2.1 LLC 공진형 컨버터의 회로 구성

그림 1은 회로에 포함된 다양한 기생 커패시턴스를 고려한 LLC 공진형 컨버터의 회로도를 나타낸다. 회로에는 1차측 스위치 $Q_1$과 $Q_2$의 기생 커패시턴스 $C_{ossp1}$ 및 $C_{ossp2}$뿐만 아니라 변압기 권선의 기생 커패시턴스 $C_w$, 2차측 정류 다이오드의 기생 커패시턴스 $C_{osss1}$~$C_{osss4}$가 포함된다. 이러한 기생 커패시턴스는 스위칭 구간에서 공진전류의 경로 및 전압 변화에 영향을 미치며 스위치의 기생 커패시턴스는 데드타임 동안 ZVS가 형성되는 과정에 가장 직접적인 영향을 미친다.

또한 본 논문에서는 그림 1과 같이 1차측 스위치를 하프 브릿지(Half-bridge)로 구성하며 공진 커패시터 $C_r$을 상단 공진 커패시터 $C_{r1}$과 하단 공진 커패시터 $C_{r2}$로 분할한 스플릿(Split) 공진 커패시터 구조의 LLC 공진형 컨버터를 채택한다. 해당 구조에서는 상·하단의 공진 커패시터에 흐르는 전류의 크기가 공진 인덕터 전류의 절반이므로 각 공진 커패시터에 가해지는 전류 스트레스를 감소시킨다는 장점이 있다.

2.2 데드타임 구간의 ZVS 동작 및 바디 다이오드 도통 손실

LLC 공진형 컨버터의 1차측 공진 전류 $i_{Lr}$은 데드타임 동안 스위치의 기생 커패시턴스를 충·방전시킴으로써 다음 스위칭 구간에서 턴온되는 스위치의 ZVS 동작을 자연스럽게 달성하도록 한다. 그러나 설정된 데드타임이 스위치 기생 커패시턴스의 충·방전에 필요한 시간보다 짧은 경우 다음 반주기에 켜질 스위치가 턴온되는 시점까지 스위치 양단 전압이 완전히 0 V로 감소하지 못하므로 이 경우 잔류 전압으로 인한 턴온 손실이 발생하며 ZVS를 달성하지 못한다. 그림 2는 공진주파수 이하 영역에서의 LLC 공진형 컨버터의 주요 동작 파형으로 그림 2(a)는 해당 영역에서의 정상상태 동작 파형이며 그림 2(b)는 그림 2(a)의 데드타임 구간인 $t_0$~$t_2$ 구간을 확대한 파형이다. 이 경우 데드타임은 $C_{ossp}$가 충·방전되어 $V_{ds,Q1}$이 0 V에 도달하기까지 필요한 시간인 $t_{zvs}$($t_0$~$t_1$)보다 과도하게 길다. 따라서 $V_{ds,Q1}$이 0 V로 감소한 이후에도 $i_{Lr}$이 스위치의 바디 다이오드를 통해 흘러 바디 다이오드 도통 손실이 발생하게 되며 이러한 바디 다이오드 도통 손실은 $t_1$~$t_2$의 도통 시간이 증가할수록 증가한다. 이는 LLC 공진형 컨버터의 ZVS 동작 및 바디 다이오드 도통 손실이 데드타임의 설정과 밀접한 관계를 가진다는 것을 시사한다. 또한 그림 2(b)로부터 ZVS를 보장하면서 불필요한 바디 다이오드 도통 손실을 최소화하기 위해서는 데드타임을 $t_{zvs}$보다 크면서 $t_{zvs}$에 최대한 가깝게 유지하여야 한다. 따라서 전체 운전영역에서 ZVS를 보장하면서 바디 다이오드 도통 손실을 최소화하기 위해서는 운전조건에 따라 변화하는 $t_{zvs}$를 적절하게 산정하고 이에 대응하여 데드타임을 설정하는 것이 중요하다.

3.1 t0~t1 구간의 tzvs

그림 3은 데드타임 구간에서의 등가회로로 그림 3(a)는 그 중 그림 2의 $t_0$~$t_1$ 구간에 대한 등가회로를 나타낸다. 해당 구간은 스위치의 기생 커패시턴스가 충·방전되는 매우 짧은 시간 구간이므로 그림 2(b)에서와 같이 $t_0$와 $t_1$ 시점에서의 상·하단 공진 커패시터의 전압 변화가 매우 작다고 가정할 수 있다. 이에 따라 $t_0$~$t_1$ 구간에서의 상·하단 공진 커패시터 전압을 각 전압원 $V_{Cr10}$, $V_{Cr20}$으로 나타낼 수 있고 여기서 $V_{Cr10}$ 및 $V_{Cr20}$은 각각 $t_0$ 시점에서의 상·하단 커패시터 전압을 의미한다. 또한 동일한 구간에서 자화전류 $i_{Lm}$의 변화 역시 매우 작다고 가정하면 해당 구간에서의 자화전류를 전류원 $I_{Lm0}$로 나타낼 수 있고 이는 $t_0$ 시점에서의 자화전류를 의미한다. 한편 $C_{eq}$는 변압기 권선의 기생 커패시턴스와 2차측 정류 다이오드의 기생 커패시턴스를 1차측으로 환산하여 합산한 등가 커패시턴스를 나타낸다.

$t_0$~$t_1$ 구간의 경우 다음 반주기에 턴온되는 상단 스위치 $Q_1$의 ZVS 동작을 달성하기 위해서 $C_{ossp1}$이 방전된다. 따라서 해당 구간에서는 그림 3(b)의 상단 루프의 등가회로를 기준으로 하여 $t_{zvs}$ 관련 수식을 유도한다. 상단 루프에 키르히호프 전압 법칙(Kirchhoff’s Voltage Law, KVL)을 적용하면 식 (1)과 같이 나타낼 수 있다.

여기서 $v_{Cossp1}$은 상단 스위치의 기생 커패시터 전압을 나타낸다. 또한 식 (1)의 양변을 시간에 대해 미분하면 식 (2)를 얻을 수 있다.

또한 노드 A와 노드 C에서 각각 키르히호프 전류 법칙(Kirchhoff’s Current Law, KCL)을 적용하면 $C_{ossp1}$ 및 $C_{eq}$의 전압 변화율에 대한 식을 식 (3), (4)와 같이 나타낼 수 있다.

이후 식 (3), (4)를 식 (2)에 대입한 후 정리하면 공진전류 $i_{Lr}(t)$에 대한 2차 미분방정식을 식 (5)와 같은 형태로 얻을 수 있다.

여기서 $C_{ossp}$는 상·하단 스위치 기생 커패시턴스의 합으로 $C_{ossp} = C_{ossp1} + C_{ossp2}$로 정의된다. 또한 식 (5)로부터 $i_{Lr}(t)$에 대한 일반해를 식 (6)과 같이 얻을 수 있다.

여기서 $k_1$과 $k_2$는 회로의 초기조건에 의해 결정되는 미정계수이며 $\omega_0$는 공진 각주파수로 식 (7)과 같이 정의된다.

그림 2(b)에서 확인할 수 있듯이 $t_0$ 시점에서 공진전류와 자화전류의 차이가 매우 작으므로 해석의 단순화를 위해 $i_{Lr}(t_0) = i_{Lm}(t_0) = I_{Lm0}$라고 가정하면 식 (6)으로부터 $k_1$은 식 (8)과 같이 얻을 수 있다.

또한 식 (6)을 시간에 대해 미분한 후 이를 앞선 식 (1)에 대입하고 $t_0$ 시점에 대해 정리하면 $k_2$를 식 (9)와 같이 얻을 수 있다.

따라서 식 (8), (9)를 식 (6)에 대입하면 $t_0$~$t_1$ 구간에서의 공진전류 $i_{Lr}(t)$를 식 (10)과 같이 나타낼 수 있으며 앞선 $i_{Lr}(t_0) = i_{Lm}(t_0) = I_{Lm0}$의 가정을 통해서 식 (10)에서의 $I_{Lm0}$를 턴오프 시점에서의 공진전류 $I_{Lr-off}$로 치환하면 식 (11)과 같이 정리할 수 있다.

그리고 식 (3)에 대해 양변을 $t_0$부터 임의의 시점 $t$ 구간에 대해 적분한 후 상단 스위치 $Q_1$의 기생 커패시터 전압 $v_{Cossp1}(t)$에 대해 정리하면 식 (12)와 같다.

여기서 $t_0$ 시점에서의 상단 스위치 $Q_1$은 OFF 상태이며 상단 스위치의 기생 커패시터 양단에는 입력전압 $V_{in}$이 인가되어 있으므로 $v_{Cossp1}(t_0) = V_{in}$으로 둘 수 있다. 이후 식 (11)을 식 (12)에 대입하고 적분하면 $t_0$부터 임의의 시점 $t$ 구간에서의 상단 스위치의 기생 커패시터 전압 $v_{Cossp1}(t)$를 식 (13)과 같이 나타낼 수 있다.

해당 구간에서 상단 스위치 $Q_1$이 ZVS 조건에서 켜지기 위해서는 게이트 신호가 인가되기 전에 $Q_1$의 드레인-소스 전압 즉, $Q_1$의 기생 커패시터 전압이 0 V에 도달하여야 한다. 따라서 $t_1$에서의 ZVS 조건은 식 (14)와 같이 정의된다.

식 (14)로부터 $t_1 - t_0 = t_{zvs}$이므로 이를 식 (15)와 같이 나타낼 수 있다.

식 (15)의 경우 $t_{zvs}$에 대한 초월함수의 형태이므로 직접적으로 해를 구하기 어렵다. 일반적으로 수치해석법을 통해 해를 구할 수 있으나 이 경우 실시간 제어기에서 직접 계산하기에는 연산 부담이 크기 때문에 적응형 데드타임에 적용하기에는 적합하지 않다. 따라서 본 논문에서는 삼각함수에 2차 매클로린 급수 근사를 적용하여 $t_{zvs}$에 대한 간단한 해석식을 도출한다. 식 (16)은 식 (15)에 매클로린 급수 근사를 적용한 후 정리한 식이며 이 경우 $t_{zvs}$에 대한 2차 방정식을 얻을 수 있다. 이후 근의 공식을 통해 $t_{zvs}$에 대한 해를 식 (17)과 같은 형태로 도출할 수 있다.

식 (16)로부터 식 (17)에서의 A와 B는 각각 식 (18), (19)로 정의된다.

식 (17)에서 알 수 있듯이 $t_{zvs}$는 $I_{Lr-off}$에 직접적인 영향을 받는다. $I_{Lr-off}$가 증가할수록 기생 커패시터의 충·방전 속도는 증가하여 $t_{zvs}$는 감소하는 경향을 나타내며 반대로 $I_{Lr-off}$가 감소할수록 $t_{zvs}$는 증가한다. 또한 식 (17)에서는 $t_0$ 시점에서의 상단 공진 커패시터 전압 $V_{Cr10}$이 포함되므로 운전조건에 따른 $t_{zvs}$를 계산하기 위해서는 $V_{Cr10}$에 대한 해석식이 필요하다. 따라서 다음 절에서는 $t_2$~$t_3$ 구간에서의 등가회로를 해석함으로써 $V_{Cr10}$을 운전조건에 대한 함수로 도출한다.

3.2 t2~t3 구간의 VCr10

그림 4는 $t_2$~$t_3$ 구간에서의 등가회로를 나타낸다. 해당 구간에서는 2차측 정류 다이오드가 도통하여 에너지가 출력측으로 전달되는 구간으로 자화 인덕터 양단에는 2차측 출력전압을 1차측으로 환산한 $n V_{out}$이 인가된다. 따라서 $C_{r1}$, $L_r$, $L_m$로 구성되는 루프에 대해 KVL을 적용하면 식 (20)과 같이 나타낼 수 있다.

또한 공진 커패시터의 전류-전압 관계식으로부터 $i_{Lr}(t)$와 $v_{Cr1}(t)$의 관계를 식 (21)과 같이 나타낼 수 있으며 해당 식을 시간에 대해 미분하면 식 (22)을 얻을 수 있다. 또한 여기서 $C_r$은 상·하단 공진 커패시턴스를 합산한 값으로 $C_r = C_{r1} + C_{r2}$ 로 정의된다.

식 (22)을 식 (20)에 대입한 후 정리하면 $t_2$~$t_3$ 구간에서의 $v_{Cr1}(t)$에 대한 2차 미분방정식을 식 (23)과 같이 얻을 수 있고 식 (23)로부터 $v_{Cr1}(t)$에 대한 일반해는 식 (24)와 같이 나타낼 수 있다. 식 (23)에서의 $\omega_1$은 공진 각주파수로 식 (25)와 같이 정의된다.

참고문헌 ^[11]에서는 식 (24)에서의 계수 $k_3$를 입력측 전하량과 입·출력의 에너지 관계를 이용하여 식 (26)과 같이 도출하였으며 본 논문에서는 해당 결과를 이용하여 $V_{Cr10}$에 대한 수식을 유도한다.

식 (24)로부터 $t_2$ 시점에서의 상단 공진 커패시터 전압 $V_{Cr12}$는 식 (27)과 같이 나타낼 수 있다. 또한 그림 2(b)에서 확인할 수 있듯이 $t_0$~$t_2$ 구간은 스위칭 주기에 비해 매우 짧기 때문에 해당 구간에서의 공진 커패시터 전압 변화는 거의 없다. 따라서 $V_{Cr12} \approx V_{Cr10}$이라고 가정하면 $V_{Cr10}$은 식 (26)를 식 (27)에 대입하여 식 (28)과 같이 정리하여 나타낼 수 있다.

3.3 t4~t5 구간의 tzvs

$t_4$~$t_5$ 구간에서는 다음 반주기에 켜지는 하단 스위치 $Q_2$의 ZVS 동작을 달성하기 위해서 $C_{ossp2}$가 방전된다. 따라서 해당 구간에서는 그림 5의 하단 루프의 등가회로를 기반으로 $t_{zvs}$ 관련 수식을 유도한다. 하단 루프에 KVL을 적용하면 식 (29)와 같이 나타낼 수 있고 여기서 $v_{Cossp2}$는 하단 스위치의 기생 커패시터 전압을 나타낸다. 또한 식 (29)를 시간에 대해 미분하면 식 (30)을 얻을 수 있으며 노드 A와 C에 각각 KCL을 적용하면 식 (31)와 식 (32)을 얻을 수 있다.

앞서 $t_0$~$t_1$ 구간에서 수행한 유도 과정과 동일하게 식 (31), (32)을 식 (30)에 대입하여 정리하면 $i_{Lr}(t)$에 대한 2차 미분방정식을 식 (33)과 같이 얻을 수 있고 이로부터 $t_4$~$t_5$ 구간에서의 공진전류 $i_{Lr}(t)$에 대한 일반해를 식 (34)와 같이 나타낼 수 있다.

여기서 $k_5$와 $k_6$는 회로의 초기조건에 의해 결정되는 미정계수이며 $i_{Lr}(t_4) = i_{Lm}(t_4) = I_{Lm4}$라고 가정하면 식 (34)으로부터 $k_5$는 식 (35)와 같이 구할 수 있다. 또한 식 (34)를 시간에 대해 미분한 후 앞선 식 (29)에 대입하고 $t_4$ 시점에 대해 정리하면 $k_6$를 식 (36)와 같이 구할 수 있다.

따라서 $I_{Lm4}$를 턴오프 시점에서의 공진전류 $I_{Lr-off}$로 치환하고 식 (35), (36)를 식 (34)에 대입하면 $t_4$~$t_5$ 구간에서의 공진전류 $i_{Lr}(t)$를 식 (37)과 같이 나타낼 수 있다.

그리고 식 (31)에 대해 양변을 $t_4$부터 임의의 시점 $t$ 구간에 대해 적분하면 $v_{Cossp2}(t)$를 식 (38)과 같이 나타낼 수 있다.

이후 식 (38)에 식 (37)를 대입하고 정리하면 $t_4$부터 임의의 시점 $t$ 구간에서의 $v_{Cossp2}(t)$를 구할 수 있다. 또한 $Q_2$가 ZVS 조건에서 켜지기 위해서는 $Q_2$의 게이트 신호가 인가되기 전에 $v_{Cossp2}$가 0 V에 도달해야 한다. 따라서 이로부터 $t_5 - t_4 = t_{zvs}$이고 앞서 $t_0$~$t_1$ 구간에서와 동일하게 삼각함수에 2차 매클로린 급수 근사를 적용하면 $t_{zvs}$에 대한 2차 방정식을 식 (39)와 같이 얻을 수 있으며 그 해는 식 (40)과 같이 나타낼 수 있다.

식 (39)로부터 식 (40)에서의 C와 D는 각각 식 (41), (42)로 정의된다.

여기서 $V_{Cr24}$는 $t_4$ 시점에서의 하단 공진 커패시터 전압을 나타낸다. $V_{Cr24}$는 앞서 $V_{Cr10}$을 유도한 과정과 동일하게 $t_6$~$t_7$ 구간에서의 등가회로를 해석함으로써 도출할 수 있지만 그림 2(a)에서와 같이 정상상태에서 상·하단 공진 커패시턴스가 동일할 경우 각 반주기의 동작이 대칭적이므로 $V_{Cr24}$는 $V_{Cr10}$과 같다고 근사할 수 있다. 따라서 $V_{Cr24} \approx V_{Cr10}$으로 두면 $t_4$~$t_5$ 구간에서의 C에 대한 수식을 식 (43)과 같이 나타낼 수 있다.

또한 다음 반주기에 켜지는 스위치가 $Q_1$인 $t_0$~$t_1$ 구간과 $Q_2$인 $t_4$~$t_5$ 구간에서는 기생 커패시터를 방전시키는 공진전류의 방향이 서로 반대이다. 따라서 $t_{zvs}$ 계산 시 $I_{Lr-off}$의 부호를 고려해야 하며 그림 3(a)에 정의된 공진전류 방향을 기준으로 했을 경우 $t_0$~$t_1$ 구간에서 $C_{ossp1}$을 방전시키는 전류의 부호는 음수가 되고, $t_4$~$t_5$ 구간에서 $C_{ossp2}$를 방전시키는 전류의 부호는 양수가 된다. 이로부터 본 논문에서는 턴오프 시점에서 측정된 $I_{Lr-off}$의 부호에 따라 각각 식 (17)과 식 (40)을 적용하여 다음 스위칭 동작에 필요한 $t_{zvs}$를 산정한다.

4.1 운전조건별 턴오프 공진전류 ILr-off 분석

표 1은 LLC 공진형 컨버터의 주요 파라미터를 나타낸다. 본 컨버터는 입력전압 192 V에서 공진점 부근으로 동작하도록 설계하였다. 따라서 192 V보다 낮은 입력전압에서는 공진주파수 이하 영역에서 동작하며 192 V보다 높은 입력전압에서는 공진주파수 이상 영역에서 동작한다.

그림 6은 입력전압 및 부하조건에 따른 턴오프 시점에서의 공진전류 $I_{Lr-off}$를 나타내며 그림 6(a)는 공진주파수 이하 영역에 해당한다. 해당 영역에서는 부하가 100 %에서 40 %까지 감소함에 따라 $I_{Lr-off}$가 점차 증가하는 특성을 보인다. 이는 부하 변화에 따라 공진 커패시터의 전압과 공진전류가 변하고, 그림 2(a)에서의 $t_3$~$t_4$와 같은 불연속 도통 모드(Discontinuous Conduction Mode, DCM) 구간 동안의 공진전류 기울기가 증가하기 때문이다. 이후 부하가 30 % 이하의 매우 낮은 영역으로 감소하면 출력측으로 전달되는 부하전류 성분의 감소가 지배적으로 나타나면서 $I_{Lr-off}$가 다시 감소하는 경향을 보인다. 또한 동일한 부하조건에서는 입력전압이 160 V인 경우에 $I_{Lr-off}$가 크게 나타난다. 이는 160 V가 공진점으로부터 가장 멀리 떨어진 운전점으로 출력전압을 일정하게 유지하기 위해 더 높은 전압이득이 요구되기 때문이다. 이에 따라 공진주파수보다 낮은 스위칭 주파수에서 동작하게 되며 식 (44)로부터 스위칭 주파수가 감소함에 따라 자화전류 성분은 증가하는 경향을 가지므로 $I_{Lr-off}$ 또한 상대적으로 크게 나타난다^{[12- 13]}.

그림 6(b)는 공진점에서의 부하조건에 따른 $I_{Lr-off}$를 나타낸다. 공진점에서는 부하가 감소함에 따라 $I_{Lr-off}$가 전반적으로 감소하는 특성을 보인다. 이는 스위칭 주파수가 공진주파수 부근에서 유지되는 가운데 부하 감소에 따라 출력측으로 전달되는 부하전류 성분 감소에 대한 영향이 직접적으로 나타나기 때문이다.

그림 6(c)는 공진주파수 이상 영역에서 입력전압 및 부하조건에 따른 $I_{Lr-off}$를 나타낸다. 해당 영역에서는 모든 입력전압 조건에서 부하가 감소함에 따라 $I_{Lr-off}$가 감소하는 특성을 보인다. 이는 공진점에서와 유사하게 부하 감소에 따라 출력측으로 전달되는 부하전류 성분이 감소하기 때문이다.

4.2 운전조건별 tzvs 정확도 검증

본 절에서는 앞서 유도한 $t_{zvs}$에 대한 계산식의 유효성을 검증하기 위해 계산값과 PSIM 시뮬레이션에서 측정한 값인 $t_{zvs\_simulation}$을 전체 입력전압 및 부하조건에서 비교한다. 여기서 $t_{zvs\_simulation}$은 스위치의 기생 커패시터 전압이 0 V에 도달하여 ZVS 조건이 형성되는 데 소요되는 시간으로 ZVS를 보장하면서 불필요한 바디 다이오드 도통 시간을 최소화하기 위한 기준 데드타임으로 사용된다. 그림 7은 운전조건에 따른 $t_{zvs\_simulation}$과 계산된 $t_{zvs}$ 값을 나타낸 비교 그래프이며 그림 7(a)는 공진주파수 이하 영역에서의 결과를 나타낸다. 해당 영역에서의 동일한 입력전압 조건에서는 부하가 변하더라도 $t_{zvs\_simulation}$의 변화폭이 크지 않다. 이는 앞서 4.1절에서 분석한 바와 같이 공진주파수 이하 영역에서는 부하조건에 따라 $I_{Lr-off}$의 변화가 상대적으로 크지 않기 때문이다. 또한 해당 영역에서 입력전압 및 부하조건별로 계산된 $t_{zvs}$는 $t_{zvs\_simulation}$과 변화 경향이 유사하며 그 오차는 최대 5 ns 이내로 나타났다.

그림 7(b)는 공진점에서의 $t_{zvs\_simulation}$과 계산된 $t_{zvs}$ 값을 나타낸 비교 그래프이다. 앞서 4.1절에서 분석한 바와 같이 공진점에서는 부하가 감소함에 따라 $I_{Lr-off}$가 감소하므로 이에 따라 $t_{zvs\_simulation}$은 증가하는 경향이 나타난다. 다만 $I_{Lr-off}$의 변화폭이 크지 않으므로 부하 변화에 따른 $t_{zvs\_simulation}$의 변화폭도 상대적으로 크지 않다. 또한 부하조건별로 계산된 $t_{zvs}$는 $t_{zvs\_simulation}$과 유사한 변화 경향을 보이며 그 오차도 최대 5 ns 이내로 나타났다.

그림 7(c)와 그림 7(d)는 각각 공진주파수 이상 영역의 200~220 V와 230~240 V 입력전압 조건에서의 $t_{zvs\_simulation}$과 계산된 $t_{zvs}$를 나타낸 비교 그래프이다. 공진주파수 이상 영역에서도 공진점에서와 같이 부하가 감소할수록 $I_{Lr-off}$가 감소하므로 $t_{zvs\_simulation}$이 증가하는 특성이 나타난다. 다만 부하 변화에 따른 $I_{Lr-off}$의 변화폭이 비교적 크므로 $t_{zvs\_simulation}$의 증가폭 또한 크게 나타난다. 계산값 $t_{zvs}$는 이러한 변화 경향을 전반적으로 잘 반영하고 있고 최대 오차는 약 15 ns로 나타났다.

따라서 모든 입력전압 및 부하조건에서 계산된 $t_{zvs}$는 시뮬레이션으로부터 측정한 결과인 $t_{zvs\_simulation}$과 유사한 변화 경향을 나타내며 그 오차 또한 크지 않아 제안한 계산식이 운전조건에 따른 $t_{zvs}$의 변화를 적절하게 반영하는 것을 확인할 수 있다.