2.1 미지의 동역학 파라미터와 일치 및 불일치 외란을 갖는 플래툰 차량 동역학

본 논문에서는 기존 양방향 플래툰 제어 연구^{[5], [16], [19]}에서 고려한 차량 동역학 모델을 기반으로, 그림 1의 $i \in \{1, \dots, n\}$번째 플래툰 차량의 동역학 모델을

와 같이 나타낸다. 여기서 $x_i$, $v_i$는 각각 차량의 실제 위치와 측정 속도이고, $M_i$, $c_i$, $f_i$는 각각 차량 무게, 공기역학 상수, 마찰 계수와 관련된 미지의 동역학 파라미터이다. 또한 $u_i$는 제어 입력이며, $\delta_i^v$, $\delta_i^x$는 각각 모델 불확실성과 외부 환경에 의해 발생하는 미지의 일치 및 불일치 외란이다.

비고 1: 기존 연구 ^{[5], [16], [19]}에서는 일치 및 불일치 외란과 동역학 파라미터 불확실성을 동시에 다루지 않았다. 이에 반해 본 논문은 일치 및 불일치 외란뿐만 아니라 $M_i$, $c_i$, $f_i$가 모두 미지인 보다 일반적인 양방향 플래툰 차량 동역학 모델을 고려한다. 특히 $M_i$는 제어 입력에 직접 곱해지는 입력 이득 파라미터로서, 제어 입력 계산을 위해 적응 기법을 통해 실시간으로 추정된다.

실제 차량의 입출력은 물리적 제약으로 인해 유한하며, ^{[16], [19]}와 같이 차량에 작용하는 일치 및 불일치 외란 또한 유계임을 고려하여, 식 (1)의 차량 동역학 모델에 대해 다음과 같은 가정을 도입한다.

그림 1 양방향 토폴로지를 갖는 플래툰 시스템의 구성

Fig. 1 Configuration of a platoon system with bidirectional topology

가정 1: 차량의 위치 및 속도와 그들의 일차 시간 미분은 $x_i, v_i, \dot{x}_i, \dot{v}_i \in L_\infty$와 같이 유계이다.

2.2 초기 오차를 고려한 MCTH 기반 간격 오차

먼저, CTH 정책에 기반하여 $i$번째 차량의 간격 오차를

와 같이 정의한다. 여기서 $x_d$는 선행 차량과의 목표 고정 거리이며, $h$는 차두시간(time-headway) 상수이다. 식 (2)의 CTH 기반 간격 오차는 차량 속도 정보를 이용해 선행 차량과의 목표 간격을 조절함으로써 플래툰 시스템의 끈 안정성을 향상시킬 수 있으나, 초기 오차에 민감하다는 한계가 있다 ^{[4], [11], [15], [16]}. 이를 완화하기 위해 식 (2)를 기반으로 초기 간격 및 속도 오차를 고려한 MCTH 기반 간격 오차를

와 같이 추가로 정의한다 ^[16]. 여기서 $e_i(0)$는 초기 간격 오차, $e_i^v(0) := v_{i-1}(0) - v_i(0)$는 초기 속도 오차, $\rho_i > 0$이다. 이 때 보정항 $\psi_i$는 $\bar{e}_i(0) = 0$을 만족하도록 설계되며, $\rho_i$의 크기에 의존하여 빠르게 영에 수렴한다. 따라서 시간이 지남에 따라 $\bar{e}_i$는 식 (2)의 $e_i$와 일치한다.

2.3 제어 목표

본 논문은 그림 1과 같은 양방향 통신 토폴로지를 갖는 플래툰 시스템을 대상으로 한다. 식 (1)의 차량 동역학 모델은 미지의 동역학 파라미터와 일치 및 불일치 외란을 포함하므로, 본 논문의 제어 목표는 이러한 불확실성 및 외란에도 불구하고 강인한 양방향 플래툰 제어 성능을 보장하는 데 있다. 구체적으로, 제안하는 제어기는 다음 두 가지 플래툰 시스템의 안정성을 만족하도록 설계된다.

1) 간격 오차 안정성: 모든 차량 $i = 1, \dots, n$에 대하여 식 (3)의 간격 오차 $\bar{e}_i$가 점근적으로 영에 수렴한다.

2) 끈 안정성 ^{[5], [11], [15], [16]}: 차량 $i$와 후행 차량 $i+1$의 간격 오차에 대한 라플라스 변환(Laplace transform)을 각각 $E_i(s)$, $E_{i+1}(s)$라 할 때, 오차 전파 전달함수 $H_i(s) := E_{i+1}(s)/E_i(s)$가 $|H_i(s)| \le 1$을 만족한다.

앞서 기술한 제어 목표를 달성하기 위해 3장에서 뉴럴 네트워크 기반 적응 적분 슬라이딩 모드 제어기를 제안한다.

3.1 결합 적분 슬라이딩 모드 동역학

$i$번째 차량의 적분 슬라이딩 평면을

와 같이 설계한다. 여기서 $k_I > 0$는 제어 이득 상수이고, 식 (3)에서 $\bar{e}_i(0) = 0$이므로 $s_i(0) = 0$을 만족한다. 따라서 시스템 상태는 초기부터 슬라이딩 평면상에 존재하며, 도달 모드(reaching mode) 없이 슬라이딩 모드가 즉시 유지된다.

단순히 식 (4)를 영에 수렴시키면 간격 오차 안정성은 확보할 수 있으나, 전체 플래툰 시스템의 끈 안정성까지 보장하기는 어렵다. 따라서 식 (4)와 후행 차량 $i+1$의 슬라이딩 변수가 결합된 적분 슬라이딩 평면

를 도입한다 ^[5]. 여기서 $q > 0$는 상수이다.

식 (5)의 결합된 적분 슬라이딩 평면을 시간에 대해 미분하면, 차량 $i = 1, \dots, n-1$에 대해

와 같이 전개된다. 또한 마지막 차량 $i = n$에 대해서는

와 같이 표현된다. 여기서 $\delta_i$는 미지의 일치 및 불일치 외란을 포함하는 집약 외란(lumped disturbances) 항으로,

와 같이 정의된다.

식 (6)과 (7)을 통합하면, 모든 차량 $i = 1, \dots, n$에 대한 결합 적분 슬라이딩 모드 동역학은

와 같이 간략히 표현된다. 여기서 $\xi_i := -c_i v_i^2 - f_i + M_i \delta_i$는 동역학 파라미터 불확실성과 외란을 포함하는 미지의 비선형 함수이며, 가정 1에 의해 유계이다. 또한

는 그림 1의 양방향 통신 토폴로지를 통해 차량 간 교환되는 정보로부터 계산 가능한 항이다.

비고 2: 식 (10)의 $\dot{v}_{i+1}$는 양방향 통신 토폴로지를 통해 수신한 $v_{i+1}$를 미분하여 얻지만, 실제 구현에서는 센서 노이즈에 민감하므로 저역 통과 필터(low-pass filter)를 이용해

와 같이 계산할 수 있다 ^[20]. 여기서 $\tau > 0$는 충분히 작은 상수이다. 제어기 설계에서는 필터 오차를 별도의 항으로 모델링하지 않았으며, 이를 식 (9)의 미지 함수 $\xi_i$에 포함되는 추가 불확실성으로 간주하여 제안한 제어기를 통해 보상할 수 있다.

다음 절에서는 식 (9)의 결합 적분 슬라이딩 모드 동역학을 기반으로 양방향 플래툰 제어기를 설계한다.

3.2 뉴럴 네트워크 기반 적응 적분 슬라이딩 모드 제어기

식 (9)의 결합 적분 슬라이딩 동역학에 포함된 미지의 비선형 함수 $\xi_i$는 뉴럴 네트워크를 이용하여

와 같이 근사화될 수 있다. 여기서 $W_i^* \in \mathbb{R}^{m \times 1}$은 최적 가중치 벡터(optimal weight vector), $m$은 노드 수, $\Phi_i(S_i) \in \mathbb{R}^{m \times 1}$는 가우시안 함수 벡터(Gaussian function vector), $\varepsilon_i$는 근사 오차이다. 식 (12)에서 근사하는 식 (9)의 $\xi_i$는 가정 1로부터 유계이므로 다음과 같은 가정을 도입한다.

가정 2: 모든 차량 $i = 1, \dots, n$에 대해 미지의 최적 가중치 $W_i^*$와 근사 오차 $\varepsilon_i$는 유계이다. 따라서, 양의 상수 $\bar{W}_i$, $\bar{\varepsilon}_i$가 존재하여 $\|W_i^*\| \le \bar{W}_i$, $|\varepsilon_i| \le \bar{\varepsilon}_i$를 만족한다. 여기서 $\|\cdot\|$는 유클리드 노름(Euclidean norm)이다.

비고 3: 범용 근사 정리(universal approximation theorem) ^[21]에 의해, 뉴럴 네트워크의 노드 수가 충분히 크면 식 (9)의 미지 비선형 함수 $\xi_i$는 임의의 작은 오차로 근사될 수 있다. 따라서 근사 오차 $\varepsilon_i$는 뉴럴 네트워크 구조 선택에 따라 충분히 작게 설정될 수 있으며, 본 논문에서는 이를 유계 불확실성으로 고려한다.

식 (12)를 기반으로 $\xi_i$의 추정치는

와 같이 설계되며, 여기서 $W_i^*$의 추정치 $\hat{W}_i$는

로부터 얻는다. $\gamma_{wi} > 0$는 적응 이득 상수이다.

식 (13)을 기반으로 $i$번째 차량의 제어 입력을

와 같이 설계한다. 여기서 $k_i, k_{si}, a_i > 0$는 제어 이득 상수이고, 미지의 입력 이득 파라미터 $M_i$의 추정치 $\hat{M}_i$는

로부터 얻는다. 여기서 $\gamma_{mi} > 0$는 적응 이득 상수이다.

그림 2는 제안하는 양방향 플래툰 제어 방법의 전체 구조를 나타낸다. 제안 방법은 일치 및 불일치 외란을 포함하는 미지의 비선형 함수를 식 (13)의 뉴럴 네트워크를 통해 근사하고, 이를 식 (15)의 제어 입력에서 보상한다. 또한 차량 무게 $M_i$를 알려진 값으로 가정하는 기존 연구^{[15], [16], [19]}와 달리, 본 논문에서는 식 (9)에 포함된 $\Omega_i$ 항을 보상하기 위해 $M_i$를 미지의 입력 이득 파라미터로 고려하고, 식 (16)의 적응 법칙을 통해 추정함으로써 입력 이득 불확실성을 보상한다.

비고 4: 양방향 플래툰 시스템은 인접 차량 정보만으로 식 (15)의 제어 입력을 구성하므로, 리더 차량 또는 원거리 차량 정보를 요구하는 기존 플래툰 제어 방법^{[4], [9], [10]}에 비해 통신 부담이 작다. 또한 식 (5)의 결합 적분 슬라이딩 평면에서 차량 간 연결 구조를 조정하면, 제안 방법은 선도-선행 추종(leader-predecessor following)을 포함한 다양한 통신 토폴로지로 확장될 수 있다.

비고 5: 기존 강인 제어 방법^{[4], [5]}에서는 떨림 현상을 완화하기 위해 일반적으로 부호(sign) 함수를 포화(saturation) 함수로 근사한다. 이 경우 간격 오차의 궁극적 유계성만을 보장하는 데 그친다. 반면, 제안한 방법은 식 (15)의 $k_{si}^2 S_i / (|S_i|k_{si} + \exp(-at))$를 사용하여 떨림 현상을 억제하면서도 간격 오차의 점근적 안정성을 보장한다.

그림 2 양방향 플래툰 시스템을 위한 제안한 뉴럴 네트워크 기반 적응 적분 슬라 이딩 제어 구조

Fig. 2 Control structure of the proposed neural network-based adaptive integral sliding mode control for bidirectional platooning

3.3 안정성 증명

식 (15)에서 제안한 뉴럴 네트워크 기반 적응 적분 슬라이딩 모드 제어기의 안정성은 다음 정리 1에서 설명된다.

정리 1(양방향 플래툰 시스템을 위한 뉴럴 네트워크 기반 적응 적분 슬라이딩 모드 제어기): 모든 차량 $i = 1, \dots, n$에 대해 식 (15)의 제어 이득 $k_{si}$가 $k_{si} \ge |qh\varepsilon_i|$를 만족하도록 설계되면, $S_i, s_i$가 점근적으로 영에 수렴한다. 이에 따라 식 (3)의 간격 오차 $\bar{e}_i$ 또한 점근적으로 영에 수렴한다.

증명: 모든 차량 $i = 1, \dots, n$에 대해 리아푸노프 후보 함수(Lyapunov candidate function) $V$를

와 같이 정의한다. 여기서 $\tilde{W}_i := W_i^* - \hat{W}_i$와 $\tilde{M}_i := M_i - \hat{M}_i$ 각각 뉴럴 네트워크 가중치 추정 오차와 차량 무게 추정 오차를 나타낸다. 식 (9), (12)를 이용하여 식 (17)을 시간에 대해 미분하면

을 얻는다. 여기에 식 (15)의 제어 입력 $u_i$를 대입하면

와 같이 정리된다. 또한 식 (14)의 $\dot{\hat{W}}_i$와 식 (16)의 $\dot{\hat{M}}_i$를 식 (19)에 대입하면

이 성립한다. 이때 식 (20)의 두 번째 항은

을 항상 만족하므로, 식 (20)은

와 같이 정리된다. 가정 1과 식 (12)로부터 유계인 $\varepsilon_i$에 대해 제어 이득 $k_{si}$가 $k_{si} \ge |qh\varepsilon_i|$를 만족하면

이 성립한다. 식 (23)의 양변을 시간에 대해 적분하면

를 얻을 수 있으며, 이로부터 $\sum_{i=1}^n \int_0^t S_i^2(\tau) d\tau < \infty$이므로 $S_i \in L_2$이다. 또한 식 (3)–(5)와 식 (9), 가정 1로부터 $S_i \in L_\infty$와 $\dot{S}_i \in L_\infty$임을 알 수 있으므로 Barbalat의 보조정리^[22]에 의해 $S_i$는 점근적으로 영에 수렴하게 된다. 한편, 식 (5)로부터 모든 차량 $i = 1, \dots, n$에 대한 $S_i$와 $s_i$의 관계는

와 같이 나타낼 수 있다. 여기서 $Q \in \mathbb{R}^{n \times n}$는 상수 $q > 0$를 대각 원소로 갖는 가역 행렬(invertible matrix)이다. 따라서 $S_i$가 점근적으로 영에 수렴하면, $s_i$ 또한 점근적으로 영에 수렴한다. 결론적으로 $s_i \to 0$일 때, 식 (4)로부터 간격 오차 동역학은 안정한 1차 선형 시스템 형태 $\dot{\bar{e}}_i = -k_I \bar{e}_i$로 주어지므로, 따라서 적절한 제어 이득 $k_I > 0$에 의해 간격 오차 $\bar{e}_i$ 또한 점근적으로 영에 수렴한다. ∎

식 (15)에 의해 $S_i$가 점근적으로 영에 수렴함은 정리 1에서 보였다. 다음 정리에서는 슬라이딩 평면 $S_i = 0$ 상에서 전체 플래툰 시스템의 끈 안정성이 보장됨을 보인다.

정리 2(슬라이딩 평면상에서 플래툰 시스템의 끈 안정성): 슬라이딩 평면 $S_i = 0$ 상에서 식 (5)의 결합 이득 $q$를 $0 < q \le 1$와 같이 설정하면, 전체 플래툰 시스템은 끈 안정성을 만족한다.

증명: 슬라이딩 평면 $S_i = 0$ 상에서 식 (4), (5)로부터

를 얻는다. 식 (3)에서 $\bar{e}_i(0) = 0$이므로 식 (26)의 양변에 라플라스 변환을 취하면

이다. 따라서 차량 $i$와 후행 차량 $i+1$ 사이의 오차 전파 전달함수 ^{[5], [11], [15], [16]} $H_i(s)$는

와 같이 정리된다. 이때 $q$를 $0 < q \le 1$와 같이 설정하면 $|H_i(s)| \le 1$가 성립되므로, 간격 오차는 후행 차량으로 전파되는 과정에서 증폭되지 않는다. 따라서 $S_i = 0$인 슬라이딩 평면상에서 간격 오차는 후행 차량으로 전파되는 과정에서 증폭되지 않으며, 전체 플래툰 시스템은 점근적 끈 안정성을 만족한다. ∎

비고 6: 식 (28)은 $S_i = 0$인 슬라이딩 평면상에서 성립하는 간격 오차 전파 관계로서, 본 논문의 끈 안정성 해석은 시스템의 점근적 거동을 대상으로 한다. 식 (11)의 필터 위상 지연을 포함한 과도상태의 주파수 영역 끈 안정성 해석은 향후 연구에서 다룰 예정이다.

다음 장에서는 모의실험을 통해 제안한 제어기의 성능과 유효성을 검증한다.

4.1 모의실험 환경 설정

모의실험에서는 그림 1과 같이 총 6대($n = 6$)의 플래툰 차량과 1대의 가상 선두 차량($i = 0$)으로 구성된 플래툰 시스템을 고려한다. 기준 궤적은 ^{[15], [16]}에서와 같이 가상 선두 차량의 가속도

를 적분하여 생성하였다. 차량의 초기 위치와 속도, 동역학 파라미터, 일치 및 불일치 외란을 포함한 주요 모의실험 파라미터는 표 1에 정리하였다. 또한 제안 방법의 설계 파라미터와 제어 및 적응 이득은 시행착오를 통해 조정하였으며, 그 값을 표 1에 함께 제시하였다. 실제 주행 환경과 센서 잡음에 대한 강인성을 검증하기 위해, 차량의 속도 및 가속도 정보에는 각 신호 크기의 최대 5%에 해당하는 영평균 가우시안 무작위 잡음(zero-mean Gaussian random noise)을 추가하였다. 공정한 성능 비교를 위해 기준 궤적과 일치 외란은 기존 방법 ^{[15], [16]}에서 사용한 것과 동일하게 설정하였으며, 비교 대상 방법의 제어 파라미터 역시 시행착오를 통해 조정하였다.

4.2 모의실험 결과

그림 3–5는 제안 방법과 비교 대상인 C1, C2 ^[15], C3 ^[16] 방법과의 플래툰 제어 성능을 비교한 결과이다. 그림 3(a)–3(d)는 각 방법에 따른 간격 오차 응답을 비교한다. 제안한 방법은 일치 및 불일치 외란이 작용하는 약 4–7초 구간에서도 변동 없이 빠르게 영으로 수렴하였다. 반면, C1과 C2 방법은 일치 및 불일치 외란을 충분히 보상하지 못해 상대적으로 큰 간격 오차 변동을 보였으며, C3 방법은 동역학 파라미터 불확실성의 영향으로 약간의 변동이 발생하였다. 그림 4(a)–4(d)는 각 제어 방법의 적분 슬라이딩 평면 응답을 비교한 결과이다. 제안한 방법의 슬라이딩 변수는 가장 안정적으로 영에 수렴하였으며, 이는 제안한 뉴럴 네트워크 기반 보상 및 적응 제어 구조가 불확실성과 외란에 대해 효과적으로 작동함을 의미한다. 그림 5(a)–5(d)는 각 제어 방법의 제어 입력을 비교한 결과이다. 제안한 방법은 비고 5에서 설명한 바와 같이 떨림 현상을 억제하였으며, 외란이 크게 작용하는 약 6초 부근에서도 비교 방법들보다 작은 피크를 보였다. 이는 제안한 방법이 외란을 효과적으로 보상하면서도 제어 입력을 보다 효율적으로 사용함을 보여준다.

그림 3 제안한 방법과 비교 방법들의 간격 오차 응답 비교

Fig. 3 Comparison of spacing error responses between the proposed and comparative methods

그림 4 제안한 방법과 비교 방법들의 적분 슬라이딩 평면 응답 비교

Fig. 4 Comparison of integral sliding surface responses between the proposed and comparative methods

그림 5 제안한 방법과 비교 방법들의 제어 입력 비교

Fig. 5 Comparison of control inputs between the proposed and comparative methods

그림 6은 제안한 방법에서 간격 오차 정책에 따른 과도 응답 특성과 외란 하에서의 끈 안정성을 검증한 결과이다. 그림 6(a)는 식 (3)의 MCTH 정책을 적용한 경우, 그림 6(b)는 식 (3)에서 $\psi_i = 0$으로 설정하여 일반적인 CTH 정책을 적용한 경우의 간격 오차를 0–2.5초 구간에서 비교한 것이다. MCTH 정책을 적용한 경우, 모든 차량의 간격 오차는 오버슈트 없이 약 1초 부근에서 영으로 수렴하였다. 반면 일반적인 CTH 정책에서는 약 49 cm의 오버슈트와 진동이 발생한 후 수렴하였다. 이는 MCTH 정책이 초기 간격 및 속도 오차에 의한 과도 응답을 효과적으로 완화함을 보여준다. 그림 6(c)는 일치 및 불일치 외란이 작용하는 약 4–7초 구간의 확대 결과로, 간격 오차가 후행 차량으로 전파되는 과정에서 증폭되지 않음을 보여준다. 따라서 제안한 방법은 외란이 존재하는 경우에도 전체 플래툰 시스템의 끈 안정성이 유지됨을 확인할 수 있다.

그림 6 MCTH 정책의 과도 응답 개선 효과와 외란 하에서의 끈 안정성 검증

Fig. 6 Verification of transient response improvement by the MCTH policy and string stability under disturbances

표 2는 제안한 방법과 C1, C2 ^[15], C3 ^[16] 방법에 대해 간격 오차의 평균 절대 오차(mean absolute error, MAE)와 평균 제곱근 오차(root mean squared error, RMSE)를 비교한 결과이다. MAE와 RMSE는 전체 샘플 수 $T$에 대해 각각 $\text{MAE} = \sum_{i=1}^6 \sum_{k=0}^T |e_i(k)| / 6T$, $\text{RMSE} = \sum_{i=1}^6 \sum_{k=0}^T (\sqrt{e_i^2(k)/T}) / 6$와 같이 계산하였다 ^[16]. 비교 결과, 제안한 방법은 MAE와 RMSE 모두에서 가장 작은 값을 보였으며, 기존 방법들에 비해 우수한 간격 오차 제어 성능을 갖는 것을 확인하였다.

그림 7 뉴럴 네트워크 기반 집약 외란 추정 결과

Fig. 7 Neural network-based estimation results of lumped disturbances

그림 8 적응 법칙 기반 차량 무게 추정 결과

Fig. 8 Adaptive estimation results of vehicle masses

그림 7은 식 (13)의 뉴럴 네트워크를 통해 식 (9)의 집약 외란을 근사한 $\hat{\xi}_i$의 결과를 나타내며, 그림 8은 식 (16)의 적응 법칙을 통해 미지의 입력 이득 파라미터인 차량 무게를 추정한 $\hat{M}_i$의 결과를 보여준다. 식 (14)와 (16)의 적응 법칙은 정리 1에서 슬라이딩 변수가 영으로 수렴하도록 설계되었으므로, 그림 4(a)의 슬라이딩 평면 수렴 결과는 그림 7과 그림 8의 추정 성능이 제어 목적 달성에 효과적으로 기여했음을 보여준다. 또한 그림 7의 집약 외란 추정 결과는 실제 인가된 일치 및 불일치 외란의 변화 양상과 유사한 경향을 보였으며, 그림 8에서는 약 4초 부근에서 추정값이 크게 조정된 후 모든 차량의 추정값이 일정한 상수로 잘 수렴하였다.

표 3은 식 (13)의 뉴럴 네트워크 노드 수에 따른 간격 오차의 MAE, RMSE 및 평균 연산 시간을 정리한 결과이다. 모의실험은 AMD Ryzen Threadripper PRO 5975WX와 512GB RAM 환경에서 MATLAB Simulink를 이용하여 수행하였다. 표 3에서 노드 수가 증가하더라도 MAE와 RMSE의 개선 폭은 크지 않은 반면에, 평균 연산 시간은 노드 수에 따라 크게 증가하는 경향을 보였다. 본 논문에서 사용한 32개의 노드는 제어 주기 10ms의 절반 이하의 연산 시간을 유지하면서도 가장 작은 MAE와 RMSE를 보였으므로, 성능과 계산 효율성을 동시에 고려한 적절한 선택으로 판단된다.

그림 3–8과 표 2, 3의 결과는 제안한 양방향 플래툰 제어 방법이 기존 방법들보다 우수한 간격 오차 제어 성능을 가지며, 일치 및 불일치 외란과 동역학 파라미터 불확실성 하에서도 강인한 플래툰 제어 성능을 제공함을 보여준다.