2.1 반사파 시스템의 수학적 표현

본 논문에서 사용하는 LFMCW 시스템은 그림. 1과 같이 주파수가 선형적으로 증가하는 첩 신호를 시간 축에서 연속으로 발생시키는 형태이며, 이것을 시간-주파수 영역에서 위그너-빌(Wigner-Ville) 분포 함수를 이용하여 관측할 경우 톱니(Saw Tooth) 모양의 신호 형태를 보인다. 위그너-빌 분포 함수는 시간 영역의 신호를 시간-주파수 영역으로 변환하여 관측한다^[7]. 선형 첩 신호는 잡음에 강인하고, 신호의 자기 상관 함수가 매우 좁은 시간 폭을 갖는 형태로 변환되는 신호 압축 특성을 갖기 때문에 반사파 시스템에 널리 사용된다^[8]. 한편 기준 신호는 다음과 같이 나타낸다.

그림. 1. 시간과 시간-주파수 영역에서의 기준 신호

Fig. 1. Reference signal in the time and time- frequency domains

여기서 $A$는 신호의 진폭, $\omega_{0}$는 신호의 중심 주파수, $\gamma$는 첩 신호의 주파수 증가율, $t_{p}$는 첩 신호의 주기, $p$는 첩 신호의 개수, $M$은 첩 신호의 총 개수 그리고 $\phi$는 기준 신호의 위상이다. 기준 신호는 신호 발생기를 통해 생성되고 케이블에 인가된 후 케이블에 임피던스 불일치 지점에서 반사되어 되돌아온 후 디지털 오실로 스코프로 취득된다. 취득한 데이터는 케이블을 전파하는 동안 감쇠, 시간 지연, 그리고 위상 변화를 갖는 반사파 신호의 합과 외부 잡음이 포함되어 있으며 다음 식과 같이 표현된다.

여기서, $k$는 되돌아온 반사파 신호, 즉 임피던스 불일치 지점의 개수이며, $N$은 불일치 지점의 총 개수, $t_{k}$는 반사파 신호의 시간 지연 값, $\phi_{k}$는 위상 변화 그리고 $w$는 외부 잡음이다. 케이블의 임피던스 불일치 지점에서 되돌아오는 반사파는 매질의 특성에 따라 그 크기가 변하는데 이는 반사 계수 $\Gamma_{k}$이며, 다음 식과 같이 표현된다.

여기서 $Z_{k}$ 는 임피던스 불일치 지점의 특성 저항 그리고 $Z_{0}$는 케이블의 특성 저항이다. 즉, 케이블 매질의 특성 저항 값과 결함의 특성 저항 값의 크기 차이에 따라 되돌아오는 반사파의 크기가 결정된다. 따라서, 반사 계수의 추정을 통해 임피던스 불일치 지점의 특성 저항 값을 측정할 수 있다. 또한, 반사파 데이터에 포함된 시간 지연 값은 기준 신호가 임피던스 불일치 지점까지 반사되어 되돌아온 시간이므로 케이블에서 기준 신호의 전파 속도를 통해 결함 위치 데이터로 환산 가능하며, 다음 식을 통해 구해진다.

여기서 $VOP$ 는 신호의 전파 속도이고 $L_{k}$는 임피던스 불일치 지점의 위치이다. 따라서, 반사파 신호가 되돌아온 시간 지연 값을 측정하면, 임피던스 불일치 지점, 즉, 결함 혹은 케이블 종단의 위치를 파악할 수 있다. 하지만 앞서 서술한 바와 같이 반사파가 케이블을 전파하며 발생하는 왜곡과 외부 잡음에 의하여 취득한 오실로스코프 데이터에서 반사파를 구별해내기는 쉽지 않다. 따라서 본 논문에서는 디지털 오실로스코프로부터 취득한 데이터에 존재하는 반사파를 잡음과 구분하고 정확한 시간 지연 추정을 통해 케이블의 결함 위치 추정을 수행한다.

2.2 결함 위치의 추정

본 논문에서는 취득한 데이터 안에서 되돌아온 기준 신호를 구분하기 위해 일차적으로 정합 필터를 적용한다. 정합 필터는 신호 대 잡음 비(Signal to Noise Ratio: SNR)를 최대화하는 선형 최적 필터로 알려져 있으므로 외부 잡음이 존재하는 데이터 안에서 반사 신호를 구분하기 위해 사용된다. 정합 필터의 출력 신호는 오실로스코프로부터 취득한 데이터 신호와 정합 필터의 전달함수의 콘볼루션(Convolution)이며, 다음 식과 같이 표현된다.

여기서 $h$는 정합 필터의 전달함수이다. SNR를 최대화하는 정합 필터 전달함수의 해는 $e^{*}(-t)$ 이므로 이를 식 (5)에 대입하면 다음 식과 같이 나타낼 수 있다.

여기서 $R_{ek},\: R_{ew}$는 각각 기준 신호와 $k$번째 반사파의 상호 상관 함수, 기준 신호와 잡음의 상호 상관 함수이다. 기준 신호와 반사파 간의 상호 상관 함수에는 식 (6)에서 알 수 있듯이 시간 지연 값 $t_{k}$가 포함되어 있으므로 식 (4)를 통해 결함 위치를 추정할 수 있다. 하지만 정합 필터의 분해능은 기준 신호의 시간 폭과 주파수 폭에 제한을 받는 동시에 케이블의 매질은 전기적으로 비선형적이기 때문에 정합 필터의 위치 추정 정확도 또한 제한된다. 따라서, 본 논문에서는 더욱 정확한 결함 위치 추정을 위해, LFMCW의 비트 주파수 추정 방법을 적용한다.

그림. 2에 나타낸 것과 같이, 비트 주파수는 전송한 기준 신호와 반사파 신호의 주파수 차이로 정의되며, 다음 식과 같이 표현된다.

그림. 2. 기준 신호와 반사 신호의 비트 주파수

Fig. 2. Beat frequency between the transmitted and reflected signals

여기서 $f_{b}$는 비트 주파수, $f_{refl}$은 반사파 신호의 순시 주파수, $f_{trans}$는 기준 신호의 순시 주파수를 나타낸다. 따라서, 생성한 기준 신호의 주파수 증가율 $\gamma $는 반사파 신호의 시간 지연과 비트 주파수로서 다음 식과 같이 나타낼 수 있다.

여기서, $f_{j}$는 임의의 시간 샘플 $j$의 시각 $t_{j}$에서의 주파수이다. 따라서 반사파 신호의 비트 주파수를 추정하면 임피던스 불일치 지점이 존재하는 반사파의 시간 지연 값을 계산할 수 있으며, 계산된 시간 지연 값을 식 (4)에 대입하면 비트 주파수는 $f_{b}=t_{k}\gamma =(2L_{k}/VOP)\gamma$ 와 같이 주어지며 결함 위치에 관한 수식으로 변환할 수 있다. 한편 비트 주파수는 기준 신호와 반사파 신호를 믹서(Mixer)를 통하여 승산을 한 후, 저주파수 대역 필터링(Low-pass Filtering)을 통해 추정할 수 있다. 취득 신호에 존재하는 반사파 신호는 식 (6)의 정합 필터를 통과해 분리 후 $k$번째 임피던스 불일치 지점에서 되돌아온 반사파 신호와 기준 신호의 믹서 출력 신호는 다음과 같이 기준 신호의 중심 주파수를 중심으로 저주파수 대역 신호와 고주파수 대역 신호로 나눌 수 있다.

여기서 $\Gamma_{mk}$는 믹서 출력 신호의 반사 계수, $\phi_{lk}$는 저주파수 대역의 위상, $\phi_{hk}$는 고주파수 대역의 위상이다. 윗 식에서 저주파수 대역 신호의 각 주파수(Angular Frequency)는 비트 주파수로 표현됨을 알 수 있다. 저주파수 대역 필터의 출력 신호 $L_{lk}$는 다음 식과 같이 표현된다.

따라서, 반사 신호와 기준 신호의 믹서를 통해 승산을 한 후, 저주파수 대역 필터링을 통해 비트 주파수를 추정할 수 있다. 비트 주파수 추정 방법은 단순 각 주파수를 추정하는 것이기 때문에 높은 분해능을 기대할 수 있으며, 따라서 결함 위치 추정의 오차를 낮출 수 있다.

2.3 비트 주파수 추정

믹서를 거친 후 저역 필터링된 신호는 정현파 신호이므로 단순 푸리에 변환(Fourier Transform)을 통해 비트 주파수의 추정이 가능하다. 이론적으로 정현파 신호는 단 하나의 주파수 성분인 각 주파수만을 포함하고 있지만 케이블 전파를 통한 신호 왜곡과 외부 잡음으로 인해 저주파수 대역 필터의 출력 신호는 다양한 주파수 성분을 포함하고 있다. 따라서 본 논문에서는 비트 주파수 추정의 높은 분해능을 얻기 위해서 주파수의 스펙트럼 추정 중 높은 분해능의 성능을 갖는 MUSIC 알고리즘을 적용한다. MUSIC 알고리즘을 적용하기 위해 식 (10)을 푸리에 변환 후 행렬 형태로 나타내면 다음 식과 같이 표현된다.

여기서 $\overline{L_{lk}(․)}$는 저주파수 대역 필터 출력 신호의 푸리에 변환, $\overline{c(․)}$는 $\cos\left(f_{b}t\right)$의 푸리에 변환, $\overline{w(․)}$는 잡음 신호의 푸리에 변환이다. 또한 $A$는 스티어링(Steering) 행렬이다. 저주파수 대역 필터 출력 신호의 공분산 $R_{L}$은 다음 식과 같이 표현된다.

여기서 $E$는 기댓값(Expectation) 연산, 상첨자 $H$는 에르미트(Hermitian) 연산을 나타내며. $R_{w}$는 잡음의 공분산이다. 한편, 조건 $\lambda_{1}\ge\cdots\ge\lambda_{N}$ 을 만족하는 $\lambda_{k}$를 공분산 행렬의 고유값 (Eigenvalue)으로 , $e=[e_{1},\:\cdots ,\:e_{N}]$ 를 고유 벡터로 정의하면, 공분산 행렬의 계수(Rank)는 $M$이므로, 행렬의 고유값 중 $N-M$ 고유값은 잡음에 관한 값이며, 공분산 행렬은 $M$ 개의 고유값으로 표현할 수 있다[9]. 따라서 고유값 $[\lambda_{M+1}\ge\cdots\ge\lambda_{N}]$ 은 잡음의 고유값에 대한 성분이며, 신호의 스티어링 벡터와 잡음에 대한 고유값은 직교성을 가지기 때문에 다음과 같은 수식을 만족한다.

여기서 $A_{d}$는 스티어링 벡터의 대각 행렬이고 $e_{w}$는 잡음의 고유 벡터이다. 따라서, 주파수 대역의 첨두값에 대한 저주파수 대역 필터 출력의 비트 주파수를 추정하기 위한 식은 다음과 같이 표현할 수 있다^[10].

여기서 $P_{\mu sic}$은 비트 주파수의 스펙트럼이며, $a(f)$는 스티어링 벡터이다. 비트 주파수의 스펙트럼은 반사 신호와 잡음에 대한 고유 벡터의 투영(Projection)의 역수로 표현되고, 반사 신호가 존재하는 주파수 요소는 잡음 벡터 영역과 직교성을 가지므로, 고유값이 거의 0에 가깝다. 따라서, 비트 주파수는 윗 식의 첨두값을 관측하여 추정할 수 있으며, 임피던스 불일치 지점은 추정한 비트 주파수를 통해 식 (4)를 사용하여 구할 수 있다.

3.1 실험 시스템 구성

케이블 진단을 위한 시스템은 그림. 3과 같이 구성하였다. 기준 신호는 임의 파형 발생 장치(Arbitrary Waveform Generator: AWG 5002C)를 통해 생성되고, T 커넥터를 통해 대상 케이블에 인가된다. 인가된 기준 신호는 비선형 매질로 구분되는 케이블을 통해 전파되고 종단 지점의 부하 임피던스에서 반사되어 되돌아온 뒤 디지털 오실로스코프 (Digital Oscilloscope: DPO 7014)를 통해 취득된다. 취득된 데이터는 제어, 신호 처리부로 전송되어 분석된다. 케이블의 결함을 가정하기 위해 부하 임피던스를 체결하였고 저항 값은 $10\Omega $,과 1$k\Omega$으로 선정하였다. 본 논문의 실험에 사용한 케이블은 HFI(Halogen Freee Insulation) 절연체 케이블로서 실제 국내 원자력 발전소에서 사용 중인 Q1E 등급이며, 길이는 25$m$이다. 기준 신호인 첩 신호의 주파수 대역은 10 ~ 20㎒이고, 신호의 전파 속도는 $1.6\times 10^{8}m/s$ 이다.

그림. 3. 케이블 진단 시스템의 구성도

Fig. 3. Block diagram of the cable diagnosis system

3.2 실험 결과 및 고찰

그림. 4는 디지털 오실로스코프로 취득한 반사파 데이터이며 청선과 적선은 각각 종단 임피던스 $10\Omega $,과 1$k\Omega$에서 돌아온 반사파이다. 오실로스코프에서 취득한 데이터에 존재하는 반사파의 개수 및 위치를 추정하기 위해 취득한 데이터와 기준 신호간의 정합 필터 결과는 그림. 5와 같다.

그림. 4. 취득한 반사파 데이터(청선: 종단 10$\Omega$, 적선: 종단 1$k\Omega$)

Fig. 4. Measured data of the reflected signal (blue line: load impedance of 10$\Omega$, red line: load impedance of 1$k\Omega$)

그림. 5. 정합 필터 결과(청선: 종단 10$\Omega$, 적선: 종단 1$k\Omega$)

Fig. 5. Results of the matched filter output (blue line: load impedance of 10$\Omega$, red line: load impedance of 1$k\Omega$)

그림. 5의 결과를 기반으로 반사 취득 신호를 반사파의 개수에 따라 믹서에 입력 신호로 사용하는 반사파의 샘플 위치를 윈도윙하고, 기준 신호와 승산을 수행하였다.

그림. 6은 믹서 출력 신호의 고속 푸리에 변환 결과를 나타낸다. 그림의 결과에서 알 수 있듯이 믹서 출력에는 고주파 성분의 하모닉(Harmonic) 성분이 혼재하여 있기 때문에 비트 주파수 추정이 어렵다. 따라서 저주파수 대역 필터링을 통해 비트 주파수를 추정할 수 있다. 하지만 저주파수 대역 필터링 이후에도 잡음의 주파수 성분에 대한 영향과 케이블 전파를 통한 주파수 왜곡으로 정확한 비트 주파수 추정이 어려우며 낮은 분해능을 보인다. 따라서 본 논문에서는 그림. 7과 같이 비트 주파수 추정을 위해 MUSIC 알고리즘을 적용하였고, MUSIC 알고리즘을 통한 비트 주파수 추정 결과는 표 1에 나열하였다.

그림. 6. 믹서 출력과 저 주파수 대역 필터 출력의 고속 푸리에 변환 (청선: 종단 10$\Omega$, 적선: 종단 1$k\Omega$)

Fig. 6. FFT results of mixer and low-pass filter output (blue line: load impedance of 10$\Omega$, red line: load impedance of 1$k\Omega$)

그림. 7. 저주파수 대역 필터 출력의 MUSIC 스펙트럼 (청선: 종단 10, 적선: 종단 1$k\Omega$)

Fig. 7. Results of MUSIC algorithm for low-pass filter output (blue line: load impedance of 10$\Omega$, red line: load impedance of 1$k\Omega$)

표 1을 통하여 알 수 있듯이 실제 실험을 통하여 25$m$ 케이블의 종단 지점의 저항의 위치를 정합 필터와 비트 주파수를 통해 추정하였으며, 비트 주파수의 추정은 고속 푸리에 변환과 MUSIC 알고리즘을 사용하였다. 그림. 5와 표 1의 결과를 통해 알 수 있듯이 정합 필터의 위치 결함 오차는 평균 10% 정도로 높은 편이며 위치 추정 방법의 분해능 또한 낮다. 반면에 비트 주파수 추정을 통한 결함 위치 추정 결과는 고속 푸리에 변환을 사용하였을 때 5% 미만으로 나타나지만, 그림. 6을 통해 알 수 있듯이 비트 주파수 이외의 주파수, 즉, 잡음의 주파수도 같이 추정되어 정확한 비트 주파수 추정이 어렵다. 마지막으로, MUSIC 알고리즘을 사용하여 비트 주파수를 추정한 결과, 잡음에 관한 주파수 성분과 스티어링 벡터의 직교성을 이용하여 잡음 부분 공간에 대한 주파수 성분을 제거하여 그림. 7과 같이 단일 비트 주파수만을 추정한 것을 알 수 있으며 위치 추정 오차 또한 평균 3% 이내로 나타난다. 마지막으로 표 1에 첨두값 항목을 통해 분석할 때 정합 필터와 고속 푸리에 변환을 통한 비트 주파수 추정 방법으로는 종단 저항의 크기 변화를 관측할 수 없음을 알 수 있다. 반면에 MUSIC 알고리즘을 사용할 경우 비트 주파수의 스펙트럼을 측정하기 때문에 종단 지점의 저항의 크기가 케이블의 특성 저항인 70$\Omega$보다 상대적으로 차이가 날수록 크게 측정되는 것을 알 수 있다.