3.1 선형 불확정 측정모델

그림 2의 상대기하로부터, 기준 및 $j$번째 수신기의 수신신호를 이용하여 산출된 거리 차 $r_{j}$는 다음과 같이 기술된다.

이때, 송신기와 $j$번째 수신기 간 거리 $d_{t,\:j}$는 아래와 같다.

여기서 $h$는 송신기와 수신기 어레이 간의 높이를 의미한다.

식(4)와 동일한 방법으로, 기준 수신기에서 $j$번째 수신기까지의 거리 $d_{j,\:0}$를 다음과 같이 쓸 수 있다.

식(3)의 양변을 제곱한 후 식(4)를 대입하면 다음 선형 관계식을 얻을 수 있다.

여기서

$h_{j}= -2\begin{bmatrix}(x_{j}-x_{0}) & (y_{j}-y_{0}) & d_{t,\:0}\end{bmatrix}$.

거리 차 측정치 (2)를 유도한 선형 관계식 (6)에 대입 후 정리하여 선형 불확정 회귀방정식 (7)이 유도된다.

여기서

$\widetilde h_{j}\equiv -2\begin{bmatrix}(x_{j}-x_{0}) & (y_{j}-y_{0}) & \widetilde r_{j}\end{bmatrix}$,

$\Delta h_{j}\equiv -2\begin{bmatrix}0 & 0 & \delta r_{j}\end{bmatrix}$, $v_{j}\equiv 2\widetilde r_{j}\delta r_{j}-\delta r_{j}^{2}-\sigma_{r,\:j}^{2}$.

위 식에서, $j$번째 수신기의 측정잡음 $v_{j}$에 대한 공분산 $R_{j}$는 다음과 같이 계산된다.

모든 수신기에 대해 불확정 선형 회귀방정식 (7)이 만족되므로, 회귀방정식들을 종합하면 $k$ 시점에서 다음과 같은 불확정 선형 측정방정식을 얻을 수 있다.

여기서 상태변수 $\ symbol{x}$, 측정치 벡터 $\ symbol{y}$, 측정잡음 벡터 $\ symbol{v}$ 및 관련 행렬들은 다음과 같이 정의된다.

$\ symbol{x} \equiv\begin{bmatrix}(x_{t}-x_{0}) & (y_{t}-y_{0}) & d_{t,\:0}\end{bmatrix}^{T}$,

$\ symbol{y} =\begin{bmatrix}\vdots \\\widetilde r_{j}^{2}- d_{j,\:0}^{2}-\sigma_{r,\:j}^{2}\\\vdots\end{bmatrix}$, $ v =\begin{bmatrix}\vdots \\ v_{j}\\\vdots\end{bmatrix}$,

$H\equiv\begin{bmatrix}\vdots \\ h_{j}\\\vdots\end{bmatrix}$, $\widetilde H =\begin{bmatrix}\vdots \\\widetilde h_{j}\\\vdots\end{bmatrix}$, $\Delta H\equiv\begin{bmatrix}\vdots \\\Delta h_{j}\\\vdots\end{bmatrix}$

불확정 선형 측정방정식 (9)에서 $\widetilde H_{k}$는 거리 차 측정치로 구성된 측정행렬을 의미하며, 아래와 같이 실제 상황에서 알 수 없는 측정행렬의 참값 $H_{k}$와 통계적 속성을 갖는 파라미터 불확실성 $\Delta H_{k}$로 표현할 수 있다.

한편, 식(8), (9)를 이용하여 측정잡음 벡터 $\ symbol{v}_{k}$와 파라미터 불확실성 $\Delta H_{k}$의 통계적 속성을 아래와 같이 유도할 수 있다.

고안된 거리 차 측정센서의 수신기 배치 구조로부터, 파라미터 불확실성 $\Delta H_{k}$와 측정잡음 벡터 $\ symbol{v}_{k}$ 간의 상호상관을 의미하는 식(14)를 다음과 같이 근사할 수 있다.

3.2 기하학적 제약조건을 고려한 강인 가중 최소자승 기법

선형 불확정 시스템 (9)에서 통계적 파라미터 불확실성 $\Delta H_{k}$를 인위적으로 무시할 경우, 공칭 최소자승(NoLS: nominal least-squares) 추정이론 기반의 측위 방법을 고려할 수 있다. 하지만, 점검용 UAV의 운용환경을 감안할 때, 거리차 측정치의 SNR(signal to noise ratio)이 낮아질 소지가 다분하다. 이 경우, 측정행렬 $\widetilde H_{k}$에 내포된 통계적 파라미터 불확실성 $\Delta H_{k}$의 영향이 커져 NoLS 기반 측위기법의 성능 저하가 불가피하다⁽¹⁸⁾.

이에 대한 해법으로 RWLS 추정이론을 활용하는 방법이 고려될 수 있다⁽¹⁷⁾. 표 1에 정리된 바와 같이 RWLS 알고리듬은 설계변수 $W_{k}$와 $V_{k}$을 이용하여 통계적 파라미터 불확실성 $\Delta H_{k}$가 야기하는 추정오차를 제거한다. 이때, 우수한 추정성능을 얻기 위해서는 정확한 설계변수의 사용이 전제되어야 한다. 하지만, 실제 상황에서는 거리 차 측정잡음 분산 $\sigma_{r,\:j}^{2}$을 정확히 알 수 없다. 이는 설계변수 $W_{k}$의 불완전성 뿐만 아니라 RWLS 기반 측위 알고리듬의 성능저하를 초래한다⁽¹⁷⁾.

이제, 송수신기 간 상대위치와 상대거리로 정의된 상태변수 간의 기하학적 상관관계로부터 도출된 제약조건을 이용하여 설계변수 $W_{k}$의 불완전성을 추정 및 보상하는 방법을 생각해보자. $j$번째 수신기로부터 측정된 거리 차 측정잡음 $\delta r_{j}$가 서로 비상관이라면, RWLS 추정기의 설계 파라미터 $W$는 식(13)과 같이 거리 차 측정잡음 분산 $\sigma_{r,\: j}^{2}$에 의해 그 값이 결정되며, 편의상 이를 아래와 같이 다시 쓸 수 있다.

식(16)에서, 행렬 $W$는 (3,3) 성분 이외에는 모든 성분이 0인 회소행렬 (sparse matrix)이므로, 불완전한 설계변수 $W$와 이상적인 설계변수 $W^{o}$ 간에 다음과 같은 관계가 존재한다고 가정해도 무방하다.

식(17)에서, $\gamma$는 $W$의 불완전성을 모델링하기 위해 도입된 미지계수이다.

이상적인 설계변수 $W^{o}$와 불완전한 설계변수 $W$를 각각 사용하여 계산된 추정치 $\hat x_{k}^{o}$와 $\hat x_{k}$을 고려해보자.

식(17)을 식(18)에 대입한 후 결과 식을 정리하면, 이상적인 설계변수 $W^{o}$를 사용하여 계산된 추정치 $\hat x_{k}^{o}$를 불완전한 설계변수 $W$와 이를 사용하여 계산된 추정치 $\hat x_{k}$의 함수로 다시 쓸 수 있다.

한편, 식(9)의 상태변수 $ x$는 다음 등식을 만족시킨다.

여기서

$M =\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1\end{bmatrix}$.

제약조건(hard constraint) 식(21)을 이용하면 설계변수 $W$의 불완전성을 보상하는 파라미터 $\gamma$를 산출할 수 있다.

Theorem 1 상태변수 간의 기하학적 상관관계를 정의하기 위한 제약조건 (21)은 미지계수 $\gamma$로 정의된 $\lambda$에 대한 2차 방정식으로 변환된다.

여기서

$c_{0}= \hat x_{k}^{T}M \hat x_{k}$,

$c_{1}= \hat x_{k}^{T}\left(M P_{k}W_{k}+ W_{k}P_{k}M\right) \hat x_{k}$,

$c_{2}= \hat x_{k}^{T}\left(W_{k}P_{k}M P_{k}W_{k}\right) \hat x_{k}$

이며, $p_{33}$은 추정오차 공분산행렬 $P_{k}$의 (3,3) 성분이다.

Proof.

식(20)의 이상적인 추정치 $ \hat x^{o}$를 기하학적 제약조건 (21)에 대입하여 정리하면 다음과 같다.

행렬 $\left(I -\gamma k P_{k}W\right)$를 대각화하면,

여기서

$P_{k}=\begin{bmatrix}p_{11} & p_{12} & p_{13}\\ * & p_{22} & p_{23}\\ * & * & p_{33}\end{bmatrix}$, $S =\begin{bmatrix}1 & 0 & p_{13}/p_{33}\\ 0 & 1 & p_{23}/p_{33}\\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}$,

$D = I -\gamma k\dfrac{1}{w}W P_{k}W^{T}$.

위 식에서 대각행렬 $D$의 역행렬은 다음과 같이 쓸 수 있다.

$\lambda\equiv\gamma k /| D |$로 정의하면, 식(20)으로부터 다음 식을 얻을 수 있다.

이제, 식(26)을 식(23)에 대입하여 정리하면 다음과 같이 $\lambda$에 대한 2차 방정식을 얻을 수 있다.

여기서

$$c_{0}= \hat x_{k}^{T}M \hat x_{k}$, $c_{1}= \hat x_{k}^{T}\left(M P_{k}W_{k}+ W_{k}P_{k}M\right) \hat x_{k}$$

$$c_{2}= \hat x_{k}^{T}\left(W_{k}P_{k}M P_{k}W_{k}\right) \hat x_{k}$$.

식(22)의 설계변수 보상치 $\hat\gamma$을 활용한 C-RWLS(constrained RWLS) 측위 알고리듬은 다음과 같이 정리된다.

Remark 3. 식(17)에 정의된 $\gamma$는 설계변수 $W$에 대한 모델링 오차를 정의하기 위한 미지계수 이다. 따라서, 모델링 오차가 크지 않다는 전제 하에 이차방정식 (27)의 해 중, 절대값이 가장 작은 해를 선택하는 것이 바람직하다. 다만, 설계변수는 거리 차 측정오차 분산의 가중 합으로 정의되므로 유효한 실수 해는 $\gamma > -1$을 만족해야 한다.

Remark 4. 측정잡음 벡터 $ v_{k}$의 분산 $R_{k}$는 추정기의 대역폭을 좌우하는 가중행렬일 뿐이며, 추정오차 평균 관점에서 제안된 표적 측위의 성능에 영향을 미치지는 않는다. 즉, 임의로 설정된 $R_{k}$에 대해 설계변수가 정상적으로 산출된다면, 제안된 C-RWLS 추정치는 여전히 상태변수의 참값으로 거의 확실히 수렴하게 된다.

4.1 실험환경 및 조건

제안된 제약조건을 고려하는 측위센서 설계 방법의 유용성을 확인하기 위해, 표 2에 요약된 실내 실험환경을 구축하여 모의실험 및 실제 실험을 수행하였다. 거리 차 측정센서 고안 시, 실제로는 변전설비 환경을 고려하여 전자파 간섭영향이 미미한 RF 안테나를 이용해야 한다. 본 논문에서는 실험실 레벨에서의 GPS 보조 측위센서 설계기법 검증에 초점을 맞추어, 그림 2와 같이 초음파 수신기 어레이가 십자 배열되며 그림 3의 신호처리를 수행하는 아날로그 회로와 MCU가 포함된 거리 차 측정센서 PCB를 제작하였다. 제안된 측위센서 설계 알고리듬은 RF 송수신기를 채택한 거리 차 센서에도 동일한 설계 개념을 적용할 수 있으며, 이를 이용한 야외 환경에서의 실험수행 및 결과 분석은 추후 연구에서 다룬다.

다음으로, 상용 UAV인 Parrot ANAFI Thermal에 고안된 수신기 어레이를 탑재하여 그림 4와 같이 다양한 테스트 지점에서 초음파 송신기와의 높이 $h=2.6[{m}]$으로 체공하는 환경을 구축하였다. 이로부터, 기준 위치에 고정시킨 송신기와 총 9개의 UAV 위치에서 거리 차 측정치를 획득하였다. 또한, 송신기와 UAV 간 절대위치 참값 획득을 위해 위치정보 수 [mm] 급 사양의 정밀 모션캡처 시스템인 Optitrack을 활용하였다.

제안된 C-RWLS 측위 기법과의 정량적인 성능비교를 위해 실제 상황에서는 구현할 수 없는 최적 가중 최소자승 (optimal weighted least-squares, OWLS) 및 기존 RWLS 측위 기법의 UAV 위치 추정치가 제시된다. 수렴특성을 통해 실시간 구현 가능성을 확인하고자 EKF 기반 측위필터를 비교대상으로 삼았다⁽¹⁹⁾. 실험조건은 표 3에 정리하였으며, 초기치에 기술된 $N(a,\:b)$는 정규분포의 평균 $a$ 및 분산 $b$를 뜻한다.

4.2 시뮬레이션 결과

시뮬레이션을 통해 본 논문에서 제시한 $\gamma$ 추정 방법과 C-RWLS 측위기법의 유용성을 확인한다. 그림 5로부터, 설계변수의 불완전성이 존재함에도 불구하고 제안된 제약조건을 이용하는 설계변수 보상 알고리듬을 통해 최대 추정오차의 RMSE가 0.007 이내의 값을 가지고 있어 거의 확실히 보상항 참값 $\gamma$를 산출할 수 있음을 알 수 있다. 불완전한 설계변수 $W$가 사용된 경우의 측위성능을 확인하기 위해 그림 4에서 UAV가 테스트 지점 #7에 위치하고 있을 때 미지계수 $\gamma$에 대한 표적 위치$(x_{t},\: y_{t})$ 추정오차는 그림 6과 같다. $\gamma$의 크기, 즉 추정기 설계변수의 불완전성이 커질수록 기존 RWLS의 위치추정치 RMSE가 최대 18[mm]까지 증가하나, 제안된 C-RWLS 측위 알고리듬은 모든 $\gamma$에 대하여 추정오차가 거의 제거되어 이론적으로 최적 측위성능을 제공하지만 실제로는 구현이 불가능한 OWLS 결과와 유사한 수준을 지닌다. 이는 C-RWLS 측위 알고리듬이 설계변수 $W$의 불완전성을 적절히 보상하여 측위성능을 개선하고 있음을 보여주는 결과이다.

다음으로, 그림 4의 테스트 지점들에서 $\gamma = 0.3$일 때의 측위 성능은 그림 7에 도시한 바와 같다. EKF의 경우 선형 추정기와 달리 모든 지점들에 대해 큰 측위오차를 보인다. 기존 RWLS 기법의 측위오차는 EKF에 비해 약 2배 가량 개선된 3~5 [mm] 수준을 유지하지만, 설계변수 불확실성($\gamma = 0.3$)으로 인해 측위성능 제고에 한계를 보인다. 이와 달리, 제안된 C-RWLS 측위 알고리듬은 모든 테스트 지점들에 대하여 이상적인 추정치(OWLS)와 유사한 결과를 제공함을 알 수 있다.

각 측위 알고리듬의 수렴특성은 그림 8에서 확인 가능하다. EKF는 비선형 측정방정식의 사용으로 인해 매우 느린 수렴특성을 보이는 반면, 3.1절의 불확정 선형 측정방정식을 사용하는 RWLS 및 C-RWLS 측위기법은 상대적으로 매우 빠른 수렴 특성을 보인다. 이는 측위 알고리듬 구성 시, 선형 추정기 구조를 채택하는 것이 수렴속도 향상 측면에서 매우 유리함을 뒷받침하는 결과이다.

4.3 실험 결과

그림 2의 십자형 수신기 어레이로부터 획득된 거리 차 측정치를 이용하여 실제 실험을 수행하였다. 4.1절의 실험 조건을 토대로 실제 UAV에 초음파 어레이로 구현한 거리 차 센서를 탑재한 뒤, 그림 7 및 그림 8과 동일한 테스트 지점에서 실험을 수행하고, 그 결과를 그림 9과 그림 10에 나타내었다.

그림 9로부터 EKF가 테스트 지점별로 6~12 [mm] 수준의 RMSE를 지녀 시뮬레이션 결과(그림 7)와 거의 대등한 경향성을 보임을 확인할 수 있다. 또한 EKF의 수렴특성 역시 시뮬레이션 결과(그림 8)과 마찬가지 특성을 보인다. RWLS 측위 기법은 시뮬레이션 결과와 달리 위치측정치에 2~5 [mm] 정도의 편향오차를 포함하고 있다. 이는 실험상황에서 RWLS 추정기의 설계변수 $W$에 사용된 거리차 측정치의 분산 $\sigma_{r,\:j}^{2}$이 실제와 일치하지 않았기 때문이다. 반면, 제안된 C-RWLS 측위 알고리듬은 모든 테스트 지점들에 대하여 RWLS 대비 약 80% 가량의 측위 성능개선이 이루어진다. 더욱이, 제안된 기법은 불완전한 설계변수의 사용에도 불구하고 위치 측정치가 매우 빠른 수렴속도와 안정적인 추정성능을 제공한다(그림 10). 이상의 결과로부터, 제안된 측위 알고리듬이 GPS 비가용 상황에서 전력설비 점검용 UAV의 안정적 임무수행에 필수적인 보조 측위센서의 설계 및 개발을 위한 실용적 해법이 될 것으로 기대된다.