2.1 MRS 정보융합 구조와 표적추적 성능지표

MRS의 표적추적 성능지표 산출을 위해 그림 1의 비집중형 정보융합 필터 구조가 MRS에 사용되었다고 가정하자.

참고로 비집중형 정보융합 구조는 복수의 레이더에서 획득된 측정치를 한꺼번에 처리하는 집중형 정보융합 구조보다 통신 부담이 적고 레이더 측정치 비정렬 오차에 둔감하여 다표적 동시추적 능력이 요구되는 MRS에 널리 활용되고 있다 ⁽¹¹⁾.

개별 레이더에는 상대거리 및 시선각(방위각, 고각) 측정치로부터 지역트랙, 즉 직교좌표계 표적 상태변수 추정치 및 오차공분산을 계산하는 비선형 추적필터가 내장되어 있다. 반면, 융합센터는 각 레이더가 제공하는 표적트랙들을 확률적으로 융합하여 표적궤적(융합트랙)을 최종 산출한다 ⁽¹²⁾.

여기서 $\hat x_{f},\: P_{f}$는 융합트랙 추정치 및 추정오차공분산, $\hat x_{j},\: P_{j}$는 $j$번째 레이더에서 제공한 지역트랙 추정치 및 추정오차공분산, $N_{R}$은 융합 대상 레이더의 대수를 의미한다.

정보량 분배 원리에 따라 MRS의 표적추적 성능지표는 다음과 같이 융합필터의 표적정보량으로 계산 가능하다 ⁽¹²⁾.

식 (2)로부터, 표적추적성능 극대화 관점에서 볼 때 복수 레이더 배치 최적화 문제의 목적함수는 개별 레이더 추적필터의 오차공분산 행렬에 의해 정의된다. 만일 추적필터 오차공분산을 결정변수인 복수 레이더 위치로 기술할 수 있다면 최적화 문제를 다루기 쉬운 형태로 정식화 할 수 있다. 이렇게 최적화 문제의 목적함수가 정의되면 GRAPS(Greedy Randomized Adaptive Search Procedure) 등 다양한 알고리듬을 적용하여 그 최적 해를 산출할 수 있다 ⁽¹³⁾. 따라서, 복수 레이더 배치 최적화의 열쇠는 사실상 추적필터의 오차공분산의 해석 해 산출 여부에 달려있다 해도 과언이 아니다.

2.2 추정오차 공분산의 해석 해 산출 문제

이제, MRS의 표적추적 성능지표 (2)의 산출 과정에 내포되어 있는 문제를 살펴보자. 각 레이더에 내장된 비선형 표적추적 필터 설계를 위한 표적 상대기하는 그림 2와 같다.

그림에서 $j$번째 레이더의 위치는 $R_{j}=[x_{j}y_{j}z_{j}]^{T}$, 표적의 상대거리는 $r_{j}$, 방위각과 고각은 $a_{j}$와 $e_{j}$이다. 사용된 좌표계의 정의는 다음과 같다.

■ 관성좌표계 ($I$-frame)

표적 운동이 기술되는 기준 좌표계로, 편의상 융합센터를 원점으로 하는 NED(north-east-down) 좌표계로 설정한다.

■ 시선좌표계 ($L_{j}$-frame)

$j$번째 레이더로부터 표적을 연결하는 시선벡터를 $X^{L_{j}}$축으로 하는 오른손 좌표계이다. $I$-frame에서 $L_{j}$-frame으로의 좌표변환행렬은 방위각 $a_{j}$ 및 고각 $e_{j}$을 이용하여 정의된다.

여기서 $R_{\chi}(\epsilon)$은 $\chi$축을 중심으로 $\epsilon$만큼 회전시키는 회전변환행렬(rotation matrix)을 의미한다.

$I$-frame에서 표적이 등가속도 운동을 한다고 가정하면 표적 운동은 1차 마코프 프로세스로 모델링된다.

여기서 $I$-frame 표적 위치, 속도, 가속도 벡터를 각각 $R_{t}=[x_{t}y_{t}z_{t}]^{T},\:$ $V_{t}=[\dot x_{t}\dot y_{t}\dot z_{t}]^{T}$, $A_{t}=[\ddot x_{t}\ddot y_{t}\ddot z_{t}]^{T}$ 라 하면, 표적 상태변수 $x$와 시스템 행렬 $F$의 정의는 다음과 같다.

$x =\begin{bmatrix}R_{t}\\ V_{t}\\ A_{t}\end{bmatrix},\:F=\begin{bmatrix}0^{3\times 3}& I^{3\times 3}& 0^{3\times 3}\\ 0^{3\times 3}& 0^{3\times 3}& I^{3\times 3}\\ 0^{3\times 3}& 0^{3\times 3}& 0^{3\times 3}\end{bmatrix}$

또한, white jerk 표적 기동모델에 사용된 $w$는 분산이 $Q$인 영평균 백색잡음으로 다음과 같이 정의된다.

$Q =\begin{bmatrix}0^{3\times 3}& 0^{3\times 3}& 0^{3\times 3}\\ 0^{3\times 3}& 0^{3\times 3}& 0^{3\times 3}\\ 0^{3\times 3}& 0^{3\times 3}&q I^{3\times 3}\end{bmatrix},\:q = diag([q_{x},\: q_{y},\: q_{z}])$

한편, $j$번째 레이더의 측정치 $z_{j}=\begin{bmatrix}\widetilde r_{j}&\widetilde a_{j}&\widetilde e_{j}\end{bmatrix}^{T}$는 다음 비선형 방정식을 만족한다.

여기서 비선형 측정함수 $h(\bullet)$의 정의는 다음과 같다.

$h(\bullet)=\begin{bmatrix}\sqrt{\left(x_{j}- x_{t}\right)^{2}+\left(y_{j}- y_{t}\right)^{2}+\left(z_{j}- z_{t}\right)^{2}}\\\tan^{-1}\left(\dfrac{y_{j}- y_{t}}{x_{j}- x_{t}}\right)\\\tan^{-1}\left(\dfrac{-\left(z_{j}- z_{t}\right)}{\sqrt{}}\left(x_{j}- x_{t}\right)^{2}+\left(y_{j}- y_{t}\right)^{2}\right)\end{bmatrix}$

또한, 측정잡음 $V(t)$는 평균이 $0$이고 분산이 $R(t)$인 백색 정규잡음 $V(t)\sim N(0,\:R(t))$으로 가정한다. 이때, 레이더 수신단 열잡음(thermal noise) 특성에 의해 측정잡음 분산 $R(t)$는 다음과 같이 모델링된다 ⁽¹⁴⁾.

$R(t)=diag\left(\left[\sigma_{r}^{2},\: r_{j}^{4}\sigma_{a}^{2},\: r_{j}^{4}\sigma_{e}^{2}\right]\right)$

표적 상태변수 $x$와 가용측정치 $z_{j}$ 사이의 통계적 비선형성을 다루기 위해서는 시스템 모델 (4) 및 (5)에 대한 비선형 추적필터 설계가 불가피하다. 운동방정식 (4) 및 측정방정식 (5)를 시스템 모델로하는 EKF(extended Kalman filter)의 추정오차 공분산 $P(t)$는 다음 DRE에 의해 계산된다.

여기서 자코비안 행렬 $H(t)$는 배치 최적화 문제에서 고려되는 표적의 예상궤적 $x^{\ast}$를 중심으로 산출된다.

$\left . H(t)=\dfrac{\partial h(x)}{\partial x}\right |_{x = x^{\ast}}$

참고 1. 행렬 $H(t)$와 $R(t)$의 시변 특성으로 인해 수치기법에 의해서만 DRE (6)의 해를 산출할 수 있다. 수치기법을 통해 표적추적 성능지표 (2)를 산출하면 복수 레이더 배치 문제의 복잡도와 최적해 산출에 소요되는 연산량이 크게 증가할 수 있다. 이러한 문제은 레이더의 운용조건을 고려해야 하는 경우에 더욱 두드러지게 나타난다. 예를 들어, 그림 3과 같이 표적이 이동함에 따라 FOV(field of view)가 중첩되는 장거리 레이더의 개수와 시점이 달라지면 성능지표 산출을 위해 풀어야 하는 시변 DRE의 조합이 매번 변화하므로, 배치문제 정식화가 용이하지 않다. 만일, 시변 DRE (6)의 해석 해를 활용할 수 있다면 전술한 문제들을 해소하는데 큰 도움이 된다.

3.1 비선형 추적필터의 등가모델

본 절에서는 DRE (6)의 해석 해 산출을 위해 $I$-frame에서 설계된 비선형 추적필터에 대한 $L$-frame 등가모델을 도입한다. 이를 위해, 먼저 $I$-frame 및 $L$-frame 표적 상태변수 간의 상관관계를 분석해보자. 수식 기술의 편의를 도모하기 위해 $j$번째 레이더 관련 변수의 첨자를 생략한다. $L$-frame 표적위치벡터 $R^{L}=\begin{bmatrix}r&0&0\end{bmatrix}^{T}$는 개별 레이더를 기준으로 정의된 $I$-frame표적 상대위치벡터 $R^{I}$와 다음 관계를 갖는다.

식 (7)을 미분하면 $I$-frame 표적 속도 (8)을 얻을 수 있다.

식 (8)에서 $\Omega_{IL}^{L}$는 $I$-frame에 대한 $L$-frame의 회전각속도 $bold\omega_{IL}^{L}$에 의해 정의되는 왜대칭행렬(skew-symmetric matrix) 이다.

$bold\omega_{IL}^{L}\equiv\begin{bmatrix}w_{x}\\w_{y}\\w_{z}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-\dot a s(e)\\\dot e \\\dot a c(e)\end{bmatrix}$, $\Omega_{IL}^{L}\equiv[\omega_{IL}^{L}]_{\times}=\begin{bmatrix}0&-w_{z}&w_{y}\\w_{z}&0&-w_{x}\\-w_{y}&w_{x}&0\end{bmatrix}$

여기서 $c(\eta)\equiv\cos(\eta)$, $s(\eta)\equiv\sin(\eta)$ 이다.

표적속도 (8)을 $L$-frame으로 변환하면, 다음 식을 얻는다.

마찬가지 방법으로 식 (8)을 미분한 후 $L$-frame으로 좌표변환 하면 코리올리 가속도 방정식이 유도된다.

여기서 장거리 레이더로 구성된 MRS의 특성 상 표적 방위각 및 고각 변화율은 크지 않으므로($vert\dot e vert\ll 1,\: vert\dot a vert\ll 1$) $\dot\Omega_{IL}^{L}$ 계산에 필요한 $\dot\omega_{IL}^{L}$는 다음과 같이 근사된다.

$bold\dot\omega_{IL}^{L}=\begin{bmatrix}-\ddot a s(e)-\dot a\dot e c(e)\\\ddot e \\\ddot a c(e)-\dot a\dot e s(e)\end{bmatrix}\approx\begin{bmatrix}-\ddot a s(e)\\\ddot e \\\ddot a c(e)\end{bmatrix}$

식 (7), (9) 및 (10)을 종합하면, $I$-frame 표적 상태변수($R^{I}$, $\dot R^{I}$, $\ddot R^{I}$)는 변환관계　$\Delta(a,\: e)$를 이용하여 상대거리 및 시선각(방위각, 고각)의 함수로 표현된다.

여기서 $diag(bold\xi)$를 벡터 $bold\xi$의 성분을 대각성분으로 가지는 대 각행렬, $\oplus$를 직교합(direct sum) 연산자로 정의하면

$bold\eta =\begin{bmatrix}r,\:&0,\:&0,\:&\dot r ,\:&r\dot a ,\:&r\dot e ,\:&0,\:&r\ddot a +2\dot r\dot a ,\:&-r\ddot e -2\dot r\dot e\end{bmatrix}^{T},\:$ $\Gamma = C_{L}^{I}\oplus C_{L}^{I}\oplus C_{L}^{I}$, $\Delta =C_{L}^{I}D\oplus C_{L}^{I}D\oplus C_{L}^{I}D,\:$ $D = diag\left(\begin{bmatrix}1,\:&c(e),\:&1\end{bmatrix}\right)$, $M\oplus N equiv\begin{bmatrix}M & 0 \\ 0 & N\end{bmatrix}$

참고 2. 식 (11)은 $I$-frame 표적 상태변수 추정문제가 본질적으로 $L$-frame 상대거리 및 시선각 추정문제와 동치 임을 의미한다. 만일 상대거리 및 시선각 추정필터의 추정오차 공분산의 해석 해를 구할 수 있다면 위의 변환관계를 역으로 활용하여 비선형 표적추적 필터의 정보량을 손쉽게 산출할 수 있다. 즉, 수치기법의 도움 없이 비선형 추적필터 오차공분산 계산을 위한 DRE (6)의 해를 얻을 수 있다.

식 (11)로부터 $L$-frame 상에서 표적 동특성 방정식은 다음과 갈이 기술된다.

여기서 시선각 $\lambda$는 방위각 $a$ 혹은 고각 $e$를 의미하며, $L$-frame 표적 가속도 $\begin{bmatrix}u_{r}&u_{a}&u_{e}\end{bmatrix}^{T}= D^{-1}C_{I}^{L}\ddot R^{I}$으로 정의된다.

상대거리 및 시선각 추정기 설계 기법은 기존 연구들을 통해 이론적으로 잘 정립되어 왔다 ⁽¹⁵⁾. 장거리 표적추적 시, 시선방향 표적가속도 $u_{r}$은 매우 작게 유지되므로$(vert\ddot r vert\ll1)$ 이를 영평균 백색 정규잡음 $w_{r}$로 간주해도 무방하다. 이와 달리 시선벡터에 수직한 표적의 횡가속도는 무시할 수 없으므로 이를 white jerk 등으로 모델링하는 것이 일반적이다. 이 경우, 식 (12) 및 (13)으로부터 다음 상태공간 방정식을 얻는다.

■ 상대거리 추정을 위한 상태공간 방정식

여기서

$x_{r}=\begin{bmatrix}r\\\dot r\end{bmatrix},\: F_{r}=\begin{bmatrix}0 & 1 \\ 0 & 0\end{bmatrix},\: G_{r}=\begin{bmatrix}0 \\ 1\end{bmatrix},\: H_{r}=\begin{bmatrix}1 \\ 0\end{bmatrix}^{T}$

$y_{r}=\widetilde r ,\:w_{r}\sim N(0,\:q_{r}^{2}),\:v_{r}\sim N(0,\:R_{r}),\:R_{r}=\sigma_{r}^{2}$

■ 시선각 추정을 위한 상태공간 방정식

여기서

$x_{\lambda}=\begin{bmatrix}\lambda \\\dot\lambda \\ u_{\lambda}\end{bmatrix},\: F_{\lambda}=\begin{bmatrix}0 & 1 &0 \\ 0 & -2\dot r /r &-1/r \\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix},\: G_{\lambda}=\begin{bmatrix}0 \\ 0 \\1\end{bmatrix},\: H_{\lambda}=\begin{bmatrix}1 \\ 0\\ 0\end{bmatrix}^{T}$

$y_{\lambda}=\widetilde\lambda ,\:w_{\lambda}\sim N(0,\:q_{\lambda}^{2}),\: v_{\lambda}\sim N(0,\:R_{\lambda}(t)),\: R_{\lambda}(t)=r^{4}\sigma_{\lambda}^{2}$

따라서, 비선형 추적필터의 $L$-frame 등가모델이 식 (14)~(15)에 대한 선형 칼만필터가 된다. 참고 2에서 언급한 바와 같이, 비선형 추적필터의 오차공분산은 DRE (16) 및 (17)의 해와 변환관계 (11)을 역으로 활용하여 산출 가능하다.

3.2 등가모델을 활용한 표적 정보량 산출

폐쇄형 MRS 표적추적 성능지표를 산출하기에 앞서, 등가 표적추적 필터의 추정오차공분산의 해석 해를 산출하자.

정리 1. DRE (16)을 만족하는 상대거리 추정필터의 추정오차 공분산 $P_{r}$은 다음 형태를 갖는다.

여기서 $P_{r}^{(i,\:j)}$는 상대거리 추정오차 공분산의 $(i,\:j)$번째 성분, $L_{r}=(Q_{r}/R_{r})^{1/4}$는 기동지표(maneuvering index)를 의미한다. 식 (18)에 사용된 변수들의 정의는 다음과 같다.

$\Psi =1-K_{1}-K_{2}-4Ce^{-\sqrt{2}L_{r}t}$

$K_{1}=(A^{2}+B^{2}- 2C^{2})e^{-2\sqrt{2}L_{r}t}$

$K_{2}= 2\sqrt{A^{2}+B^{2}}e^{-2\sqrt{2}L_{r}t}c(\sqrt{2}L_{r}t -\tan^{-1}(B/A))$

$K_{3}= 2\sqrt{A^{2}+B^{2}}e^{-2\sqrt{2}L_{r}t}s(\sqrt{2}L_{r}t -\tan^{-1}(B/A))$

$A =\sqrt{2}Q_{r}L_{r}\left(P_{r}^{(2,\:2)}(0)-P_{r}^{(1,\:1)}(0)L_{r}^{2}\right)/\alpha$

$B = Q_{r}^{2}- 2Q_{r}L_{r}^{2}P_{r}^{(1,\: 2)}(0)+L_{r}^{4}|P_{r}(0)|/\alpha$

$C = L_{r}^{4}|P_{r}(0)|-Q_{r}^{2}/\alpha$

$$\begin{align*}\alpha =Q_{r}^{2}+2Q_{r}L_{r}^{2}P_{r}^{(1,\:2)}(0)+ L_{r}^{4}|P_{r}(0)| \\ +\sqrt{2}Q_{r}L_{r}(P_{r}^{(2,\:2)}(0)+P_{r}^{(1,\:1)}(0)L_{r}^{2})\end{align*}$$

□

증명.

식 (14)에 대한 다음 제차 Hamiltonian 방정식을 생각해보자.

여기서 $\Pi_{r}$는 Hamiltonian 행렬을 의미한다. $\Pi_{r}$의 불안정 고유치 및 고유벡터들로 구성된 행렬을 각각 $M$과 $W$라 하면 다음 식이 만족된다.

$$\begin{align*}\Pi_{r}& =\begin{bmatrix}F_{r}^{T}&-H_{r}^{T}R_{r}^{-1}H_{r}\\-G_{r}Q_{r}G_{r}^{T}&-F_{r}\end{bmatrix}\\& =W\begin{bmatrix}-M &0\\0&M\end{bmatrix}W^{T},\: W=\begin{bmatrix}W_{11}& W_{12}\\ W_{21}& W_{22}\end{bmatrix}\end{align*}$$

Sweep method를 적용하여 식 (19)를 풀면 DRE (16)의 해석 해를 다음과 같이 쓸 수 있다 ⁽¹⁶⁾.

여기서

$V(t)=-e^{-Mt}\left(\left(W_{22}-P_{r}(0)W_{12}\right)\left(W_{21}-P_{r}(0)W_{11}\right)\right)e^{-Mt}$

■

정리 2. 접근속력(closing velocity)의 시변화율을 무시할 수 있다면$(-\ddot r\approx 0)$ DRE (17)의 해, 즉 시선각 추정필터의 추정오차 공분산 $P_{\lambda}$의 해석 해는 다음과 같다.

여기서 $P_{\lambda}^{(i,\:j)}$는 시선각 추정오차 공분산의 $(i,\:j)$번째 성분, $L_{\lambda}\equiv q_{\lambda}^{2}/(\sigma_{\lambda}^{2}\dot r^{6})$을 의미하며 $\kappa$는 다음과 같이 계산된다.

$\delta_{0}=\sqrt[2]{3(64L_{\lambda}+225)^{2}(27L_{\lambda}^{2}+320L_{\lambda}- 2304)}$

$\delta_{1}=\sqrt[3]{4(1728L_{\lambda}^{2}-69435L_{\lambda}+277472)+12\delta_{0}}$

$\delta_{2}=\sqrt[2]{777 +6\delta_{1}+ 672(97-15L_{\lambda})/\delta 1}$

$\delta_{3}=\sqrt[2]{-\delta_{2}^{2}+2231+ 54(64L_{\lambda}+225)/\delta_{2}}$

$\kappa =\begin{cases}\left(-\sqrt{35 + 2(\delta_{2}+\delta_{3})/3}+9\right)/2& (\dot r > 0)\\\left(\sqrt{35 + 2(\delta_{2}+\delta_{3})/3}+9\right)/2&(\dot r < 0)\end{cases}$

□

증명.

DRE (17)은 시변행렬 $F_{\lambda}$ 및 $R_{\lambda}$에 의해 기술되므로 정리 1의 방법으로 해를 얻을 수 없다. 대신 시불변행렬 $\overline{P}_{\lambda}$와 시변 오차공분산 $P_{\lambda}(t)$ 간의 대수변환관계를 생각해보자.

만일 $\ddot r\approx 0$라면, 식 (22)를 DRE (17)에 적용하여 시불변행렬 $\overline{P}_{\lambda}$에 대한 ARE(algebraic Riccati equation)을 얻을 수 있다.

여기서 관련 행렬들은 다음과 같다.

$\overline{A_{\lambda}}= -\begin{bmatrix}3\dot r / 2 &-1&0\\0& 5\dot r / 2 &1\\0&0&\dot r /2\end{bmatrix},\:\overline{B_{\lambda}}=\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix},\:\overline{C_{\lambda}}=\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}^{T},\:\overline{R}^{-1}_{\lambda}=\sigma_{\lambda}^{2}$

상수 $\kappa$에 대해 $\overline{P}_{\lambda}^{(1,\: 1)}/\sigma_{\lambda}^{2}equiv -\dot r\kappa$로 정의하면 ARE (23)의 해석 해를 다음과 같이 얻을 수 있다.

식 (24)의 결과에 대수변환관계 (22)의 역연산을 취하면 DRE (17)의 해석 해 (21)이 유도된다 (자세한 과정은 ⁽¹⁴⁾ 참조).

■

이제, 정리 1~2의 결과와 변환관계 (11)을 역으로 활용하면 비선형 추적필터의 오차공분산 해석 해를 계산할 수 있다.

정리 3. $j$번째 레이더에 내장된 비선형 추적필터에서 산출된 표적위치추정 오차공분산의 해석 해는 다음과 같다.

□

증명.

상태추정치 $\hat bold\chi$를 참값 $bold\chi$과 추정오차 $\delta bold\chi$의 합 $\hat bold\chi = bold\chi +\delta bold\chi$으로 쓸 수 있으므로, 식 (11)에 등가 시선좌표계 추정치를 대입하면 $I$-frame 상태추정치를 다음과 같이 계산할 수 있다.

식 (26)의 1차 테일러 급수를 전개하면, 시선좌표계 추정오차를 이용해 $I$-frame 표적 상태변수 추정오차를 근사할 수 있다.

선형 필터구조를 갖는 등가 시선좌표계 추적필터는 영평균 추정오차 특성을 만족하므로 식 (27)을 이용하여 $I$-frame 표적 상태변수 추정오차 공분산을 식 (28)과 같이 산출할 수 있다.

여기서 $P_{x}$는 비선형 추적필터의 추정오차 공분산을 의미한다.

$I$-frame 표적위치 추정오차 공분산 ${P_{R}}_{j}$를 추출하면 식 (29)을 얻는다. 이때,

여기서

$J_{\boldsymbol{R}_{j}}=\left[\begin{array}{ccc}c(a) c(e) & -r s(a) c(e)-r c(a) s(e) \\ s(a) c(e) & r c(a) c(e) & -r s(a) s(e) \\ -s(e) & 0 & -r c(e)\end{array}\right]$

■

식 (25)는 제안한 기법에 의해 산출된 비선형 추적필터의 위치 오차공분산이 레이더의 측정잡음 분산과 레이더 위치의 함수로 기술된다는 것을 분명히 보여준다. 식 (18), (21) 로부터 상대거리 추정오차공분산 $P_{r}$은 레이더의 거리 측정잡음분산 $\sigma_{r}^{2}$, 시선각 추정오차공분산 $P_{e},\: P_{a}$는 모두 각도 측정잡음분산 $\sigma_{\lambda}^{2}$과 표적 상대거리 $r$ 및 상대거리 변화율 $\dot r$의 함수이다. 마찬가지로 표적 상대기하와 관련된 변수들($r,\: a,\: e$)은 모두 레이더 위치에 따라 그 값이 달라지므로 정리 3의 결과는 복수 레이더 배치 문제를 정식화하는 데 매우 유용한 형태이다.

정리 4. $N_{R}$개의 레이더로 구성된 MRS의 융합필터로부터 획득된 표적위치 정보량의 상한 $I_{R_{f}}^{\max}(t)$, 즉 표적추적 성능지표는 각 레이더에서 획득된 표적위치 정보량 ${I_{R}}_{j}(t)$의 합에 의해 결정된다.

여기서 ${I_{R}}_{j}(t)$는 식 (20)의 $P_{r}$과 식 (21)로 계산되는 행렬 $P_{\lambda}= P_{a}= P_{e}$를 이용하여 다음과 같이 계산된다.

□

증명.

레이더에 내장된 비선형 표적추적 필터의 추정오차 공분산은 양한정(positive definite)이므로 다음 부등식이 만족된다.

식 (2)으로부터 MRS 융합센터에서 최종적으로 획득되는 표적위치정보량의 상한 $I_{R_{f}}^{\max}(t)$은 개별 레이더표적 정보량 ${I_{R}}_{j}(t)$의 단순 합이다. 정의에 따라 ${I_{R}}_{j}(t)=\left | P_{R_{j}}^{-1}\right |$이므로 정리 3의 식 (25)를 대입한 후 그 결과를 정리하면 식 (31)을 얻는다.

■

정리 4는 MRS의 표적추적 성능지표를 해석적 방법에 의해 정량화할 수 있음을 보여준다. 식 (30)은 레이더 배치 후보지, 레이더 운용조건이 달라지더라도 손쉽게 계산 가능하므로 일반화된 MRS 배치문제의 목적함수 산출에 매우 유리하다.