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  1. (Dept. of Electrical Eng., Myongji University, Korea)



Reduced model based control, PI observer, System stability, Root locus, Motor position control

1. 서 론

제어 시스템의 성능을 결정하는 다양한 요소 중 설계 단계에서 정확한 모델 식별은 매우 중요하다. 그러나 실제 시스템 모델링은 포함된 동특성에 따라 계산의 복잡성을 자주 일으키기도 하므로 관심 영역에 따라 덜 기여하거나 계산을 복잡하게 하는 상태를 고려하지 않고 지배적인 특성만을 포착한 모델로 시스템 차수를 축소하는 방법이 적용되고 있다 (1-4).

한편 축소된 시스템으로 입출력 특성을 정의하는 것은 시스템의 상대차수 불확실성을 야기하고 다양한 상황에서 시스템의 성능을 저하시키는 원인이 되기도 한다. 이러한 이유로 축소차수 시스템의 폐루프 안정성 및 성능 향상에 대한 연구는 의미 있는 연구 주제 중 하나이다 (5,6).

비구조적인 불확실성과 같은 다양한 원인에 의한 폐루프 시스템의 성능 저하를 보상하기 위한 방법으로 외란관측기 기반 제어기가 많이 활용되고 있다 (7-11). 특히, 논문 (11)은 Q-필터가 충분히 작은 시정수를 가질 때 외란관측기 기반 폐루프 시스템이 안정성을 유지하기 위한 필요충분조건에 가까운 충분조건을 제시하였다. 이때 공칭 시스템은 실제 시스템과 같은 차수이고 최소 위상일 경우에 대해 미리 설계된 제어기와 외란관측기를 함께 사용할 수 있다. 한편, 공칭시스템 전달함수의 역을 사용하는 외란관측기 외에 PI 관측기를 사용한 외란 보상 기법도 많은 관심을 받고 있다 (12-17).

한편 불확실성과 외란 하에서도 공칭 성능을 유지하기 위한 연구가 많이 수행되었지만 모델 축소로 인한 상대 차수 불확실성에 대한 연구는 찾기 어렵다. 최근 논문 (18)에서는 실제 시스템과 공칭 모델의 상대차수가 다른 경우에 대해 충분히 작은 시정수를 갖는 Q-필터에 대해서 시스템이 불안정할 수 있음을 보이고 외란관측기를 사용한 제어시스템의 안정도를 주파수 영역에서 엄밀하게 분석하였다.

논문 (19)는 축소 차수 모델 기반 제어기와 PI 관측기를 함께 사용한 폐루프 시스템의 경우 높은 제어기 및 관측기 이득에 대해 불안정해질 수 있음을 조사하였다. 축소차수 모델 기반 제어기와 PI 관측기가 개별적으로 안정하더라도 결합된 폐루프 시스템이 안정되기 위해서는 관측기 이득과 상태 궤환에 의한 폐루프 고유치가 제한되어야하는 조건을 제시하였다. 하지만 논문 (19)의 제어기는 모든 폐루프 고유치를 단일 위치에 배치한 경우만 해석하고 있어 이러한 발견이 일반적인 것인지에 대한 추가 연구가 필요하다.

본 논문은 (19)의 확장으로 폐루프 고유치가 단일 위치에 배치되는 않는 상황을 해석하기 위해 새로운 수식 전개를 추가하고 근궤적을 비교함으로써 폐루프 시스템이 안정하기 위한 조건을 설명한다. 구체적인 수치를 사용한 결과 확인을 위해 직류 전동기의 위치제어 시스템 대한 근궤적을 비교한다. 전동기는 기계 및 전기 동특성의 차이로 인해 제어기와 관측기 설계 시 축소 모델이 자주 사용되고 있다(13,15).

분석은 두 가지 상태 궤환 제어기를 사용한 경우를 비교하였으며 하나는 폐루프 극점이 단일 위치에 배치된 경우이고 다른 하나는 LQR 제어기의 가중치 행렬을 변화시키면서 찾은 서로 다른 위치를 고려한다. 분석 결과는 두 경우 모두 상태 궤환 이득과 관측기 이득 값을 증가시키면 폐루프 시스템의 불안정성으로 이어진다는 것을 보인다. 즉, 안정한 상태 궤환 제어 이득 조건에서도 관측기의 보상에 의해 폐루프 시스템은 불안정해질 수 있음을 의미한다. 따라서 외란관측기 설계시 주제어기 성능과 외란 보상 성능 사이에서 타협이 필요하다.

본 논문의 구성은 2.1절에서 논문에서 다루는 시스템 모델을 소개하고 2.2절과 2.3절에서 축소 모델을 기반으로 설계된 상태궤환 제어기와 축소차수 PI 관측기의 안정도를 근궤적 기법으로 조사한다. 3장에서는 직류 전동기 위치 제어 예제를 통해 보다 구체적으로 이득 변화에 따른 안정도 변화를 살펴본다. 3.1절은 전동기 모델을 소개하고, 3.2절에서 제어기 및 관측기를 설계한 다음, 3.3절에서는 LQR 제어기와의 비교를 통해 제어 이득과 관측 이득 설계시 타협을 위한 근궤적 방법을 설명한다. 마지막 4장으로 결론을 맺는다.

2. 본 론

2.1 시스템 모델

본 논문에서는 아래와 같이 표현된 시스템의 PI 관측기 기반 상태 궤환 제어기 설계 문제를 고려한다 (19).

(1)

$\dot{x}_{1}=x_{2}$

$\dot{x}_{2}=x_{3}$

$\quad \vdots$

$\dot{x}_{n-1}=x_{n}$

$\dot{x}_{n}=-a_{1} x_{1}-a_{2} x_{2}-\cdots-a_{n-1} x_{n-1}-a_{n} x_{n}+b u$.

위 식에서 $x_{[1, n]}:=\left[x_{1} x_{2} \cdots x_{n}\right]^{T}(n \geq 2)$는 시스템의 상태, 는 제어 입력이고, $a_{i}(1 \leq i \leq n)$와 는 시스템 파라미터이다. 이때 양수 이 다른 파라미터에 비해 매우 큰 경우$\left(a_{n} \gg 1\right)$에는 $x_{n}$의 동특성이 다른 상태의 동특성보다 빨라 특이섭동 이론에 따라 식 (1)에서 $\dot{x}_{n} \approx 0$으로 가정하고 아래와 같은 축소(reduced-order) 모델을 고려할 수 있다 (1,2).

(2)

$\dot{x}_{1}=x_{2}$

$\dot{x}_{2}=x_{3}$

$\quad \vdots$

$\dot{x}_{m-1}=x_{m}$

$\dot{x}_{m}=-\frac{a_{1}}{a_{n}} x_{1}-\frac{a_{2}}{a_{n}} x_{2}-\cdots-\frac{a_{m}}{a_{n}} x_{m}+\frac{b}{a_{n}} u+\frac{b}{a_{n}} d_{r} .$

식 (2)에서 $m=n-1(m \geq 1)$이고, $d_{r}$은 모델 축소로 인한 식 (1)과의 차이를 반영한 모델 불확실성을 의미한다. 식 (1)(2)의 라플라스 변환으로부터 아래 식을 얻을 수 있다.

(3)

$s X_{n-1}=\frac{1}{s+a_{n}}\left(-a_{1} X_{1}-\cdots-a_{n-1} X_{n-1}+b U\right)$,

$s X_{n-1}=\frac{1}{a_{n}}\left(-a_{1} X_{1}-\cdots-a_{n-1} X_{n-1}+b U+b D_{r}\right)$.

위 식으로부터 $D_{r}$을 구하면 다음과 같다.

(4)
$D_{r}=-\frac{s}{b\left(s+a_{n}\right)}\left(-a_{1} X_{1}-\cdots-a_{n-1} X_{n-1}+b U\right)$.

논문 (19)에서는 축소 모델 식 (2)를 사용하여 을 포함한 외란 보상을 위해 설계한 고이득 PI 관측기 기반 제어 시스템의 안정도 조건을 조사하였다.

2.2 축소 모델에 대한 상태 궤환 제어기

외란 관측기 기반 제어기 설계 과정은 불확실성이 없는 공칭 시스템에 대한 주제어기(main controller) 설계와 외란 보상을 위한 관측기 설계라는 두 부분으로 나누어 생각할 수 있다. 본 절에서는 우선 불확실성이 없는($d_{r}$ =0) 축소 모델을 대한 주제어기로 아래 상태 궤환 제어기를 고려한다.

(5)
$u=-K_{1} x_{[1, m]} ; x_{[1, m]}=\left[x_{1} x_{2} \cdots x_{m}\right]^{T}$.

예를 들어 모든 폐루프 고유치가 임의의 양수 $\alpha$ >0 에 대해 s= -$\alpha$에 위치하도록 이득 를 정하면 아래와 같다.

(6)
$k_{i}=\frac{1}{b}\left(a_{n}\left(\begin{array}{c}m \\ m-i+1\end{array}\right) \alpha^{m-i+1}-a_{j}\right), \quad 1 \leq i \leq m$

단, $\left(\begin{array}{c}m \\ r\end{array}\right)={ }_{m} C_{r}=\frac{m !}{r !(m-r) !}$이다.

제어 입력 식(5)- 식(6)을 시스템에 인가할 때 실제 폐루프 안정도는 전체 시스템 식(1)을 고려해야 한다. 실제 (full-order) 폐루프 시스템 식은 다음과 같다. 단, m=n-1 이다.

(7)
$\begin{aligned} \dot{x}_{1}=& x_{2} \\ \dot{x}_{2}=& x_{3} \\ \vdots & \\ \dot{x}_{m}=& x_{n} \\ \dot{x}_{n}=&-a_{n} \alpha^{m} x_{1}-a_{n}\left(\begin{array}{c}m \\ m-1\end{array}\right) \alpha^{m-1} x_{2}-\cdots \\ &-a_{n}\left(\begin{array}{c}m \\ 1\end{array}\right) \alpha x_{m}-a_{n} x_{n} . \end{aligned}$

위 식의 특성방정식을 구하면 아래와 같다.

(8)
$\gamma^{f_{n}}(s):=s^{n}+a_{n}(s+\alpha)^{m}=0$

위 식에서 $\alpha$와 $a_{n}$의 크기에 따른 안정도 분석을 위해 식 (8)을 아래와 같이 $a_{n}$에 대한 근궤적 식으로 다시 쓴다.

(9)
$1+\frac{a_{n}(s+\alpha)^{m}}{s^{n}}=0$

식 (9)를 보면 식 (8)의 근은 $a_{n}$의 크기에 따라 원점에서 출발해서 -$\alpha$와 -$\infty$쪽으로 이동하는 근궤적 상에 존재함을 알 수 있다. 즉, 원점에서 출발한 n개의 근궤적 중 m(=n-1)개는 -$\alpha$로 가고 1개는 -$\infty$로 간다. 이때, 근궤적의 출발 각을 계산하면 $\frac{(2 k+1) \pi}{n}$이다 (k: 정수). 따라서 원 시스템 식(1)의 차수가 3차 이상이면 작은 $a_{n}$에 대한 근궤적의 일부는 우반평면에 위치하므로 불안정하다가, $a_{n}$이 일정 값 이상 크면 근궤적이 허수축과 만난 이후 좌반평면으로 이동하여 모든 근이 안정하게 된다. 그림 1은 n=3이고 $\alpha$=1000인 경우의 근궤적 예이다.

그림. 1. 식 (9)의 근궤적 (n=3, $\alpha$=1000)

Fig. 1. Root locus of eq (9) when n=3, $\alpha$=1000

../../Resources/kiee/KIEE.2021.70.11.1722/fig1.png

일반적인 시스템 차수 에 대해 식 (8)이 안정하기 위한 의 조건으로 Routh-Hurwitz 안정도 판별법을 적용하여 찾은 필요조건은 다음과 같다.

(10)
$a_{n}\left(\begin{array}{c}m \\ 1\end{array}\right) \alpha-\left(\begin{array}{c}m \\ 2\end{array}\right) \alpha^{2}>0$.

식 (10)으로부터 아래 식을 만족해야 하므로 시스템 안정도를 위해 제어기 파라미터 $\alpha$는 시스템 파라미터 $a_{n}$에 의해 그 크기가 제한됨을 알 수 있다.

(11)
$0<\alpha<\frac{2 a_{n}}{m-1}$

2.3 축소차수 PI 관측기 기반 제어시스템의 안정도

시스템의 외란과 불확실성을 보상하기 위해 독립적으로 설계한 PI 관측기가 추가로 활용되고 있다(7-19). 본 절에서는 식 (2)의 외란 $d_{r}$과 추가적인 불확실성을 포함한 외란 를 추정하기 위한 축소차수 PI 관측기를 고려한다. 외란 추정을 위해 상수 외란을 가정한$(\dot{d} \approx 0)$ 축소차수 PI 관측기(14)식 (2)에 대해 설계한다. 대상 시스템은 다음과 같다.

(12)
$\dot{x}_{1}=x_{2}$ $\dot{x}_{2}=x_{3}$ $\quad \vdots$ $\dot{x}_{m-1}=x_{m}$ $\dot{x}_{m}=-\frac{a_{1}}{a_{n}} x_{1}-\frac{a_{2}}{a_{n}} x_{2}-\cdots-\frac{a_{m}}{a_{n}} x_{m}+\frac{b}{a_{n}} u+\frac{b}{a_{n}} d$ $\dot{d}=0 .$

식 (12)에 대한 축소차수 PI 관측기 식은 다음과 같다 (단, $l$ > 0) (14).

(13)

$\dot{x}_{c}=-l x_{c}+\frac{l}{b}\left(a_{1} x_{1}+\cdots+\left(a_{m}-a_{n} l\right) x_{m}\right)-l u$,

$\hat{d}=x_{c}+\frac{a_{n} l}{b} x_{m} .$

앞서 설계한 제어기 식(5)와 축소차수 PI 관측기 식(13)을 함께 사용한 제어 입력은 다음과 같다.

(14)
$u=-K x_{[1, m]}-\hat{d}$

제어 이득 식(6)에 의한 폐루프 시스템의 안정도 분석을 위해 입력 식(14)를 전체 시스템 식 (1)에 대입하고 정리하면 다음과 같다.

(15)
$\begin{aligned} \dot{x}_{1}=& x_{2} \\ \dot{x}_{2}=& x_{3} \\ \vdots & \\ \dot{x}_{m}=& x_{n} \\ \dot{x}_{n}=&-a_{n} \alpha^{m} x_{1}-a_{n} m \alpha^{m-1} x_{2}-\cdots \\ &-a_{n}\left(m \alpha x_{m}+l\right) x_{m}-a_{n} x_{n}-b x_{c} \\ \dot{x}_{c}=& \frac{l}{b}\left(\begin{array}{c}a_{n} \alpha^{m} x_{1}+a_{n} m \alpha^{m-1} x_{2}+\cdots \\ +a_{n}\left(\begin{array}{c}m \\ 2\end{array}\right) \alpha^{2} x_{m-1}+a_{n} m \alpha x_{m}\end{array}\right) \end{aligned}$

위 시스템의 특성방정식을 구하면 다음과 같다.

(16)
$\begin{aligned} \gamma^{o_{n+1}}(s) &:=s^{n+1}+a_{n} s^{n}+a_{n}\left(\left(\begin{array}{c}m \\ 1\end{array}\right) \alpha+l\right) s^{m}+\cdots \\ &+a_{n}\left(\alpha^{m}+\left(\begin{array}{c}m \\ m-1\end{array}\right) \alpha^{m-1} l\right) s+a_{n} \alpha^{m} l=0 \end{aligned}$

위 식에서 $\alpha$ 및 $a_{n}$과 $l$의 상대적인 크기에 따른 안정도 분석 방법으로 근궤적을 활용한다. 식 (16)을 $l$에 대한 근궤적 형태로 정리하면 다음과 같이 쓸 수 있다.

(17)
$1+\frac{a_{n} l(s+\alpha)^{m}}{s\left(s^{n}+a_{n}(s+\alpha)^{m}\right)}=0$.

위 식에서 무한대로 가는 근궤적 점근선은 다음과 같다.

(18)
$\sigma=\frac{m \alpha-a_{n}}{2}, \theta=\pm \frac{\pi}{2}$.

위 식을 보면 $m \alpha<a_{n}$일 때 점근선이 좌반평면에 위치한다. 따라서 $a_{n}$/m에 비해 $\alpha$가 큰 값을 갖는 경우 관측기 이득 $l$을 키우게 되면 시스템은 불안정해진다.

이제 $\alpha$에 따른 $l$의 조건을 조사하기 위해 식 (16)에 Routh-Hurwitz 안정도 판별법을 적용하여 필요조건을 조사하면 아래와 같다.

(19)
$m \alpha\left(a_{n}-\frac{m-1}{2} \alpha\right)+l\left(a_{n}-m \alpha\right)>0$.

식 (19)로부터 폐루프 시스템이 안정하기 위한 의 범위를 구하면 다음과 같다.

(20)
$\begin{cases}l>0 & \text { for } 0<\alpha \leqq \frac{a_{n}}{m} \\ 0<l<\frac{m a}{m a-a_{n}}\left(a_{n}-\frac{m-1}{2} \alpha\right) & \text { for } \frac{a_{n}}{m}<a<\frac{2 a_{n}}{m-1}\end{cases}$

위 식과 같이 $\alpha$가 커짐에 따라 $l$의 범위가 제한된다. 증가에 따른 $l$의 범위 변화를 확인하기 위해 식 (20)에서 상한으로 주어진 아래 함수 $f(\alpha)$의 변화율을 조사한다.

(21)
$f(\alpha)=\frac{m \alpha}{m \alpha-a_{n}}\left(a_{n}-\frac{m-1}{2} \alpha\right)$.

(22)

$\frac{d f}{d \alpha}(\alpha)=-\frac{m^{2}(m-1)}{2\left(m \alpha-a_{n}\right)^{2}} g(\alpha)<0$

$\because g(\alpha)=\left(\alpha-\frac{a_{n}}{m}\right)^{2}+\frac{m+1}{m^{2}(m-1)} a_{n}^{2}>0$

식 (22)를 통해 식 (20)에서 $\alpha$를 키우면 폐루프 시스템을 안정하도록 하는 $l$의 범위가 감소한다는 것을 알 수 있다.

다음 절에서는 DC 모터의 위치제어 문제에 위 결과를 적용한 근궤적을 통해 폐루프 시스템의 안정도를 조사한다.

3. DC 모터 위치 제어 시스템 해석

3.1 시스템 모델 및 제어기 설계

본 절에서 다루는 DC 모터 모델은 다음과 같다.

(23)

$\dot{\theta}_{m}=\omega_{m}$

$\dot{\omega}_{m}=-\frac{B_{m}}{J_{m}} \omega_{m}+\frac{K_{t}}{J_{m}} i_{a}$

$\dot{i}_{a}=-\frac{K_{b}}{L_{a}} \omega_{m}-\frac{R_{a}}{L_{a}} i_{a}+\frac{1}{L_{a}} u$

위 식에서 $\theta_{m}, \omega_{m}, i_{a}$는 각각 회전자 각도, 속도 및 전류이다. $u$는 입력 전압이고 $J_{m}$, $B_{m}$은 회전자의 관성 질량과 마찰 계수; $K_{t}$, $K_{b}$는 토크 상수와 역기전력 상수; $L_{a}$, $R_{a}$는 회전자 인덕턴스와 저항이다 (20).

앞 절의 결과를 적용하기 위해 시스템을 다음과 같은 정규 형태로 변환한다. 이때, 시스템의 상태 $x=\left[\begin{array}{lll}x_{1} & x_{2} & x_{3}\end{array}\right]^{T}=\left[\begin{array}{lll}\theta_{m} & \omega_{m} & \dot{\omega}_{m}\end{array}\right]^{T}$이다.

(24)

$\dot{x}_{1}=x_{2}$

$\dot{x}_{2}=x_{3}$

$\dot{x}_{3}=-a_{1} x_{1}-a_{2} x_{2}-a_{3} x_{3}+b u .$

위 식에서 $a_{1}=0, a_{2}=\frac{B_{m} R_{a}+K_{b} K_{t}}{J_{m} L_{a}}, a_{3}=\frac{B_{m}}{J_{m}}+\frac{R_{a}}{L_{a}}$이고, $b=K /\left(J_{m} L_{a}\right)$이다.

일반적인 모터에서 전기적인 동특성이 기계적인 동특성보다 매우 빠르고 $a_{3} \gg 1$이므로 다음 식으로 근사한 축소 모델을 고려할 수 있다 (13,15).

(25)

$\dot{x}_{1}=x_{2}$

$\dot{x}_{2}=-\frac{a_{1}}{a_{3}} x_{1}-\frac{a_{2}}{a_{3}} x_{2}+\frac{b}{a_{3}} u+\frac{b}{a_{3}} d$

본 절에서는 축소 모델 식(25)를 기반으로 설계한 상태 궤환 제어기와 PI 관측기를 전체 시스템 식(24)에 적용한 폐루프 시스템 안정도를 표 1의 모터 파라미터를 이용한 근궤적으로 확인한다. 이때, $a_{3} \approx 2885.8$이다.

표 1. DC 모터 파라미터 (14)

Table 1. DC motor parameters (14)

$R_{a}$

$J_{m}$

$K_{b}$

0.605[Ohm]

86.85[g-cm$^{2}$]

23.3[mV/(rad/sec)]

$L_{a}$

$B_{m}$

$K_{t}$

0.210[mH]

0.04216[mNm/(rad/s)]

23.4[mNm/A]

3.2 DC 모터 제어기 및 관측기 설계

식 (25)의 축소 모델(reduced model)에 대해 상태 궤환 제어기 $u=-\left[k_{1} k_{2}\right] x_{[1,2]}$를 인가하면 폐루프 행렬($A^{r_{2}}$) 및 특성다항식$\left(\gamma^{r_{2}}(s)\right)$은 아래와 같다.

(26)
$A^{r_{2}}=\left[\begin{array}{c}0 \\ -\left(\frac{a_{1}+b k_{1}}{a_{3}}\right)\end{array}-\left(\frac{a_{2}+b k_{2}}{a_{3}}\right)\right]$.

(27)
$\gamma^{2}(s)=s^{2}+\left(\frac{a_{2}+b k_{2}}{a_{3}}\right) s+\left(\frac{a_{1}+b k_{1}}{a_{3}}\right)$

이때 축소 이전의 전체 (full order) 시스템 식(24)에 대한 실제 폐루프 행렬($A^{f_{3}}$) 및 특성다항식$\left(\gamma^{f_{3}}(s)\right)$은 아래와 같다.

(28)
$A^{f_{3}}=\left[\begin{array}{ccc}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ -\left(a_{1}+b k_{1}\right) & -\left(a_{2}+b k_{2}\right) & -a_{3}\end{array}\right]$

(29)
$\gamma^{f_{3}}(s)=s^{3}+a_{3} s^{2}+\left(a_{2}+b k_{2}\right) s+\left(a_{1}+b k_{1}\right)$

위의 두 특성다항식 $\gamma^{r_{2}}(s)$와 $\gamma^{f_{3}}(s)$의 관계는 아래와 같다.

(30)
$\gamma^{f}(s)=s^{3}+a_{3} \gamma^{r}(s)$.

한편 식 (25)에 대해 축소차수 PI 관측기는 다음과 같다.

(31)

$\dot{x}_{c}=-l x_{c}+\frac{a_{1} l}{b} x_{1}+\frac{l}{b}\left(a_{2}-a_{3} l\right) x_{2}-l u$

$\hat{d}=x_{c}+\frac{a_{3} l}{b} x_{2}$

이제 주제어기와 축소차수 PI 관측기를 함께 사용한 제어 입력은 다음과 같다.

(32)
$u=-k_{1} x_{1}-\left(k_{2}+\frac{l}{b} a_{3}\right) x_{2}-x_{c}$.

위 입력을 축소 이전의 전체 (full order) 시스템 식(24)에 인가하면 폐루프 행렬($A^{o_{4}}$) 및 특성다항식($\gamma^{o_{4}}(s)$)은 다음과 같다.

(33)
$A^{o_{4}}=\left[\begin{array}{cccc}0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ -\left(a_{1}+b k_{1}\right) & -\left(a_{2}+b k_{2}+l a_{3}\right) & -a_{3} & -b \\ l\left(\frac{a_{1}}{b}+k_{1}\right) & l\left(\frac{a_{2}}{b}+k_{2}\right) & 0 & 0\end{array}\right]$

(34)
$\begin{aligned} \gamma^{o_{4}}(s)=& s^{4}+a_{3} s^{3}+\left(a_{2}+b k_{2}+l a_{3}\right) s^{2} \\ &+\left(a_{1}+b k_{1}+l\left(a_{2}+b k_{2}\right)\right) s+l\left(a_{1}+b k_{1}\right) \end{aligned}$

위 식 $\gamma^{o_{4}}(s)$는 $\gamma^{r_{2}}(s)$와 $\gamma^{r_{3}}(s)$를 사용해서 아래와 같이 다시 표현할 수 있다.

(35)
$\begin{aligned} \gamma^{o_{4}}(s) &=s\left(s^{3}+a_{3} \gamma^{r_{2}}(s)\right)+a_{3} l \gamma^{r_{2}}(s) \\ &=s \gamma^{f_{3}}(s)+a_{3} l \gamma^{r_{2}}(s) \end{aligned}$

위 식은 아래와 같이 다시 쓸 수 있다.

(36)
$\gamma^{o_{4}}(s)=0 \Leftrightarrow 1+\frac{a_{3} l \gamma^{r_{2}}(s)}{s \gamma^{f_{3}}(s)}=0$

이때 근궤적의 출발점인 분모 식에서 $\gamma^{r_{3}}(s)$에 대해서도 아래와 같은 근궤적 형태로 다시 표현할 수 있다.

(37)
$\gamma^{f_{3}}(s)=0 \Leftrightarrow 1+\frac{a_{3} \gamma^{r_{2}}(s)}{s^{3}}=0$

식 (36)으로부터 전체 폐루프 특성방정식 $\gamma_{4}^{o}(s)=0$의 근은 원점과 $\gamma_{3}^{f}(s)=0$의 근으로부터 출발해서 $a_{3}$$l$의 크기에 따라 $\gamma^{r_{2}}(s)$의 근과 무한대로 이동함을 알 수 있다. 무한대로 가는 두 근의 점근선은 아래와 같다.

(38)
$\sigma=\frac{1}{2}\left(\frac{a_{2}+b k_{2}}{a_{3}}-a_{3}\right), \theta=\pm \frac{\pi}{2}$

식 (38)을 보면 $a_{2}+b k_{2}<a_{3}^{2}$의 조건에서 점근선이 좌반평면에 위치하므로 이 조건을 만족하지 않는 제어 이득 $k_{2}$에 대해 큰 값을 갖는 관측기 이득 $l$을 사용하면 시스템은 불안정해짐을 알 수 있다.

다음 절에서는 제어 이득 K 및 관측 이득 $l$의 크기에 따른 근궤적 비교를 통해 지금까지 얻은 결과를 확인한다.

3.3 폐루프 특성방정식의 근궤적 해석

상태 궤환 제어기 이득 K에 따른 안정도 비교 분석을 위해 모든 폐루프 극점이 s=-$\alpha$에 위치하도록 정한 이득과 LQR 제어기의 이득을 사용하는 경우를 비교한다. LQR 제어기는 $Q \geq 0$이고 R > 0인 행렬에 대해 아래 목적 함수 $J$를 최소화하는 상태 궤환 제어기를 의미한다.

(39)
$J=\int_{0}^{\infty}\left(x^{T} Q x+u^{T} R u\right) d t$

3.3.1 중근(s = -$\alpha$)을 갖는 경우에 대한 근궤적

다항식 $\gamma^{r_{2}}(s)$가 중근을 갖도록 이득 K를 정하면 식 (37)의 근궤적은 $\alpha$의 크기에 따라 아래 그림 2와 같이 나타난다.

그림. 2. 다양한 $\alpha$값에 대한 근궤적 $\gamma^{f_{3}}(s)=0$

Fig. 2. Root trajectories of $\gamma^{f_{3}}(s)=0$ for various $\alpha$

../../Resources/kiee/KIEE.2021.70.11.1722/fig2.png

그림 2의 근궤적 출발점은 0이고 출발 각이 -π/3, π/3, π 이므로 $a_{3}$가 커짐에 따라 2개의 근궤적은 우반평면으로 진행하다가, $a_{3}$가 일정 값 이상 증가하면 허수축과 만난 이후 좌반평면으로 이동하여 음의 실수축으로 인입하고, 결국 종착점인 -$\alpha$와 -$\infty$로 나눠진다.

그런데 사실상 $a_{3}$는 표 1의 시스템 파라미터로 정해진 상수이므로 식 (37)의 근은 그림 2의 X점에 위치하고, 안정도를 결정하는 식 (36)의 근은 이 X점과 원점으로부터 $l$의 증가에 따라 새로운 근궤적 그림 3과 같이 이동하게 된다. 이때 4개의 근궤적 중 2개는 -$\alpha$로 이동하고 나머지 2개는 점근선 $\sigma \pm j \infty$을 따라 이동한다. $l$에 대한 근궤적 점근선의 $\sigma$는 다음과 같다.

(40)
$\sigma=\frac{2 \alpha-a_{3}}{2}, \theta=\pm \frac{\pi}{2}$

따라서 식(36)의 근은 $\alpha \leq 0.5 a_{3}$인 경우에는 $l$의 값에 관계없이 좌반평면에 머문다. 그러나 $\alpha$를 증가시키면 식(36)의 근이 시작되는 지점이 허수축에 더 가깝게 이동하므로 좋지 않은 과도현상을 예상할 수 있다.

그림 3을 보면 이득 $l$이 작을 때 폐루프 시스템은 안정하지만 $\alpha$가 큰 경우에 대해 $l$이 증가하면 두 근궤적이 허수축을 가로질러 불안정해 짐을 볼 수 있다 (그림 3의 하단).

그림. 3. 폐루프 근궤적에 미치는 의 영향 (s= -$\alpha$)

Fig. 3. Effect of on closed-loop root trajectories (s= -$\alpha$)

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다음 절에서는 LQR 방법을 사용하여 식(27)의 극점을 서로 다른 위치에 배치할 때에도 동일한 결론에 도달할 수 있는지 여부를 근궤적으로 확인한다.

3.3.2 LQR 제어기를 사용한 경우에 대한 근궤적

본 절에서는 양수 q와 C=[1 0]에 대해 가중치 행렬 $Q=q C^{T} C$ 및 R= 10$^{-2}$으로 정한 LQR 제어기로 식 (27)의 이득을 결정한다. 앞 절에서 제어기 파라미터 $\alpha$에 따른 폐루프 시스템의 안정도를 조사하였듯이 LQR 제어기 변수 q의 변화에 따른 근궤적의 차이를 관찰한다.

LQR 제어기의 q가 증가할 때 의 근은 그림 4의 영점(o 표시) 변화에 해당하고 이때 $a_{3}$에 대한 식 (37)의 근궤적은 그림 4와 같이 나타난다. 앞 절과 유사하게 LQR 이득에 대한 근궤적은 q가 증가하면 모터 파라미터에 의한 에 따라 정해지는 식(37)식의 근(X표시)이 허수축을 향해 이동하고 결국 우반평면으로 진행함을 보여준다 (그림 4).

그림. 4. 다양한 q값에 대한 근궤적 $\gamma^{f_{3}}(s)=0$

Fig. 4. Root trajectories of $\gamma^{f_{3}}(s)=0$ for various q

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그림. 5. 폐루프 근궤적에 미치는 $l$의 영향 (LQR)

Fig. 5. Effect of $l$ on closed-loop root trajectories (LQR)

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폐루프 시스템 안정도를 결정하는 식 (36)의 근은 그림 4의 X점과 원점으로부터 $l$의 증가에 따라 새로운 근궤적 그림 5와 같이 이동하게 된다. 이때 4개의 궤적 중 2개는 그림의 영점(o 표시)으로 이동하고 식 (38)의 점근선을 따라 이동한다. q값을 증가시키면 $k_{2}$가 증가하여 점근선이 좌반평면에 머물기 위한 조건 ($a_{2}+b k_{2}<a_{3}^{2}$)에 위배되므로 $l$이 증가하면 두 근궤적이 허수축을 가로질러 불안정해 짐을 확인할 수 있다 (그림 5의 하단). 반면에 작은 q 값에서 얻은 근은 좌반평면에 머물게 된다 (그림 5의 상단).

4. 결 론

본 논문은 상대적으로 느린 시스템과 빠른 시스템으로 구성된 전체 시스템에서 준 정상상태 시스템(Quasi Steady State System)으로 축소된 시스템을 대상으로 설계된 상태 궤환 제어기와 축소 차수 관측기를 결합한 폐루프 시스템의 안정성을 조사하였다. 빠른 시스템의 동특성을 좌우하는 파라미터($a_{n}$)와 제어기 파라미터($\alpha$ 또는 q) 및 관측기 파라미터($l$)의 상대적인 크기에 따라 폐루프 시스템의 안정도가 달라질 수 있음을 근궤적 기법을 통해 확인하였다.

구체적인 수치를 사용한 근궤적 확인을 위해 직류 전동기의 위치 제어 시스템 대한 안정도를 분석하였으며 분석은 두 가지 상태 궤환 제어기를 사용한 경우를 비교하였다. 하나는 폐루프 극점이 단일 위치에 배치된 경우이고 다른 하나는 LQR 제어기의 가중치 행렬을 변화시키면서 찾은 이득을 고려하였다. 분석 결과는 두 경우 모두 상태 궤환 이득과 관측기 이득 값을 증가시키면 폐루프 시스템의 불안정성으로 이어진다는 것을 알 수 있었다. 즉, 안정한 상태 궤환 제어 이득 조건에서도 관측기의 보상에 의해 폐루프 시스템은 불안정해질 수 있음을 의미한다. 따라서 축소차수 모델 기반 제어 시스템 구성에서 적절한 폐루프 시스템의 성능을 얻기 위해서는 근궤적법 등을 이용한 제어 이득과 관측 이득의 선정에 대한 주의가 필요하다. 본 논문의 제한적인 결과를 확장하기 위해 향후 다입력 다출력 시스템 등 일반적인 시스템에 대한 추가 연구가 필요하다.

Acknowledgements

This research was supported by Korea Electric Power Corporation (Grant number: R17XA05-2).

This work was supported by the National Research Foundation of Korea(NRF) grant funded by the Korea government(MSIT) (No. 2019R1F1A1058543).

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저자소개

손영익 (Young Ik Son)
../../Resources/kiee/KIEE.2021.70.11.1722/au1.png

He received the B.S., M.S., and Ph.D. degrees from Seoul National University, Korea, in 1995, 1997 and 2002, respectively.

He was a visiting scholar at Cornell University (2007~2008) and University of Connecticut (2016~2017).

Since 2003, he has been with the Department of Electrical Engineering at Myongji University, Korea, where he is currently a professor.

His research interests include robust controller design and its application to industrial electronics.

아마레 네비옐레울 다니엘 (Nebiyeleul Daniel Amare)
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received his B.S. degree from Addis Ababa Science and Technology University, Ethiopia, in 2017.

He is currently working towards his M.S. degree at Myongji University, Korea.

His current research interests are robust control and industrial applications using artificial intelligence.