$가 도출되며, 이는 $\tau = R_1C_1$의 관계를 갖는다. 따라서 피팅된 곡선으로부터 결정된 저항 $R_1$과 시정수 $\tau$를 이용하여 커패시턴스 $C_1$이 최종적으로 산출된다.

OCV-SOC 관계($U_{OCV}$)는 펄스 인가 전후의 안정화된 휴지기 전압을 여러 SOC 레벨에서 측정하고 이를 피팅하여 설정한다. 이러한 실험 절차를 통해, SOC 0에서 1까지 0.05 간격으로 20개의 고유한 파라미터 세트를 획득한다. 이 파라미터들은 전체 SOC 범위에 걸쳐 배터리 동특성을 나타내는 20개의 해당 미분 방정식을 공식화하는 기반이 되며, 이는 PPINN을 위한 물리적 토대를 제공한다 ^[21].

전체 프레임워크는 그림 4에 요약되어 있다. PPINN 아키텍처는 물리적으로 일관된 예측을 생성하기 위해 여러 구성 요소를 통합하며, 이는 식 (7)에서 확인할 수 있다. 식 (7)에서 $u_\Theta$는 PPINN이 근사하고자 하는 배터리 시스템의 해, 즉 추정된 전압을 나타낸다. 여기서 $\Theta = \{\theta_c, \theta_p, \theta_g\}$는 좌표 인코더($g_{\theta_c}$), 파라미터 인코더($g_{\theta_p}$), 그리고 매니폴드 네트워크($g_{\theta_g}$)의 학습 가능 가중치 및 편향 파라미터들의 집합을 나타낸다.

식 (7) 내부의 파라미터 인코더의 입력 중 하나인 $\widehat{SOC}[:,0,:]$는 LSTM이 예측한 시퀀스 데이터의 첫 번째 시점을 인덱싱한 것이다. 그림 4에서 나타낸 바와 같이, 이들은 전체 프레임워크를 구성하는 핵심 요소로서 좌표 인코더($g_{\theta_c}$)는 시공간적 입력을 처리하고, 파라미터 인코더($g_{\theta_p}$)는 초기 조건에 기초하여 동적 가중치를 생성하며, 매니폴드 네트워크($g_{\theta_g}$)는 이를 통합하여 최종 전압을 출력한다.

그림 4. 배터리 SOC추정을 위한 전체 PPINN 프레임워크

Fig. 4. Overall PPINN framework for battery SOC estimation

3.2 Dynamic Parameter Encoding via Hypernetwork

그림 4에 나타난 바와 같이, 제안된 PPINN 프레임워크에서 좌표 인코더($g_{\theta_c}$)는 먼저 시공간(spatio-temporal) 정보를 처리하여 시간적 진화를 포착하는 은닉 표현 $h_{coord}$를 생성한다. 이를 위해 식 (8)과 같이 시간 $t$와 LSTM이 예측한 SOC 궤적 $\widehat{SOC}$를 결합하여 2차원 입력을 형성한다.

식 (8)에서 $x_{coord}$는 시공간적 특징을 포함하는 입력 벡터를 나타낸다. 이 입력은 좌표 인코더를 통해 식 (9)와 같이 처리되어 최종 은닉 표현을 도출한다.

식 (9)에서 $W_{coord}$와 $b_{coord}$는 각각 좌표 인코더의 학습 가능한 가중치 행렬과 편향 벡터를 나타낸다.

이러한 일반적인 개념을 배터리 SOC 추정 문제에 적용하기 위해, 하이퍼네트워크는 배터리의 초기 상태를 파라미터를 정의하는 고유한 입력으로 해석하도록 설계되었다. 이 접근 방식은 단일 모델이 광범위한 작동 조건에 걸쳐 일반화된 해를 효과적으로 학습할 수 있게 하여, 각기 다른 시나리오들에 대한 반복적인 훈련의 필요성을 제거한다 ^[18]. 그림 4에 나타낸 파라미터 인코더($g_{\theta_p}$)의 입력 $\mu_{combined}$는 식 (10)과 같이 두 가지 정보의 결합으로 정의된다. 여기서 $SOC_0$는 앞선 커브 피팅을 통해 도출된 20개의 파라미터 세트에 대응하는 기준 SOC 값을 의미하며, $\widehat{SOC}[:,0,:]$는 LSTM이 예측한 시퀀스의 초기 시점 값을 나타낸다.

이 입력 $\mu_{combined}$는 동적 가중치를 생성하기 위해 하이퍼네트워크의 완전 연결 계층을 통과한다. 이 순전파 과정은 식 (11)과 같은 초기 임베딩 계층에서 시작되어 초기 특징 벡터 $e^0$를 생성한다. 그 후, 이전 단계의 특징 $e^m$을 입력받아 다음 단계의 특징 $e^{m+1}$로 변환하는 식 (12)와 같은 중간 계층들을 걸쳐, 최종적으로 식 (13)에서 SVD(특이값 분해)에 사용될 특이값을 생성한다. 이렇게 생성된 특이값은 식 (15)와 같이 매니폴드 네트워크($g_{\theta_g}$)의 각 계층을 저순위(low-rank) 행렬로 분해하는 데 사용되며, 식 (16)을 통해 고효율의 행렬 곱셈을 가능하게 한다. 이 전체 과정은 아래의 식 (11)부터 (16)까지의 수식에 나타내었다.

식 (11)에서 $W_{emb}^0$와 $b_{emb}^0$는 하이퍼네트워크 초기 임베딩 계층의 학습 가능한 가중치 행렬과 편향 벡터를 나타내며, $\sigma_{hy}$는 은닉 계층에서 사용되는 비선형 활성화 함수를 의미한다. 식 (12)에서 ($m \in \{0, 1, ..., M-1\}$)은 은닉 계층의 인덱스이며, ($M = n_{layers} - 2$)는 전체 은닉 계층의 수를 나타낸다. 각 계층의 가중치 $W_{emb}^{m+1}$와 편향 $b_{emb}^{m+1}$을 통해 특징 벡터가 단계적으로 변환된다. 식 (13)의 최종 출력 $s(\mu_{combined})$은 $h_{param}$으로 명칭할 수 있고, 시스템의 파라미터 의존적 특성을 나타내는 평탄화된 특이값들을 포함한다. 이는 매니폴드 네트워크가 특정 초기 조건에 적응된 해를 생성하도록 동적으로 조절되게 한다 ^[22]. 이때, $\sigma_{param}$은 특이값 벡터의 물리적 범위를 조절하는 활성화 함수이다. $h_{param}$ 벡터는 식 (14)에 따라 매니폴드 네트워크의 각 $l$번째 계층에 대한 특이값 세트 $\alpha_l$로 재구성된다. 여기서 $\sigma_{dim}$은 각 계층의 가중치 행렬을 근사하기 위해 선택된 특이값의 개수를 의미한다. 식 (15)에서 보듯이 SVD 접근 방식 ^[23]은 그림 4의 매니폴드 네트워크 내부에 표기된 고정된 기저 행렬 $U^l$ 및 $V^l$과 생성된 대각 행렬 $\Sigma_l(\alpha_l)$을 결합하여 가중치 $FC_l$을 구성한다. 최종적으로 식 (16)은 이러한 저순위 구조를 활용한 효율적인 행렬 연산인 $\mathcal{M}_{LR}$을 정의한다. 여기서 $x$는 매니폴드 네트워크 해당 계층의 입력 벡터를 나타낸다. 이 저순위 행렬 곱셈은 $\mathcal{O}(2 \cdot h_{dim} \cdot \sigma_{dim})$ 연산만을 필요로 하며, 이는 표준 행렬 곱셈에 필요한 $\mathcal{O}(2 \cdot h_{dim}^2)$과 비교할 때, 특히 $\sigma_{dim} \ll h_{dim}$일 경우 상당한 계산량 절감 효과를 제공한다.

본 연구에서 SVD를 채택한 이유는 행렬의 정보가 소수의 특이값에 집중된다는 특성을 활용하기 위함이다. 상위 개의 특이값만을 취함으로써, 하이퍼네트워크는 배터리 파라미터 변화에 따른 가중치 공간의 변동성은 유지하면서 불필요한 노이즈는 제거하는 효과를 얻을 수 있다. 그러나 저순위 행렬 근사 과정에서 생략된 하위 특이값들에 해당하는 미세 정보의 손실은 불가피하다. 만약 배터리의 동적 거동이 선택된 순위보다 훨씬 더 복잡한 비선형성을 가질 경우, 모델의 표현력이 제한될 수 있는 한계가 존재한다. 따라서 정확도와 효율성 사이의 상관관계를 고려하여 적절한 수위의 설정이 요구된다.

3.3 Manifold Network and Forward Propagation

매니폴드 네트워크 $g_{\theta_g}$는 그림 4의 전체 프레임워크에서 나타내듯이, 좌표 인코더로부터의 인코딩된 표현 식 (9)의 $h_{coord}$와 식 (13)의 하이퍼네트워크로부터의 파라미터 의존적 표현 $h_{param}$을 통합하여 최종 예측을 생성한다. 네트워크를 통한 순전파 과정은 아래의 식 (17)부터 (21)까지의 수식에 나타냈다.

식 (17)의 $\mathcal{M}_{LR}$은 그림 4의 매니폴더 네트워크 내부에 나타낸 SVD 기반 저순위 행렬 곱셀 블록을 의미한다. 여기서 $U^l$, $V^l$은 각 계층의 기저 행렬을, $\alpha_l$은 하이퍼네트워크로부터 전달받은 특이값 대각 행렬을 나타내며, $b_l$은 $l$번째 계층의 학습 가능한 편향 벡터이다. 식 (17)과 (18)의 연산 과정은 그림 4에 나타낸 $l$번째 은닉층, $h^l$의 내부 동작을 기술한다. 구체적으로 $z^l$은 계층의 선형 변환 결과를, $x^l$은 활성화 함수 $\sigma$를 거쳐 다음 계층으로 전달되는 상태 값을 나타낸다. 식 (18)의 $w_0$은 계층 간 신호 전달을 조절하는 가중치 파라미터를 나타낸다. 식 (19)와 (20)은 네트워크의 입력 및 계층적 구성을 정의한다. 식 (19)의 $FC_j$는 $j$번째 저순위 블록 연산을, $D_g$는 매니폴드 네트워크의 마지막 계층의 인덱스를 의미한다. 식 (20)에서는 $h_{coord}$과 $h_{param}$을 연결하여 $h_{concat}$을 형성한다. 최종적으로 식 (21)에서 최종 은닉 표현 $x^{D_g}$를 출력층의 가중치 $W_{out}$ 및 편향 $b_{out}$을 통해 배터리 RC 전압 $V_1(t; SOC_0)$으로 맵핑하여 출력한다. 이 통합된 프레임워크는 네트워크가 초기 조건 $SOC_0$에 의해 인코딩된 물리적 제약과 시간적 SOC 궤적에 의해 포착된 진화하는 데이터 동향을 효과적으로 활용할 수 있도록 하여, 다양한 배터리 작동 조건에 걸쳐 강인하고 정확한 예측 결과를 도출한다.

3.4 Loss Function for Synergistic Learning

제안된 PPINN은 데이터 충실도와 물리적 일관성을 모두 강제하는 다중 목적 손실 함수를 최소화함으로써 훈련된다. 이는 식 (3)에서 언급한 물리적 잔차 $f := \mathcal{N}[u(t,x)]$를 최소화하는 것을 목표로 하는 PINN의 핵심 원칙을 따른다. 이 원칙을 배터리 시스템에 적용하기 위해, 그림 2에서 보인 1차 RC 등가 회로 모델에서 파생된 지배 방정식을 사용하여 일반 미분 연산자 $\mathcal{N}[\cdot]$를 구체화한다. 이 모델의 전기화학적 거동은 RC 전압 $V_1(t)$에 대한 미분 방정식으로 기술된다. 따라서 특정 미분 연산자 $\mathcal{N}[t, V_1(t)]$는 다음과 같이 정의하였다.

기본 물리 법칙은 이 연산자가 0이 될 것을 요구하며, 이는 네트워크가 학습을 통해 최소화해야 할 물리 기반 잔차를 형성한다. 추가적으로, 모델은 RC 전압이 작동 시작 시점($t=0$)에 0이어야 한다는 초기 조건에 의해 제약된다. 이러한 제약 조건들은 다음과 같이 표현된다.

식 (22)~(24)의 물리 잔차 항은 물리적 정규화로 기능하여, 데이터의 노이즈나 우연한 상관관계에 대한 모델의 과적합을 방지한다. 이는 옴의 법칙과 같은 전기화학적 제약을 강제함으로써, 미지의 작동 조건에서도 해가 물리적 일관성을 유지하도록 유도하여 SOC 추정의 정확도와 강건성을 보장한다.

전체 손실 함수($\mathcal{L}_{total}$)는 SALB(self-adaptive loss balancing)로 알려진 불확실성 기반의 적응형 가중치 기법을 사용하여 여러 목적 함수들을 시너지 있게 결합하며, 이는 수동 하이퍼파라미터 튜닝의 필요성을 제거한다 ^[24]. 전체 손실은 다음과 같이 공식화할 수 있다.

식 (25)의 학습 가능한 로그-분산(log-variance) 파라미터 $\lambda_i$는 훈련 과정 동안 각 손실 구성 요소의 상대적 크기와 불확실성에 기초하여 자동으로 조정된다. 이는 최적화 과정이 더 신뢰할 수 있는 손실 요소에 집중하도록 하면서 정규화를 유지할 수 있게 한다. 전체 손실은 시너지 효과를 내는 네 가지 개별 구성 요소 $\mathcal{L}_i$로 이루어진다.

식 (26)의 LSTM 손실($\mathcal{L}_{LSTM}$)은 LSTM의 시간적 SOC 예측, $\widehat{SOC}_j$과 실제 값, $SOC_{target,j}$ 간의 일관성을 강제하여 모델을 관측된 데이터 동향에 고정시킨다. 식 (27)의 물리 손실($\mathcal{L}_{physics}$)는 식 (22)의 PDE 잔차를 최소화하여, 솔루션이 배터리 모델의 기본 전기화학적 법칙을 준수하도록 강제한다. 물리 손실에 포함된 편미분 항($\frac{\partial V_1}{\partial t}$)은 네트워크의 최종 출력을 시간에 대해 미분한 그래디언트를 나타내며, 자동 미분을 통해 식 (30)과 같이 계산된다. 식 (28)의 초기 손실($\mathcal{L}_{fir}$)은 식 (24)의 경계 제약 조건을 강제하여 솔루션이 $t=0$에서 물리적으로 유효한 상태에서 시작하도록 보장한다. 마지막으로, 식 (29)의 전압 회귀 손실($\mathcal{L}_{reg}$)은 모델의 전체적인 출력, $V_{pred}$이 실제 측정된 단자 전압, $V_{measured}$과 일치하도록 보장하는 직접적인 경험적 데이터 피팅 항이다.

4.1 Test Datasets

본 논문에서 제안된 방법은 캐나다 온타리오주 해밀턴에 위치한 맥마스터 대학교(McMaster University)의 Dr.Philip Kollmeyer 박사가 제공한 LG 18650HG2 리튬이온 배터리의 공개 데이터 셋을 사용하여 평가했다 ^[25]. 사용된 배터리의 상세 사양은 표 1에 요약되어 있다.

실험 프로토콜로 다양한 온도 조건 하에서의 포괄적인 배터리 테스트를 포함했다. 다양한 전기차 작동 시나리오를 시뮬레이션하기 위해 세 가지 표준화된 주행 사이클을 채택했다. 구체적으로, LA92 사이클은 빈번한 가속 및 감속 이벤트가 발생하는 현실적인 도심 주행 패턴을 나타낸다. US06 사이클은 고속 고속도로 주행 조건과 급격한 전력 변동을 포함하는 공격적인 주행 동작을 나타낸다. UDDS 사이클은 간헐적인 정차 구간이 포함된 저속 운행 위주의 시내 주행에 초점을 맞춘다. 각 주행 사이클에 대한 온도별 전류 변동 범위는 표 2에 제시되어 있다.

모델의 일반화 능력과 다양한 열 조건 하에서의 상이한 주행 동작에 대한 적응성을 평가하기 위해, 훈련 및 테스트 데이터 셋을 다음과 같이 구성하였다. 훈련 데이터 셋은 5가지 온도 조건(25℃, 0℃, 40℃, -10℃, -20℃)에서의 UDDS 사이클로 구성되었으며, 테스트 데이터 셋은 동일한 온도 조건들에서의 LA92 및 US06 사이클로 구성하여 서로 다른 주행 패턴에 대한 평가를 진행했다. 정답 데이터로 사용되는 SOC는 전류 적분법(Coulomb counting method)을 기반으로 계산되었다. 시간 $t$에서의 SOC는 다음과 같이 계산된다.

여기서 $C_n$은 공칭 용량(nominal capacity)을, $i(\tau)$는 시간 $\tau$에서의 전류를 나타낸다. 초기 SOC 값($SOC_0$)은 시작 전압과 초기 전류 방향을 기반으로 결정된다. 동일한 하드웨어 구성 하에서, 모든 시뮬레이션은 NVIDIA GeForce RTX 2060 SUPER 그래픽 카드를 사용하는 컴퓨터에서 실행했다. 앞서 설명한 SVD 기반의 연산량 절감 구조는 실제 임베디드 BMS 환경에서의 실시간성 확보와 직결된다. 통상적인 BMS 마이크로컨트롤러(MCU)는 제한된 연산 자원을 갖지만, 제안된 저순위 근사 기법은 추론 과정의 계산 복잡도를 낮추어 연산 지연을 최소화한다. 이는 ms 단위의 제어 주기를 갖는 실제 전기차 환경에 해당 알고리즘이 안정적으로 적용될 수 있음을 시사한다. 성능 평가는 SOC 추정의 정확도를 정량화하기 위해 평균 제곱근 오차(RMSE)를 사용했다. 공정한 비교를 보장하기 위해, 모든 모델은 은닉 계층 차원, 계층 수, 최대 반복 횟수와 같은 동일한 하이퍼파라미터로 구성했다.

4.2 SOC Estimation at Room Temperature

상온 평가는 표준 작동 조건 하에서 제안된 PPINN의 기본적인 검증을 제공한다. LA92 및 US06 주행 사이클에 걸친 테스트는 통제된 조건 하에서 기존 접근 방식과의 직접적인 성능 비교를 가능하게 한다. 상온 실험 결과는 그림 5에서 확인할 수 있으며, 해당 RMSE 값은 표 3에 제시되어 있다.

모든 모델은 등가 회로 모델에 필요한 배터리 파라미터를 얻기 위해, 간단한 커브 피팅 절차에 기반한 동일한 파라미터 추정 방법을 활용했다. 이러한 조건 하에서 기존 방법들은 차선의 추정 성능을 보였다. 모델 기반 EKF 접근 방식은 LA92 사이클에서 8.71%, US06 사이클에서 10.04%의 RMSE 값을 보이며 현저히 저조한 성능을 나타냈다. 광범위한 실험적 검증과 반복적인 초기 값 수정을 통해 정확도를 향상시킬 수는 있겠지만, 이는 EKF가 사전에 추정된 배터리 파라미터의 정밀도에 높은 민감도를 가짐을 보여준다.

결과적으로 EKF에 의존하는 하이브리드 방법들 역시 제한적인 성능을 보인다. ^[11]은 LA92에서 1.69%, US06에서 2.52%의 RMSE를 기록했으며, ^[12]은 LA92에서 6.16%, US06에서 7.01%로 훨씬 더 높은 오차를 보인다. 이는 이러한 하이브리드 구조의 성능이 근본적으로 기본 물리 모델의 정확성에 제약되며, 정밀한 파라미터 식별이 불가능할 때 심각한 성능 저하로 이어진다는 것을 보여준다.

데이터 기반 LSTM은 단일 온도 조건 하에서 LA92 1.37%, US06 2.05%의 RMSE로 일정 수준의 정확도를 달성했다.

그림 5. 상온에서의 SOC 추정 성능 비교: (a) LA92 주행 사이클, (b) US06 주행 사이클

Fig. 5. SOC estimation performance comparison at room temperature: (a) LA92 driving cycle, (b) US06 driving cycle

마찬가지로 PINN은 각각 1.64%와 1.28%의 RMSE로 제한된 정확도를 보였다. PINN이 물리 제약 조건을 활용함에도 불구하고, 그 성능은 파라미터의 정확도에 민감하며 파라미터 식별 오류를 완화할 직접적인 메커니즘이 부족하여 성능이 제한된다. 대조적으로, 제안된 PPINN은 동일하게 단순화된 파라미터 추정 방법을 사용했음에도 불구하고 LA92에서 0.83%, US06에서 1.33%의 RMSE 값을 기록하며 모든 비교 모델 중 가장 우수한 성능을 달성했다. 이러한 정확도 향상은 EKF 기반 모델들과 달리, 부정확한 초기 파라미터에 민감하게 반응하지 않는 아키텍처의 강건성에서 비롯된다. 또한, 순수 데이터 기반 LSTM이나 표준 PINN과 달리, 하이퍼네트워크가 동적인, 조건 적응형 가중치를 생성하여 시스템 거동을 효과적으로 학습하기 때문이다. 시간적 모델링(LSTM 입력)과 물리 정보 제약(PPINN 손실 함수)의 이러한 시너지적 통합은 PPINN이 파라미터 의존성의 한계를 극복하고 정확한 추정을 제공할 수 있게 한다.

그림 6. SOC 추정 성능에 SVD 파라미터의 영향

Fig. 6. Impact of SVD parameters on SOC estimation

일반적으로 PINN 기반 접근 방식은 높은 연산 복잡도로 인해 계산 부담이 크다는 단점이 있다. 이러한 한계를 극복하기 위해 도입된 SVD 기반 저순위 분해 접근 방식의 효율성은 연산 복잡도 분석을 통해 입증된다. 식 (16)에서 보듯이, 저순위 행렬 곱셈은 $\mathcal{O}(2 \cdot h_{dim} \cdot \sigma_{dim})$ 연산을 필요로 하며, 이는 표준 행렬 곱셈에 필요한 $\mathcal{O}(2 \cdot h_{dim}^2)$ 연산에 비해 상당한 계산량 절감을 제공한다. $h_{dim}$ 및 $\sigma_{dim}$ 파라미터가 SOC 추정 RMSE와 계산 효율성에 미치는 영향은 그림 6에서 확인할 수 있으며, 여기서는 Config1 ($h_{dim}=128$, $\sigma_{dim}=32$), Config2 ($h_{dim}=128$, $\sigma_{dim}=64$), Config3 ($h_{dim}=256$, $\sigma_{dim}=32$), Config4 ($h_{dim}=256$, $\sigma_{dim}=64$)가 비교되었다. 이러한 연산 감소는 계산 오버헤드의 비례적 증가 없이 실용적인 실시간 BMS 구현을 가능하게 하면서 표현 용량을 보존하고 증가된 파라미터 공간을 효과적으로 관리한다. 그림 6의 분석에 기초하여, 최적의 구성은 계산 연산 대비 가장 효율적인 RMSE 성능을 제공하는 Config2로 결정했다. 따라서 제안된 방식은 PINN 방식 대비 약 75%의 연산량 감소 효과를 보였다. 이후의 실험은 이 파라미터 값들을 사용하여 수행하였다.

4.3 SOC Estimation at Various Temperatures

온도 변화는 배터리의 전기화학적 거동에 중대한 영향을 미치므로, 실제 BMS 적용을 위해서는 다양한 열 조건 전반에 걸친 강인한 추정 성능이 매우 중요하다. 평가는 0℃, 40℃, -10℃, -20℃를 포함하는 온도 범위를 LA92 및 US06 주행 사이클에 걸쳐 수행했다. 다양한 온도와 주행 사이클에서의 실험 결과는 그림 7, 8에서 확인할 수 있으며, 해당 RMSE 값은 표 4에 제시하였다. 극한의 온도 조건은 기존의 방법론 및 하이브리드 추정 방법들의 근본적인 취약점을 드러낸다. LSTM은 심각한 열 민감도를 보였으며, -20℃ US06 조건에서는 RMSE가 3.80%까지 급증했다. EKF는 온도가 하락함에 따라 치명적인 성능 저하를 보였으며, -10℃ US06 조건에서는 오차가 18.20%까지 도달했다. 이는 EKF의 심각한 파라미터 의존성과 열 스트레스 하에서의 기능 실패를 강조한다. EKF의 열적 불안정성에 근본적으로 제약되는 하이브리드 모델 ^[11]과 ^[12] 역시 일관성 없고 신뢰할 수 없는 성능을 보였으며, 각각 최대 3.47%와 12.76%의 오차를 기록했다.

그림 7. LA92 주행 사이클에서 다수 온도 조건 하에서의 SOC 추정 성능: (a) 40℃-LA92, (b) 0℃-LA92, (c) -10℃-LA92, (d) -20℃-LA92

Fig. 7. SOC estimation performance under LA92 drive cycle across multiple temperature conditions: (a) 40℃-LA92, (b) 0℃-LA92, (c) -10℃-LA92, (d) -20℃-LA92

그림 8. US06 주행 사이클에서 다수 온도 조건 하에서의 SOC 추정 성능: (a) 40℃-US06, (b) 0℃-US06, (c) -10℃-US06, (d) -20℃-US06

Fig. 8. SOC estimation performance under US06 drive cycle across multiple temperature conditions: (a) 40℃-US06, (b) 0℃-US06, (c) -10℃-US06, (d) -20℃-US06

PINN 역시 저조한 성능을 보이며, RMSE가 2.44%에서 3.04% 사이에서 변동했다. 이러한 결과는 배터리 특성이 온도에 따라 변화하는 파라미터화된 시스템을 PINN 아키텍처가 처리하는 데 어려움을 겪으며, 다양한 작동 조건에 걸쳐 일반화 성능이 저하되는 핵심적인 한계를 보여준다. 이와 대조적으로, 제안하는 PPINN은 탁월한 열 강건성을 유지하며, 모든 온도 및 주행 조합에서 RMSE 값이 0.98%에서 1.59% 사이로 일관되게 제한된다. 이는 모든 비교 방법 대비 상당한 개선을 나타냈다. 이러한 일관된 성능은, 앞서 확인된 바와 같이 극한의 온도에서 고정된 파라미터의 부정확성으로 인해 치명적인 오류를 보이는 EKF 및 EKF 기반 하이브리드 모델들과 극명한 대조를 이룬다. 또한, LSTM이 보인 열 조건 변화에 대한 민감성이나 PINN이 드러낸 파라미터 변화 처리의 한계와도 구별된다. 반면, 제안된 PPINN은 온도 변화에도 보편적으로 유효한 전기화학적 원리를 통합하며, 동시에 하이퍼네트워크 아키텍처가 열적 변화에 동적으로 적응한다. 이러한 적응성은 계산 비용이 많이 드는 온도별 모델 재훈련이나 파라미터 재추정의 필요성을 제거하여, 제안된 방법의 우수한 일반화 능력을 확인시켜 준다.