1. 서 론

로봇이나 무인비행체가 미션을 수행하면서 목표점에 도달하기 위해 필요한 기능은 장애물 회피이다. 로봇은 장착된 라이다(Lidar) 센서를 이용하여 실내 장애물 지도를 만들어서 장애물을 피할 수 있도록 사용자가 경로계획을 통해 목표점 주변의 경로점을 설정하여 장애물을 피하도록 한다^[1]. 실내 비행체도 로봇과 유사한 방식으로 장애물을 회피할 수 있다. 실외 비행체의 경우는 로봇의 라이다와 달리 먼 거리를 볼 수 있는 레이다(Radar)와 같은 센서나 장애물 정보를 알려줄 수 있는 다른 수단들로부터 통신을 통해 장애물을 인식하고, 사용자의 경로계획을 통해 장애물을 회피한다.

비례항법 유도법칙은 무인비행체의 목표점 도달을 위해 가장 널리 사용되는 유도법칙이다. 무인비행체와 목표점 사이의 시선 각속도 정보, 무인비행체의 속력 정보와 항법 상수로부터 비행체의 가속도 명령을 생성하면, 최소 에너지를 사용하여 목표점에 도달할 수 있는 최적 유도법칙이다.

본 논문에서는 장애물 회피를 위한 사전 경로계획 없이 초기 헤딩각과 비례항법 유도법칙을 이용하여 장애물을 회피하는 방안을 제시한다.

장애물 회피에 대한 연구들을 많은 연구자들이 수행해왔다^[2]. 라이다뿐만 아니라 초음파 센서, 단안 카메라, 밀리미터 레이다 등 다양한 센서들을 각각 이용하거나 서로 융합하여 장애물을 회피하는 연구들이 수행되었다. 예를 들면, 2-D 수동 센서를 이용하여 장애물을 인식하고 회피하는 알고리듬이 소개되었다^[3]. 장애물 인식에는 확장 칼만필터를 사용하고, 회피 영역을 충돌 원뿔 접근법을 통해 산출하여, 최소 에너지를 사용해 장애물을 회피하는 알고리듬이 제안되었다. 이러한 접근법은 알려지지 않은 장애물을 회피하는데 필요하지만, 알려진 장애물을 회피하기에는 복잡하다는 단점이 있다.

몇몇 연구자들이 비례항법 유도법칙을 이용한 장애물 회피 방법들을 제안하였다. 참고문헌 ^[4]에서는 비행체의 속도 벡터가 장애물과 접선을 이루는 벡터를 장애물 회피 벡터로 정의하여 비례항법 유도법칙의 시선각속도 정보 대신 장애물 회피 각속도 벡터를 사용하였다. 참고문헌 ^[5]는 참고문헌 ^[4]와 유사하게 장애물 회피 벡터를 정하고, 회피를 위한 명령을 계산한 후 이를 무인 자동차의 제어 명령으로 계산하기 위해 비선형 모델 예측제어 기법을 사용하였다. 참고문헌 ^[6]은 비례항법 유도법칙의 시선각 변화율을 이용하여 장애물을 회피하는 알고리듬을 제시하였다. 장애물을 인식할 수 있는 센서를 통해 측정한 시선각 변화율이 기준값 이하이면 일정한 시선각 명령을 인가하여 장애물을 회피하는 방식이다.

본 논문은 기존에 제안된 방식과 달리 기존 유도법칙을 그대로 사용하면서 초기 헤딩각만을 변화하여 장애물을 회피하는 방법을 제안한다. 이러한 방법의 이점은 장애물 회피를 위해 경로계획을 세우고, 이를 추종하는 유도법칙을 적용하는 기존의 방식 대신에 경로계획 없이 장애물 회피를 위한 초기 헤딩각만 세팅하여 장애물을 회피할 수 있다. 또한 비행 중 모드 전환 없이 사용 가능하다. 보통 장애물 회피를 위해 비행 모드가 장애물 회피 모드와 항법 모드로 이원화되어 있는데, 이러한 모드 변화가 로봇이나 비행체에 의도하지 않은 과도 응답 성능을 저하시킬 수 있다. 따라서 본 논문의 제안하는 방법은 모드 전환 없이 유도법칙을 사용할 수 있다는 장점이 있다.

장애물의 위치와 크기가 정해지면 초기 헤딩각을 해석적으로 구할 수 있는 방법을 제안하기 위해 먼저 비례항법 유도법칙의 해석적 해를 구해 최대 곡면 도달시간과 최대 곡면 크기를 구한다. 최대 곡면 도달시간으로부터 최대 곡면 도달 지점을 계산하여 장애물의 위치가 최대 곡면 도달 지점과 일치하면, 최대 곡면 크기가 장애물 크기보다 크도록 초기 헤딩각을 정한다. 만약 장애물의 위치가 최대 곡면 도달 지점과 일치하지 않으면 최대 곡면 도달 지점과 장애물 사이의 거리를 최대 도달 곡면 크기에 보상하여 비행궤적이 장애물 크기보다 크도록 초기 헤딩각을 구한다. 이렇게 계산된 헤딩각을 고려하면, 비례항법 유도법칙의 초기 헤딩각에 의해 장애물 크기보다 큰 전 구간 비행궤적이 형성되어 항상 장애물을 피할 수 있다.

본 논문의 기여는 장애물을 피하기 위해 비례항법 유도법칙의 헤딩각을 해석적으로 설계할 수 있음을 보여준다. 이러한 방법은 장애물의 위치와 크기에 따라 헤딩각을 변화시켜 장애물을 회피할 수 있음을 보여준다. 제안하는 알고리듬의 응용 분야는 도심에서 지상 건물들을 피해서 유한 시간에 목표점에 도달하는 무인 비행체나 2차원 장애물들을 회피하여 목표점에 도달하는 서비스 로봇 등이다.

논문의 구성은 다음과 같다. 두 번째 절에서는 문제 설정을 위한 비례항법 유도 법칙의 유도 기하, 지배 방정식, 그리고 몇 가지 가정들을 언급한다. 세 번째 절에서는 비례항법 유도법칙의 최대 곡면 조건을 서술한다. 네 번째 절에서는 장애물 회피를 위한 초기 헤딩각을 제시한다. 다섯 번째 절에서는 모의시험 결과를 언급하고, 마지막 절에서는 결론을 서술한다.

2. 문제설정

본 논문에서 유도 기하는 아래와 같이 2차원 평면을 고려한다.

그림에서 $L$은 무인비행체, $T$는 움직이지 않는 표적, $\lambda$는 무인비행체와 표적과의 시선각, $\zeta$는 표적과의 시선각에 대한 헤딩각, $V$는 무인비행체의 속도, $a$는 무인비행체의 속도 벡터의 수직인 가속도 명령 벡터, $y$는 표적과 비행체의 Y축 상대거리를 의미한다. 가속도 명령으로 비례항법 유도법칙을 사용하면 다음과 같다.

여기서, $N$은 1이 아닌 양의 상수이다. 식 (1)이 음의 부호인 이유는 표적 가속도가 0이기 때문이다. 비행체와 표적사이의 거리를 $R$이라고 하면, 시선각은 다음과 같다.

여기서, 시선각이 사인함수가 아닌 이유는 시선각이 작다고 가정했기 때문이다. $t_{f}$을 표적에 도달하는 시간이라고 하면 속력과 거리 사이는 다음과 같은 관계식이 성립된다.

식 (1), (2), (3)을 이용하면 다음과 같은 시변 1차 미분방정식을 구할 수 있다^[7].

여기서, $C_{1}$은 적분 상수로 $y$ 해석적 해의 특수해(Particular Solution)를 결정한다. 초기 조건 $\dot{y}(0)$과 $y(0)$에 의해 $C_{1}$은 다음과 같이 결정된다.

본 논문에서는 다음과 같은 가정을 한다.

가정 1은 무인비행체의 공력 저항과 추진력의 균형을 유지하는 시스템에 의해 일정한 속도를 유지할 수 있으므로 타당한 가정이다. 가정 2는 비례항법 유도법칙의 가속도 명령을 계산하기 위해 필요한 위치나 속도는 무인비행체에 장착된 GPS나 센서를 통해 알 수 있다. 가정 3, 4, 5는 비행체와 표적을 잇는 시선(Line-Of-Sight:LOS)위에 장애물의 중심이 있고 표적을 장애물이 가로막고 있을 때 장애물의 크기와 장애물의 위치를 의미한다. 가정 3은 비행체와 표적의 시선이 X축과 평행하다는 것을 의미하는데, 만약 초기 시선각이 0이 아니라도 좌표 변환을 통해 초기 시선각을 항상 0으로 만들 수 있으므로 타당한 가정이다. 가정 4와 5는 높이가 r인 반원 장애물이 시선 위에 놓여 있는 것을 의미한다. 만약 장애물이 시선 위에 놓여 있지 않더라도 기하 관계로부터 장애물의 높이를 알 수 있으므로 타당한 가정이다. 이러한 가정은 일반적인 원형 장애물로 확장할 수 있다.

3. 비례항법 유도법칙의 최대곡면조건

비례항법 유도법칙의 해석적 해는 항법 상수, 비행체 속력, 표적과의 시선 각속도로 이루어진 비행체의 가속도 명령을 유도 기하 지배방정식에 포함하고, 표적과의 시선각이 크지 않다고 가정할 때 1차 시변 미분방정식 계수의 적분 형태로 닫힌 해를 구할 수 있다^[7]. 따라서 식 (4)의 해석적 해를 다음과 같이 구한다.

보조정리 1^[7]. $y(0)=0$이고, $\dot{y}(0)\ne 0$일 때, 식 (4)의 해석적 해는 다음과 같다.

(증명) 참고문헌 ^[7]를 참조하여 생략

따름정리 1. 보조정리 1로부터 최대 곡면 도달 시간 $t_{c}$와 최대 도달 지점 $x_{c}$는 다음과 같다.

여기서, $\alpha$는 $\dfrac{1}{N}t_{f}^{N-1}$이다.

(증명) $\dfrac{dy}{d R}=\dfrac{dy}{dt}\dfrac{dt}{d R}$이고, $\dfrac{dt}{d R}=-\dfrac{1}{V}$이므로, 최대곡면조건 $\dfrac{dy}{d R}=0$을 만족하기 위해서 $\dot{y}=0$을 만족하는 시간이$t_{c}$이다. $\dot{y}$은 다음과 같다.

식 (8)을 정리하면 다음과 같다.

따라서, $\dot{y}=0$을 만족하기 위한 조건은 다음과 같다.

따라서, 식 (10)를 만족하는 시간 $t_{c}$는 다음과 같다.

여기서, $\alpha =\dfrac{1}{N}t_{f}^{N-1}$이다. 그리고, 속력이 일정하므로 최대 도달지점 $x_{c}=Vt_{c}$이다.

따름 정리 1은 기존 해석적 해의 보조 정리 1에서 다루지 않는 최대 곡면 도달시간과 도달 지점의 해석적 해를 다룬다. 따름 정리 1로부터 비행체에서 표적을 잇는 시선에서 수직으로 최대 이격 가능한 높이에 해당하는 시점을 산출하였다. 다음 절에서는 이 시점에서 장애물을 회피하기 위한 초기 헤딩각 조건을 제안한다.

4. 장애물 회피를 위한 초기 헤딩각

앞 절에서 언급한 비례항법 유도법칙의 최대곡면 도달 시점을 식 (6)에 대입하면 최대곡면 도달 높이를 알 수 있다. 다음 정리는 장애물 회피를 위한 초기 헤딩각에 대해 서술한다.

정리 1. 시선 위에 있는 장애물 위치를 $x_{r}$이라고 하자. $l$은 $\left | x_{c}-x_{r}\right |\le l$을 만족하는 어떤 양의 상수라고 하자. $k$는 0보다 같거나 큰 임의의 상수, 회피 안전거리 $\epsilon$는 0보다 큰 임의의 상수라고 하자. $\alpha$는 $\dfrac{1}{N}t_{f}^{N-1}$,보상항 $\beta$는 $k\left | x_{c}-x_{r}\right |$라고 하자. 초기 헤딩각 $\zeta_{0}$가 다음과 같으면, 비례항법 유도법칙으로부터 생성된 가속도 명령은 장애물을 회피할 수 있다.

(증명) 장애물의 위치가 최대 곡면 도달 지점과 같을 경우, 즉 $x_{r}=x_{c}$일 때 따름정리 1로부터 최대 곡면 도달 시점 $t_{c}$에서 $y$가 장애물의 높이 $r$과 회피 안전거리 $\epsilon$의 합인 $r+\epsilon$보다 같거나 크다면, 비례항법 유도법칙은 장애물을 회피할 수 있다. 식 (11)을 식 (6)에 대입하고, 장애물 높이 조건 부등식을 정리하면 다음과 같다.

$\dot{y}(0)=V\sin\zeta_{0}$이므로, 식 (13)이 등호일 때 초기 헤딩각은 다음과 같다.

장애물의 위치가 최대 곡면 도달 지점과 다를 경우, 즉 $x_{r}\ne x_{c}$일 때 장애물 높이 $r$과 회피 안전거리 $\epsilon$의 합에 보상항 $\beta =k\left | x_{c}-x_{r}\right |$을 추가 하면, $\left | x_{c}-x_{r}\right |\le l$인 조건에서 항상 장애물을 회피할 수 있다. 그 이유는 최대 곡면 도달 지점에서 벗어난 위치에 있는 장애물을 회피하도록 장애물의 높이 $r+\epsilon$보다 더 큰 반지름이 $r+\beta +\epsilon$인 가상의 반원을 회피할 수 있는 최대 곡면을 만들 수 있기 때문이다. 따라서 장애물 높이 부등식은 다음과 같다.

식 (13), (15)로부터 장애물 회피를 위한 초기 헤딩각은 다음과 같다.

식 (16)에서 장애물 높이 $r$과 회피 안전거리 $\epsilon$이 클 수록 초기 헤딩각이 커짐을 알 수 있다. 그리고 목표점까지 도달 시간 $t_{f}$가 크면, $\alpha$가 커져서 초기 헤딩각이 작아짐을 알 수 있다.

정리 1은 장애물의 위치가 최대 곡면 도달 지점과 일치할 때 최대 곡면 높이를 설정한 후 장애물의 위치가 최대 곡면 도달지점과 떨어진 거리에 $k$배 만큼 보상하여 전 구간 비행궤적이 장애물을 회피할 수 있도록 하는 것이다. 참고로 $k$는 설계 파라메터이다.

따름정리 2 어떤 시간 $t_{b_{1}}$과 $t_{b_{2}}$가 각각 $t_{b_{1}}<t_{c}$, $t_{b_{2}}>t_{c}$를 만족하다고 하자. 그리고, 각각의 시간에서 $y$는 $y\ge r+\epsilon$을 만족하며 이 때 $t_{b_{1}}$의 최소값은 $t_{b_{1\min}}$, $t_{b_{2}}$의 최대값은 $t_{b_{2\max}}$이라고 하자. 정리 1의 $l$의 최대값 $l_{\max}$는 다음과 같다.

(증명) 식 (6)에서 $y(0)=0,\: y(t_{f})=0$이고, 따름 정리 1에서 $\dot{y}=0$을 만족하는 $t_{c}$가 존재하므로 $t_{c}$보다 작을 경우 $\dot{y}>0$, $t_{c}$보다 클 경우 $\dot{y}<0$임을 알 수 있다. 정리 1에 의해 장애물의 높이보다 비행체의 궤적이 높은 시점들이 존재하며, $t_{c}$보다 작은 시점 들중 $y= r+\epsilon$을 만족하는 최소값 $t_{b_{1\min}}$이 존재한다. 한편, $t_{c}$보다 큰 시점 들중 $y= r+\epsilon$을 만족하는 최대값 $t_{b_{2\max}}$이 존재한다. 따라서, 항상 장애물을 회피할 수 있는 정리 1 $l$의 최대값은 $\min\left(\left | x_{c}-Vt_{b_{1\min}}\right | ,\: \left | x_{c}-Vt_{b_{2\max}}\right |\right)$이다.

따름 정리 2는 장애물의 위치가 최대 곡면 도달 지점과 일치하지 않을 경우 장애물의 높이보다 비행궤적이 높을 수 있는 한계를 나타낸 것이다. 식 (17)에서 두 거리 중 최소값을 선택한 이유는 장애물의 위치가 최대 곡면 도달 지점 기준으로 왼쪽에 있거나 오른쪽에 있을 때 비행체 궤적이 장애물을 항상 회피하기 위한 조건은 두 거리 중 최소값이기 때문이다.

5. 모의시험 결과

제안된 장애물 회피 방법을 검증하기 위해 Matlab을 이용하여 모의시험을 수행한다. 무인비행체와 표적 사이의 초기 거리는 40km, 초기 속도는 3000m/s, 표적 도달시간은 13.33초로 고려한다. 모의시험 주기는 1ms으로 셋팅한다. 비례항법 유도법칙의 항법 상수는 4, 장애물의 크기 100m, 250m, 500m에 따른 시나리오 3가지(Case 1, Case 2, Case 3)를 고려한다. 각 시나리오에 장애물 회피 안전거리 $\epsilon$은 장애물 크기의 5%로 설정한다. 따름 정리 1에 의해 최대 곡면 도달 시점은 4.93초, 최대 곡면 도달 거리는 14.8km이다. 따라서 정리 1을 검증하기 위해 장애물의 초기 위치를 최대 곡면 도달 거리에 동일하게 설정한다. 정리 1 식 (12)을 이용하여 장애물을 회피할 수 있는 초기 헤딩각을 계산하면 Case 1, Case 2, Case 3에 따라 각각 0.95도, 2.38도, 4.78도이다. 이 헤딩각을 이용하여 비행체 궤적과 장애물을 같이 그린 그림은 다음과 같다.

그림 2에서 각 시나리오에 따라 초기 헤딩각이 결정되어 장애물을 회피함을 알 수 있다. 그리고 각 궤적의 최대 곡면의 높이가 장애물 높이보다 5% 높게 설정되어 회피를 안전하게 할 수 있음을 알 수 있다. 이를 통해 제안하는 초기 헤딩각을 변경하는 방법이 장애물을 회피하여 목표점에 도달할 수 있는 전구간 비행 궤적을 생성함을 알 수 있다. 그림 3과 4는 그림 2의 시나리오에 대한 시선각과 유도명령을 보여준다.

그림 3에서 초기 시선각은 0이었다가 궤적에 따라 시선각이 음의 값을 보여주는데 그 이유는 비행체가 표적에 도달하기 전까지 표적보다 항상 높은 곳에 있기 때문이다.

그림 4에서 가속도 명령은 전형적인 최적 에너지 가속도 명령을 보여준다.

장애물의 위치 변화를 고려하기 위해서 정리 1의 $k$을 $500\times 10^{-4}$로 설계하였다. 이 값은 최대곡면 도달 지점인 $x_{c}$에서 10km 떨어질 때 최대 곡면 도달 높이를 장애물의 높이만큼 추가하여 전체적으로 비행체의 궤적을 상승하는 방향으로 형성한다. Case 4와 Case 5를 최대 곡면 도달지점에서 5km 떨어져 있을 때와 10km 떨어져 있을 때로 고려하면 정리 1 식 (12)에 의해 초기 헤딩각은 7.06도, 9.36도이다. 다음 그림은 각 경우에 대한 비행체 궤적과 장애물을 나타낸 그림이다. 다음 그림 5, 6, 7은 500m 장애물의 위치 변화에 따라 비행체가 회피하는 궤적을 보여준다.

그림 5에서 Case 3의 파란색 궤적은 500m 장애물이 최대 곡면 도달 지점에 놓여 있을 때 회피하는 궤적을 나타낸 것이다. Case 4와 Case 5는 장애물의 위치가 최대 곡면 도달 지점에서 떨어져 있을 때 $k$배 만큼 장애물의 높이를 보상하여 결과적으로 최대 곡면 도달 지점과 다른 위치의 장애물을 회피할 수 있음을 보여준다. 그림 6과 7은 각 경우에 대한 시선각과 유도명령을 나타낸다.

다음은 정리 1 의 최소값과 참고문헌 ^[6]과의 정량적인 비교를 위해 수행한 모의시험 결과이다. 여기서 $k$의 최소값은 모의시험을 통해 결정한 값이다.

그림 7의 Case 6과 Case 7의 장애물은 Case 5와 동일하게 $x_{c}$에서 발사점 방향으로 10km 떨어진 지점에 위치하였다. 참고문헌 ^[6]은 무인비행체에 장애물을 감지하고 추적할 수 있는 센서가 장착되어 있어 장애물의 시선각 변화율이 기준값 이하이면 비행체가 장애물을 회피할 수 있도록 일정한 시선각 변화율 명령을 인가한다. 이를 모사하기 위해 Case 6에서는 무인비행체와 장애물 사이의 거리가 2km이하일 때 장애물의 시선각 변화율이 기준값 이하에 도달하여 비행체의 시선각 변화율을 $10^{\circ}/s$로 인가하여 모의시험한 결과이다. Case 7은 정리 1의 $k$의 최소 값을 모의시험을 통해 얻은 결과이다. Case 6과 Case 7의 정량적인 비교를 위해 계산 복잡도, 회피거리, 에너지 항목에 대해 다음 표 1과 같이 비교하였다.

Case 6과 Case 7의 계산 복잡도는 상대적으로 Case 6이 높은데, 그 이유는 장애물을 인식하고 추적하는 센서가 장착되어 이에 대한 알고리듬들이 포함되어야 하기 때문이다. 또한 기준값보다 클 때 시선각 변화율을 변화시켜야 하는 조건문이 포함되어야 하므로 계산 복잡도가 높다. Case 7은 장애물을 인식하고 추적하는 센서가 없어도 동작 가능 하며, 장애물 때문에 비행 중에 변화시켜야 하는 알고리듬이 존재하지 않으므로 상대적으로 계산 복잡도가 낮다. 회피 거리 항목에서는 Case 6이 비행 중에 회피를 하므로 회피거리를 줄이기 어려우나 Case 7은 미리 헤딩각을 변화시켜 회피하므로 회피거리를 작게 제어할 수 있는 장점이 있다. 에너지 항목도 Case 6은 비행 중에 회피를 하므로 최대 기동가속도까지 사용하고 장애물 회피 이후에 목표점에 도달하기 위해 지속적으로 큰 기동 가속도를 사용하여 에너지를 많이 사용하는 반면, Case 7은 장애물 회피와 목표점 도달을 모두 고려하였으므로 작은 기동 가속도를 사용하여 에너지를 적게 사용한다. 그림 8과 9는 Case 6과 7의 시선각과 유도 명령을 나타낸다.

5. 결 론

본 논문은 기존에 널리 사용되고 있는 비례항법 유도법칙의 초기 헤딩각을 제어하여 장애물을 회피하는 기법을 제안한다. 장애물의 위치와 크기가 정해지면, 해석적으로 초기 헤딩각을 계산하여 장애물을 회피할 수 있을 뿐만 아니라 목표물에 도달하는 비행 궤적을 생성할 수 있다. 장애물의 위치와 최대 곡면 도달 지점이 일치할 경우 최대 곡면 높이가 장애물 보다 높도록 초기 헤딩각을 해석적으로 계산한다. 그리고 장애물의 위치와 최대 곡면 도달 지점이 일치하지 않을 경우 최대 곡면 높이에 두 지점 사이의 거리에 이득을 곱한 보상항을 추가하여 장애물을 회피할 수 있는 비행 궤적을 생성할 수 있다. 추후 보상항을 체계적으로 설계하는 방법과 3차원 공간에서 2개 이상의 장애물에 대해 연구할 예정이다.